\section*{Eléments de réponse} 

\q (Très facile) Réponse : $n + n(n-1) + 2\binom{n}{3}$

\q (Moyen-difficile) Réponse : oui. La question 3) répond à la question mais les arguments peuvent être plus facilement adaptés pour cette question. Une idée est de construire une ligne droite suffisamment longue (d'ordre $n^2$ pièces) puis de compléter par des droites diagonales de part et d'autre de la première droite.

\q (Difficile) Réponse : oui. Les cas $n = 2, 3, 4$ sont faciles à traiter. Pour le cas général, on peut utiliser une construction par récurrence sur $n$ en utilisant à chaque étape toutes les pièces faisant intervenir des nombres plus petit que $n$. Cependant, il ne suffit pas de compléter le cas $n-1$ pour obtenir le cas $n$ : le recollement n'est pas évident.

\q Question 1) (Très facile) Réponse : $n + n(n-1) = n^2$ \\
Question 2) (Moyen) Réponse : Oui pour tout $n$. On peut utiliser la question 3) ci-dessous pour construire une ligne de taille suffisante sur laquelle on rajoute des diagonales afin d'obtenir les pièces manquantes. \\
Question 3) (Moyen) Réponse : Oui pour $n$ impair et $n = 2$. Non pour les autres cas. Après avoir identifié les transitions possibles entre les pièces, on peut utiliser pour le graphe complet à $n$ éléments le théorème d'Euler qui nous dit qu'il existe un chemin eulérien si et seulement $n$ est impair ou $n = 2$.

\q Question 1) (Très facile) Réponse : $n + n(n-1) + 2\binom{n}{3}$ \\
Question 2) (Ouvert) \\
Question 3) (Ouvert) Réponse : Pas toujours. En effet, pour une configuration en ligne droite tous les nombres, sauf au plus 4 (ceux sur les bord), apparaissent $3*k$ fois pour $k \geq 1$. Pour $n \geq 5$, on peut donc éliminer tous les nombres tels que le nombre de pièces faisant apparaître au moins un $i$ donné (il y en $n^2+n+1$) n'est pas divisible par 3. Ainsi, pour tous les $n \geq 5$ congru à $0$ ou $2$ modulo $3$ une telle configuration n'existe donc pas.

\q 6) (Ouvert)

\q 7) (Ouvert)