\section*{Eléments de réponse}

%1
\q (facile) Le cas a) est simple, il suffit de mettre une quantité de pâte $R$ au centre du disque (segment de longueur 0). On donne une réponse positives dans chacun des autres cas au moyen de dessins :


%\begin{figure}
%\includegraphics{exemples.jpg}
%\end{figure}


On peut même en déduire les résultas plus généraux suivants. Un \textbf{coin} est un bout du bord qui consiste en deux segments ayant un sommet en commun appelé la \textbf{pointe}. L'\textbf{angle intérieure} d'un coin est l'angle formé par les deux segments et qui se trouve à l'intérieur du cookie.

\begin{lemme}[Lemme sur les coins]\label{lemme : coins}
Si un des bouts du cookie est formé d'un coin dont l'angle intérieure est plus petit strictement que 180, alors il faut qu'un des segments que Fabrice choisi passe par la pointe de ce coin. De plus, il faut qu'il dépose une quantité de pâte nulle à la pointe.
\end{lemme}

\begin{proof}
Si on veut avoir une chance de remplir la forme, il faut au moins qu'il existe un cercle de centre $O$ et de rayon $r$ qui passe par la pointe $c$. Comme le coin à un angle intérieur strictement inférieur à 180 il sera compris strictement dans ce cercle. Sauf si $r=0$ et $O=c$, ce qui conclut.
\end{proof}

\begin{rem}
On peut relâcher la définition de coin. En pratique on voudrait démontrer que si le bord n'est pas dérivable en un point, alors un segment devrait passer par ce coin. Ceci est faux comme on pourrait considérer un angle obtu. Il faut donc trouver une autre définition.
\end{rem}

\begin{thm}[Théorème fondamentale du cookie]\label{thm : fonda}
Soit $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+$ une fonction de classe~$\mathcal{C}^1$. Fabrice peut remplir par de la pâte à cookie l'espace entre le graphe de $f$ et l'axe de réel en posant de la pâte uniquement sur l'axe des réels si et seulement si la fonction
\[g_f(x)=x+f(x)f'(x)\]
est croissante.
\end{thm}

\begin{rem}
On peut a priori seulement demander que $f$ soit $\mathcal{D}^1$. Si $f$ est $\mathcal{C}^2$ (ou $\mathcal{D}^2$) on peut dériver une fois de plus et dire qu'il faut alors que
\[1+(f'(x))^2+f(x)f'(x) \geq 0.\]
\end{rem}

\begin{rem}
On pourrait se demander si le cas des fraphes des fonctions \textbf{continues} $f \colon \R \to \R^+$ exhauste tous les cas que l'on peut remplir en mettant de la pâte sur l'axe des réels. Il se trouve que c'est le cas pour la raison suivante. Supposons que Fabrice dépose une quantité de pâte $p$ en un point donné $x \in \R$, ce point de pâte va s'étaler en un disque qui est le graphe de la fonction $f(y)=\sqrt{r^2-(y-x)^2}$. Si il dépose plus de pâte, la forme restante aura pour bord le graphe de la fonction qui vaut le maximum de fonctions de ce type là (une pour chaque point où il dépose de la pâte) et donc une fonction.
\end{rem}

\begin{proof}

\end{proof}

Le théorème \ref{thm : fonda} nous renseigne sur une large classe de cookies de la manière suivante : on découpe le cookie en différente pièce ayant un axe de symétrie et de telle sorte que si on choisit cet axe de symétrie comme l'axe des réel, le bord de la pièce est une fonction qui vérifie la condition du théorème fondamental. Il serait intéressant de trouver des conditions sur la régularité du contour pour satisfaire automatiquement cette condition. C'est d'ailleurs l'esprit de la question \textbf{5.}.

%2
\q (Moyen) dans le cas a) c'est bien sûr 0 comme le segment que l'on a choisi dans l'exemple suivant est de longueur nulle. Dans les autres cas il faut faire un peu plus attention. Tout d'abord le résultat suivant est clair mais nécessaire.

\begin{lemme}
Soit $S$ un segment qui est le bord d'une forme. Si Fabrice veut s'assure que le cookie passe par tous les points du segment $S$, il faut une quantité de pâte au moins aussi grande que celle du segment.
\end{lemme}

\begin{proof}
Soit $x$ un point du segment $S$. Si un cercle de centre $O$ et de rayon $r$ passe par $x$, il faut que la droite $(Ox)$ soit perpendiculaire au segment $S$ (même preuve que le lemme \ref{lemme : coins}). Si
\[ I= \bigsqcup I_i \]
est une union de segment sur lesquels Fabrice dépose de la pâte et de telle sorte que $S$ soit le bord d'un cookie. Soit $\pi$ le projection orthogonale sur $S$ (enfin sur le droite qui prolonge le segment $S$). D'après ce que l'on vient de dire, on note remarque que
\[ S \subset \pi(I)=\bigcup \pi(I_i).\]
Mais la longueur de $\pi(I_i)$ est plus petite que le longueur de $I_i$, donc $\sum \vert I_i \vert \geq \sum \vert \pi(I_i) \vert \geq \vert S \vert$.
\end{proof}

En pratique pour remplir une forme avec une quantité minimale de pâte il suffit de remplir un voisinnage du bord.

\begin{lemme}
Soit $B$ le bord de la forme de cookie que Fabrice souhaite remplir. On suppose qu'il existe un voisinnage $V$ du bord dans la forme qui soit remplissable avec une quantité $p$ de pâte. Alors, il est possible de remplir l'ensemble du cookie avec une quantité $p$ de pâte.
\end{lemme}

\begin{proof}
Soit $V_1 \subset V$ un voisinnage du bord dans la forme, on peut recouvrir le complémentaire de $V_1$ dans la forme par des boules de rayon $r$ et par compacité on peut en choisir un nombre fini. Cela ne nous coûte donc pas de pâte de remplir toute la forme une fois que l'on a remplit le voisinnage.
\end{proof}

On a ensuite le lemme suivant, remarqué par Nicolas Fabiano.

\begin{lemme}[Lemme de Nicolas]
Soit $S_1$ et $S_2$ deux segments qui sont symétriques l'un de l'autre par rapport à une droite $(d)$ (on suppose de plus qu'ils forment un angles $\alpha$) avec cette droite. Fabrice souhaite remplir un espaces entre ces deux droites (il y a en un à l'intérieure et un à l'extérieur voir dessin), il lui faudra alors les quantités suivantes de pâtes.
\begin{itemize}
\item[Cas 1 :] Si l'angle $\alpha$ est plus petit que $60$, alors il faut au moins $\vert S_1 \vert / \sin(\alpha)$,
\item[Cas 2 :] Sinon il faut au moins $2\vert S_1 \vert$ (c'est-à-dire que l'on ne peut pas faire mieux que de remplir un voisinnage des segments séparément).
\end{itemize}
\end{lemme}

La preuve est une version plus élaborée de celle du lemme précédent.

%3
\q (Moyen) Les formes (b) et (c) ne sont pas des $r$-cookies avec $r>0$ à cause des coins (Lemme \ref{lemme : coins}). La forme (a) est un $r$-cookie pour $r \in [0,R]$. Tandis que la forme $(d)$ est un $r$-cookie pour $r \in [0,R_2-R_1)$.

%4
\q (Moyen-difficile) Oui c'est possible.

%5
\q (a) (Moyen) On peut appliquer le lemme \ref{lemme : coins} et créer un cookie qui a une infinité de coins (qui ne puissent pas être recouvert par un nombre fini de segments). Par exemple un triangle de Sierpinski. Cela fournit un contre-exemple pour tout $r > 0$.

(b et c) (ouvert) Je pense qu'il est toujours possible de trouver de telle forme.


%6
\q (Facile) Le triangle est un exemple de 0-cookie qui n'est pas un $r$-cookie pour $r>0$.

%7
\q (Ouvert)

%8
\q (Ouvert)
