\section{Brioches gonflées}

\'Eric a décidé de faire des brioches aux formes mathématiques pour les goûters du \tfjm. Il dispose d'un outil qui permet de déposer une quantité $R(P)$ de pâte à brioche en un point $P$ suivant un nombre \textbf{fini} de segments de ligne droite (le point étant accepté comme exemple de ligne droite de longueur $0$). Lorsqu'elle est au four, la brioche gonfle et remplit le disque de rayon $R(P)$ centré en $P$ pour chaque point $P$ où \'Eric a mis de la pâte. La machine peut déposer de la pâte plus ou moins concentrée et le rayon $R(P)$ n'est pas forcément le même partout.
La brioche d'\'Eric ne se repousse pas elle même :
par exemple, si le disque de centre $P$ et de rayon $R(P)$ est contenu dans disque de centre $P'$ et de rayon $R(P')$, alors la brioche aura pour forme le disque de centre $P'$ et de rayon $R(P')$ uniquement.
La forme de la brioche après cuisson sera donc la réunion des disques de centre $P$ et de rayon $R(P)$.


\begin{figure}[ht]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1]
        \fill[color=orangeAnimath] (0,2) -- (2,2) -- (2,-2) -- (0,-2) -- cycle;
        \fill[color=orangeAnimath] (0,0) circle (2);
        \fill[color=orangeAnimath] (2,0) circle (2);
        
	\draw (0,0) -- (2,0);
    \end{tikzpicture}
    \caption{La pâte est un simple segment de longueur 1, et le rayon $R(P)$ est partout égal à 1.}
    \label{fig:pate_basique}
\end{figure}

\begin{figure}[ht]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1]
        \fill[color=orangeAnimath] (0,2) -- (2,1) -- (2,-1) -- (0,-2) -- cycle;
        \fill[color=orangeAnimath] (0,0) circle (2);
        \fill[color=orangeAnimath] (2,0) circle (1);
        
	\draw (0,0) -- (2,0);

        \fill[color=orangeAnimath] (5,0) circle (1.5);
	\draw (4.8,-0.2) -- (5.2,0.2);
	\draw (5.2,-0.2) -- (4.8,0.2);
    \end{tikzpicture}
    \caption{La pâte est constituée d'un point et un segment, et le rayon varie en fonction du point.}
    \label{fig:pate_complexe}
\end{figure}


\q Avec ce procédé, \'Eric peut-il faire une brioche qui a la forme:
\begin{enumerate}
    \item d'un disque ?
    \item d'un rectangle quelconque ?
    \item d'un triangle quelconque ?
    \item d'un anneau (un grand disque centré en un point $A$ dont on a retiré un petit disque centré en ce même point $A$).
\end{enumerate}

\q Reprendre la question \textbf{1.} si on suppose que $R(P)=r$ ne dépend pas de $P$.
Plus généralement, donner des conditions sur le contour pour qu'il ne soit pas possible de le remplir.

\medskip

Désormais, \'Eric souhaite économiser la pâte et en utiliser le moins possible. La quantité de pâte est la somme des longueurs des segments où il a placé de la pâte.
% \'Eric étant très intelligent il utilisera toujours le moins de pâte possible.

\q Pour quelles quantités de pâte peut-il réaliser chacune des formes suivantes :
\begin{enumerate}
    \item un disque de rayon $R$ ?
    \item un rectangle de côtés de longueurs $a$ et $b$ ?
    \item un triangle de côtés $a$, $b$ et $c$ ?
    \item un anneau de rayon intérieur $r$ et de rayon extérieur $R$ (avec $R>r$) ?
\end{enumerate}
On s'intéressera plus à comment la pâte est disposée qu'à la valeur précise de la longueur totale [A FORMULER BIEN]

\q On suppose dans cette question qu'\'Eric réalise une forme de brioche telle qu'il dispose d'une manière de placer le moins de pâte possible pour réaliser cette forme. Existe-t-il une forme de brioche pour laquelle \'Eric aurait plusieurs choix pour placer la pâte de manière optimale (c'est-à-dire en utilisant le moins possible de pâte) ?

%\q Si $R(P)=r$ ne dépend pas de P, quelles valeur peut prendre le rapport entre la quantité de pâte nécessaire et l'aire de la brioche après cuisson ?

%\q Eric souhaite faire des brioches d'un seul tenant (il est toujours possible de faire un chemin de segments consécutifs dans la brioche qu'il obtient) [i.e. connexes par arcs + connexe ]. Parmi les points où Eric a placé de la pâte, est-il toujours possible de trouver un chemin de segments de pâte reliant deux points $P$ et $P'$.

%\q En fait, Eric se rend compte qu'il regardait ses brioches gonfler par au-dessus mais qu'elle gonfle en fait dans l'espace et non pas dans le plan. La brioche occupe alors la réunion des boules de centre P et de rayon $R(P)$ (où les points $P$ où Eric place de la brioche sont toujours dans le plan). Quel est alors le volume que prend la brioche si la forme vue au-dessus est :
%\begin{enumerate}
%    \item un disque de rayon $R$ ?
%    \item un carré de côté $C$ ?
%    \item Un rectangle de côté $a$ et $b$ ?
%\end{enumerate}

\q Existe-t-il des formes donc le contour est continu (je regarde l'intérieur d'un lacet simple continu) qui ne peuvent pas être obtenue avec un nombre fini de brioche ?

\q Existe-t-il des formes donc le contour est $C^1$ (je regarde l'intérieur d'un lacet simple continu) qui ne peuvent pas être obtenue avec un nombre fini de brioche ? Et si on est $C^1$ sauf en un nombre fini de points ?

\q Dans le cas où le rayon est constant=r donner des conditions sur le contour pour qu'il ne soit pas possible de le remplir.


%\q Maintenant on souhaite que Eric soit "proche" de la forme finale (l'idée serait d'approximer un coin par exemple). On suppose qu'il essaie d'obtenir la forme A mais qu'il obtienne la forme B, on définit alors un coefficient $\rho(A,B):=\rho(A \Delta B)/\rho(A)$ qui estime à quel point on est proche de la bonne forme. Si $\rho=0$ on dira que B recouvre presque partout A.

\q Proposer et explorer d'autres pistes de recherche.
