\section*{Eléments de réponse} \q (Très facile) Réponse : $n + n(n-1) + 2\binom{n}{3}$ \q (Moyen-difficile) Réponse : oui. La question 3) répond à la question mais les arguments peuvent être plus facilement adaptés pour cette question. Une idée est de construire une ligne droite suffisamment longue (d'ordre $n^2$ pièces) puis de compléter par des droites diagonales de part et d'autre de la première droite. \q (Difficile) Réponse : oui. Les cas $n = 2, 3, 4$ sont faciles à traiter. Pour le cas général, on peut utiliser une construction par récurrence sur $n$ en utilisant à chaque étape toutes les pièces faisant intervenir des nombres plus petit que $n$. Cependant, il ne suffit pas de compléter le cas $n-1$ pour obtenir le cas $n$ : le recollement n'est pas évident. \q Question 1) (Très facile) Réponse : $n + n(n-1) = n^2$ \\ Question 2) (Moyen) Réponse : Oui pour tout $n$. On peut utiliser la question 3) ci-dessous pour construire une ligne de taille suffisante sur laquelle on rajoute des diagonales afin d'obtenir les pièces manquantes. \\ Question 3) (Moyen) Réponse : Oui pour $n$ impair et $n = 2$. Non pour les autres cas. Après avoir identifié les transitions possibles entre les pièces, on peut utiliser pour le graphe complet à $n$ éléments le théorème d'Euler qui nous dit qu'il existe un chemin eulérien si et seulement $n$ est impair ou $n = 2$. \q Question 1) (Très facile) Réponse : $n + n(n-1) + 2\binom{n}{3} = \frac{n(n^2+2)}{3}$ \\ Question 2) (Ouvert) \\ Question 3) (Ouvert) Réponse : Pas toujours. En effet, supposons qu'on peut former une ligne et que $n\geq 5$. Tous les nombres sauf au plus 4 (ceux sur les extrémités) apparaissent un nombre de fois divisible par trois. Or par symétrie, tous les nombre entre $1$ et $n$ apparaissent autant de fois chacun, à savoir $n^2+2$ donc $3|n^2+2$ ce qui équivaut à $3\nmid n$. Ainsi, si $n\geq 5$ et $3|n$ alors former une ligne est impossible. \q (Difficile - Ouvert) Un losange de côté $k$ contient $2k^2$ triominos. Le problème consiste à attribuer un nombre entre $1$ et $n$ à chacun des $(k+1)^2$ sommets du graphe losange formé par les côtés des triangles équilatéraux de sorte que les triominos ainsi formés soient tous distincts. Soit $k_n$ le plus grand $k$ permettant une telle construction. Dans la suite, on appellera $C$ une constante générique (pas toujours la même) dont on laisse au lecteur le soin de la calculer :) Puisqu'il y a $Cn^3$ triominos et $2k^2$ triangles dans le losange, $k_n^2\leq Cn^3$ donc $k_n \leq C n^{3/2}$. En mettant sur les $(k+1)^2$ sommets des nombres différents, on a $k_n^2\geq n$ donc $k_n \geq Cn^{1/2}$. On peut améliorer cette borne avec une méthode probabiliste : en tirant pour chaque sommet du graphe losange un nombre au hasard uniformément entre $1$ et $n$, la probabilité que deux triangles différents aient le même triplet de nombres à leur sommets est $C/n^3$ et il y a $Ck^4$ paires de triangles donc la probabilité qu'une des paires de triominos soit identique est majorée par $Ck^4/n^3$ qui est plus petit que $1$ si $Ck^4