\section{Drôles de cookies}

Perrine a décidé de faire des cookies aux formes mathématiques pour les goûters du \tfjm. Elle dispose d'un outil qui lui permet de déposer comme elle le souhaite de la pâte à cookie dans le plan suivant un nombre fini de segments de ligne droite (le point étant accepté comme exemple de segment de longueur $0$). En chaque point $P$ de l'un de ces segments, l'outil permet à Perrine de déposer de la pâte en quantité $R(P)\geq 0$ plus ou moins importante.

Lorsqu'elle est au four, la pâte s'étale et remplit le disque de rayon $R(P)$ centré en $P$ pour chaque point $P$ où Perrine met de la pâte. La pâte de Perrine ne se repousse pas elle même. Par exemple si le disque de centre $P$ et de rayon $R(P)$ est contenu dans le disque de centre $P'$ et de rayon $R(P')$, alors la pâte s'étalera en un cookie de forme le disque de centre $P'$ et de rayon $R(P')$ uniquement. La forme du cookie après cuisson sera donc la réunion des disques de centre $P$ et de rayon $R(P)$ où $P$ parcourt l'ensemble des points où Perrine a mis de la pâte.

On appelle \textbf{cookie du plan}, ou plus simplement cookie, un ensemble de points du plan telle que la pâte de Perrine peut s'étaler pour devenir cet ensemble en suivant ce procédé.

La figure \ref{fig:pate} représente deux exemples de cookies. Le cookie orange est obtenu en étalant une pâte de rayon constant égal à $1$ sur un segment de longueur $1$. Le cookie bleu est obtenu à partir d'un segment de pâte de rayon variable et d'un autre point de pâte.

\begin{figure}[!ht]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \begin{scope}[scale=1.5]
            \fill[orangeAnimath] (0,1) arc (90:270:1) -- ++(1,0) arc (-90:90:1) -- cycle;
            \draw [thick] (0,0) -- ++(1,0);
            \draw[dashed, semitransparent] (0.3,0) node{\small $\times$} node[below]{$P_1$}
                circle (1) -- ++(-0.8,0.6) node[midway,sloped,above]{\footnotesize $R(P_1)$};
        \end{scope}

        \begin{scope}[scale=1,shift={(6,0)}]
            \fill[bleuAnimath] (105:1.5) arc (105:345:1.5) -- ++(75:{sqrt(3)/2}) arc (-15:105:1) -- cycle;
            \fill[bleuAnimath] (2,0) circle (1);
            \draw [thick] (0,0) -- ++(45:1);
            \draw [ultra thick] (2cm-1pt,0) -- (2cm+1pt,0);
            \foreach \i in {0.2,0.8} {
                \draw[dashed,semitransparent] (45:\i) node{\small $+$} circle ({1.5-\i/2});
            }
            \draw[dashed,semitransparent] (2,0) node{\small $\times$} circle (1);
        \end{scope}
    \end{tikzpicture}
    \caption{Deux exemples de cookies.}
    \label{fig:pate}
\end{figure}

Perrine aimerait notamment fabriquer les formes de cookie suivantes :
\begin{enumerate}
    \item un disque de rayon $R$;
    \item un rectangle plein de côtés de longueurs $a$ et $b$;
    \item un triangle plein de côtés de longueurs $a$, $b$ et $c$;
    \item un anneau de rayon intérieur $R_1$ et de rayon extérieur $R_2$ (avec $R_2>R_1$), les deux cercles qui constituent le bord de l'anneau étant inclus dans le cookie.
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\fill[orangeAnimath] (0,0) circle (1);
\draw (0,0) -- (1,0) node[midway,above]{$R$};
\fill[bleuAnimath] (2,-0.5) -- ++(0,1) node[black,midway,left]{$a$} -- ++(2,0) node[black,midway,above]{$b$} -- ++(0,-1) -- cycle;
\fill[orangeAnimath] (5,-1) -- ++(1,2) node[black,midway,left]{$a$} -- ++(2,-2) node[black,midway,above right]{$b$} -- cycle node[black,midway,below]{$c$};
\fill[bleuAnimath,even odd rule] (10,0) circle(0.8) circle(1.2);
\draw (10,0) -- ++(0:0.8) node[midway,below]{$R_1$};
\draw (10,0) -- ++(30:1.2) node[midway,above]{$R_2$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\q La forme a) est-elle un cookie ? Même question pour chacune des formes b), c) et d).

\medskip

La \textbf{quantité de pâte} utilisée pour faire un cookie est la somme des longueurs des segments où Perrine place de la pâte.

\q Pour chacune des formes de la question précédente qui sont des cookies, avec quelles quantités de pâte Perrine peut-elle la réaliser ?

\medskip

La précision de l'outil de Perrine étant limitée, la quantité de pâte qu'elle dépose en $P$ ne peut pas être trop petite. Pour un $r \geq 0$ fixé, on dit que l'outil de Perrine est de précision~$r$ lorsque $R(P) \geq r$ pour tout point $P$ placé par Perrine. On appelle $r$-\textbf{cookie du plan}, ou plus simplement $r$-cookie, un cookie que Perrine peut réaliser avec un outil de précision $r$. Les réponses aux questions suivantes vont donc dépendre de $r$.

En particulier, les $0$-cookies sont exactement les cookies, et tout $r$-cookie est un cookie.

\q Reprendre les questions précédentes dans le cas des $r$-cookies, en fonction de $r$.

\q On suppose dans cette question que Perrine réalise un $r$-cookie sans faire de segment de longueur $0$ et tel qu'il est impossible d'obtenir la même forme en utilisant strictement moins de pâte. Est-il possible qu'une répartition différente de la même quantité de pâte permette d'obtenir le même $r$-cookie, toujous sans segment de longueur $0$ ?

%\q Si $R(P)=r$ ne dépend pas de P, quelles valeur peut prendre le rapport entre la quantité de pâte nécessaire et l'aire de la brioche après cuisson ?

%\q Eric souhaite faire des brioches d'un seul tenant (il est toujours possible de faire un chemin de segments consécutifs dans la brioche qu'il obtient) [i.e. connexes par arcs + connexe ]. Parmi les points où Eric a placé de la pâte, est-il toujours possible de trouver un chemin de segments de pâte reliant deux points $P$ et $P'$.

%\q En fait, Eric se rend compte qu'il regardait ses brioches gonfler par au-dessus mais qu'elle gonfle en fait dans l'espace et non pas dans le plan. La brioche occupe alors la réunion des boules de centre P et de rayon $R(P)$ (où les points $P$ où Eric place de la brioche sont toujours dans le plan). Quel est alors le volume que prend la brioche si la forme vue au-dessus est :
%\begin{enumerate}
%    \item un disque de rayon $R$ ?
%    \item un carré de côté $C$ ?
%    \item Un rectangle de côté $a$ et $b$ ?
%\end{enumerate}

\medskip

Perrine s'intéresse maintenant à la forme du bord de ses $r$-cookies. Pour cela on suppose qu'elle dispose de deux fonctions continues $x : \R \to \R$ et~$y : \R \to \R$ qui vérifient les propriétés suivantes :
\begin{itemize}
    \item elles sont 1-périodiques, c'est-à-dire que $x(t+1) = x(t)$ et $y(t+1) = y(t)$ pour tout $t$ réel,
    \item pour toutes valeurs de $t$ et $t'$, tel que on a simultanément $x(t) = x(t')$ et $y(t) = y(t')$, alors la différence $t-t'$ est entière.
\end{itemize}

Perrine trace dans le plan l'ensemble $\Gamma$ des points de coordonnées $\left(x(t),y(t)\right)$, appelé \textbf{contour}. Elle cherche maintenant à savoir si la partie du plan que le contour délimite (que l'on suppose bien définie) est un~$r$-cookie.

\q Existe-t-il un contour pour lequel $x$ et $y$ sont continues, mais pour lequel la partie délimitée n'est pas un~$r$-cookie ? Si oui, est-ce possible avec $x$ et $y$ dérivables ? Deux fois dérivables ? Trois fois dérivables ? 

\q Existe-t-il un contour pour lequel $x$ et $y$ sont continues, qui soit un cookie, mais qui ne soit un~$r$-cookie pour aucun $r>0$ ? Si oui, est-ce possible avec $x$ et $y$ dérivables ? Deux fois dérivables ? Trois fois dérivables ? 

%Existe-t-il des formes donc le contour est continu (je regarde l'intérieur d'un lacet simple continu) qui ne peuvent pas être obtenue avec un nombre fini de brioche ?

%\q Existe-t-il des formes donc le contour est $C^1$ (je regarde l'intérieur d'un lacet simple continu) qui ne peuvent pas être obtenue avec un nombre fini de brioche ? Et si on est $C^1$ sauf en un nombre fini de points ?

\q Donner d'autres conditions sur une forme pour que ce soit un $r$-cookie.

%\q Maintenant on souhaite que Eric soit "proche" de la forme finale (l'idée serait d'approximer un coin par exemple). On suppose qu'il essaie d'obtenir la forme A mais qu'il obtienne la forme B, on définit alors un coefficient $\rho(A,B):=\rho(A \Delta B)/\rho(A)$ qui estime à quel point on est proche de la bonne forme. Si $\rho=0$ on dira que B recouvre presque partout A.

\q Proposer et explorer d'autres pistes de recherche, par exemple en dimension $3$.