\section*{Eléments de réponse} 

\q a) (Facile) Oui Nicolas peut emmener l'électron n'importe où. Puisque la distance maximale entre deux demi-tours est $2$, le nombre minimal de demi-tours pour aller de $A$ à $B$ est $\lceil\frac{AB}{2}\rceil -1$.

b) (Moyen) On suppose $A=(0,0)$, $B=(\ell,0)$. On pose $P(t)$ la position de l'électron au temps $t$. On remarque que trouver le plus court chemin allant de $A$ à $B$ revient à trouver le plus court chemin allant de d'un point d'abscisse $0$ à un point d'abscisse $\ell$. En effet, si on considère un tel chemin de longueur $T$, si $P(0) = (0,0)$ et $P(T) = (\ell,h)$ alors si $h\neq 0$ on a $T'< T$ tel que $P(0)P(T') = \ell < P(0)P(T)$ donc en tournant globalement le chemin, va de $(0,0)$ à $(0,\ell)$ en un temps $T'<T$.

On peut donc se contenter de regarder les abscisses $x(t)$ de $P(t)=(x(t),y(t))$. Si on observe le vecteur vitesse $v(t)$ du point, il s'agit d'un vecteur unitaire qui tourne à vitesse angulaire constante et qui fait demi-tour de temps à autre. Si $v(t)\cdot \overrightarrow{AB} < 0$ pour $t\in [t_1,t_2]$, en rajourant un demi-tour entre $t_1$ et $t_2$, on obtient une nouvelle trajectoire $P'(t)=(x'(t),y'(t))$ telle que $v'(t_2) = v(t_2)$ et $x'(t_2)>x(t_2)$ donc $x'$ atteint $\ell$ en un temps strictement plus court que $x$ donc si $P$ est le plus court chemin alors $v(t)\cdot \overrightarrow{AB} \geq 0 \;\forall t$. Les demi-tours ont donc lieu exactement quand $v(t)$ pointe vers le bas.

$x(t)$ augmente de $2$ quand $v$ fait un cycle complet (c'est-à-dire parcourt un demi-cercle) donc il reste à regarder ce qu'il se passe pour $\ell < 2$. On peut le faire avec $0$ ou $1$ demi-tour mais on constate que le trajet sans demi-tour est plus court.

Finalement, si $AB=\ell=2n+r$ où $n$ entier et $r\in [0,2[$, le chemin le plus court a pour longueur $n\pi + 2\text{Arcsin}(\frac{r}{2})$.

\q 

\q (Moyen) Deuxieme réponse