\section{Triominos}

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Soit $n\geq 1$ un entier, fixé dans la suite. Alice a des pièces triangulaires, appelées triominos. Sur chaque triomino, trois nombres entre $1$ et $n$ sont inscrits, un sur chaque côté.
\begin{center}
\begin{figure}[h]
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0)--(2,0)--(1,1.732)--cycle;
\draw (1,.2) node{$1$};
\draw (.65,.766) node{$3$};
\draw (1.35,.766) node{$3$};
\end{tikzpicture}

\caption{Un exemple de triomino avec sur les côtés les valeurs $1, 3$ et $3$}
\end{figure}
\end{center}

Alice décide de placer les triominos les uns à côté des autres dans le plan, de sorte que les numéros écrits sur deux côtés adjacents coïncident.

\begin{center}
\begin{figure}[h]
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0)--(4,0)--(2,3.464)--cycle;
\draw (2,0)--(3,1.732)--(1,1.732)--cycle;
\draw (1,.2) node{$2$};
\draw (.65,.766) node{$2$};
\draw (1.35,.766) node{$2$};
\draw (3,.2) node{$3$};
\draw (2,1.932) node{$1$};
\draw (1.65,2.498) node{$2$};
\draw (2.35,2.498) node{$1$};
\draw (2,1.532) node{$1$};
\draw (1.65,.966) node{$2$};
\draw (2.35,.966) node{$2$};
\draw (2.65,.766) node{$2$};
\draw (3.35,.766) node{$1$};
\end{tikzpicture}
\caption{Exemple de configuration possible}
\end{figure}
\end{center}

Deux triominos sont considérés comme identiques si on peut obtenir l'un à partir de l'autre par rotation. En revanche, on ne peut pas retourner un triomino. Ainsi, les deux triominos ci-dessous sont considérés comme distincts. 

\begin{center}
\begin{figure}[h]
\begin{tikzpicture}
\draw[thick, orangeAnimath] (0,0)--(4,0)--(3,1.732)--(2,0)--(1,1.732)--cycle;
\draw[thick, bleuAnimath] (4,0)--(6,0)--(5,1.732)--cycle;
\draw (1,.2) node{$2$};
\draw (3,.2) node{$1$};
\draw (.65,.766) node{$1$};
\draw (1.35,.766) node{$3$};
\draw (2.65,.766) node{$3$};
\draw (3.35,.766) node{$2$};
\draw (5,.2) node{$2$};
\draw (4.65,.766) node{$1$};
\draw (5.35,.766) node{$3$};
\end{tikzpicture}
\caption{Les deux triominos orange sont identiques, mais le triomino bleu est différent}
\end{figure}
\end{center}

Alice possède un jeu complet de triominos, composé d'un unique exemplaire de chaque triomino possible en utilisant les nombres de $1$ à $n$.

\q Combien Alice possède-t-elle de triominos ?

Alice souhaite disposer ses triominos en ligne droite, de la façon suivante :

\begin{center}
\begin{figure}[h]
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0)--(8,0);
\draw (1,1.766)--(7,1.766);
\draw (0,0)--(1,1.766)--(2,0)--(3,1.766)--(4,0)--(5,1.766)--(6,0)--(7,1.766)--(8,0);
\end{tikzpicture}
\caption{Exemple de disposition s'il y a $7$ triominos}
\end{figure}
\end{center}

\q a) Alice peut-elle disposer les triominos en ligne droite si $n=1$ ? $n=2$ ? $n=3$ ?

b) Et pour $n$ quelconque ?

Une configuration est dite \textit{connexe} si, pour tout couple de triominos, il existe un chemin dans les triominos qui va de l'un à l'autre. Un chemin est une suite de triominos adjacents, et dire que deux triominos sont adjacents signifie qu'ils ont un côté commun.

\q Est-il toujours possible de trouver une configuration connexe utilisant toutes les pièces ?

Désormais, les nombres ne sont plus écrits sur les côtés mais sur chaque sommet. Alice souhaite donc que les nombres écrits sur deux sommets adjacents coïncident.

\begin{center}
\begin{figure}[h]
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0)--(4,0)--(2,3.464)--cycle;
\draw (2,0)--(3,1.732)--(1,1.732)--cycle;
\draw (.3,.2) node{$2$};
\draw (1.7,.2) node{$4$};
\draw (1,1.366) node{$2$};
\draw (2.3,.2) node{$4$};
\draw (3.7,.2) node{$2$};
\draw (3,1.366) node{$1$};
\draw (2,.4) node{$4$};
\draw (1.35,1.516) node{$2$};
\draw (2.65,1.516) node{$1$};
\draw (1.3,1.966) node{$2$};
\draw (2.7,1.966) node{$1$};
\draw (2,3.064) node{$3$};
\end{tikzpicture}
\caption{Exemple de configuration possible}
\end{figure}
\end{center}

\q Reprendre les questions précédentes dans ce cas.

\q Quel est le plus grand losange qu'on puisse former en assemblant les pièces ?

\q Proposez et étudiez d'autres pistes de recherche.