TFJM-2024/src/ping_pong.tex

\section{Tournoi de ping--pong}

Soit $n \geq 2$ un entier. Dans un club de ping-pong, il y a $2n$ joueuses numérotées de $1$ à $2n$. On suppose que les joueuses sont classées de la plus forte à la moins forte, de sorte que quand les joueuses $i$ et $j$ s'affrontent en match, si $i<j$, alors la joueuse $i$ gagne toujours contre la joueuse $j$. Les matchs ont lieu sur $n$ tables numérotées de $1$ à $n$. On appelle \textbf{configuration} une manière de répartir les $2n$ joueuses sur les $n$ tables de sorte qu'il y ait exactement $2$ joueuses à chaque table.

Au départ, les joueuses sont dans une configuration initiale puis elles jouent par tours successifs. Un tour se déroule de la manière suivante : à chaque table, les deux joueuses présentes s'affrontent puis pour tout numéro de table $k$, la gagnante de la table $k$ monte à la table~$k-1$ (sauf si $k=1$, auquel cas elle reste à la table $1$), et la perdante de la table $k$ descend à la table~$k+1$ (sauf si $k=n$, auquel cas elle reste à la table $n$). On dira qu'une table est plus \textbf{haute} qu'une autre si son numéro est plus petit que l'autre.

\begin{figure}[!ht]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
        \draw(0,0)--(2,0)--(2,0.6)--(0,0.6)--(0,0);
        \draw(0,1)--(2,1)--(2,1.6)--(0,1.6)--(0,1);
        \draw(0,2)--(2,2)--(2,2.6)--(0,2.6)--(0,2);
        \draw(0,3)--(2,3)--(2,3.6)--(0,3.6)--(0,3);
        \draw(0.5,0.3)node{$3$};
        \draw(1.5,0.3)node{$6$};
        \draw(0.5,1.3)node{$1$};
        \draw(1.5,1.3)node{$4$};
        \draw(0.5,2.3)node{$5$};
        \draw(1.5,2.3)node{$8$};
        \draw(0.5,3.3)node{$2$};
        \draw(1.5,3.3)node{$7$};
        \draw(1,-1)node{\text{Tour $1$}};

        \begin{scope}[shift={(3,0)}]
            \draw(0,0)--(2,0)--(2,0.6)--(0,0.6)--(0,0);
            \draw(0,1)--(2,1)--(2,1.6)--(0,1.6)--(0,1);
            \draw(0,2)--(2,2)--(2,2.6)--(0,2.6)--(0,2);
            \draw(0,3)--(2,3)--(2,3.6)--(0,3.6)--(0,3);
            \draw(0.5,0.3)node{$4$};
            \draw(1.5,0.3)node{$6$};
            \draw(0.5,1.3)node{$3$};
            \draw(1.5,1.3)node{$8$};
            \draw(0.5,2.3)node{$1$};
            \draw(1.5,2.3)node{$7$};
            \draw(0.5,3.3)node{$2$};
            \draw(1.5,3.3)node{$5$};
            \draw(1,-1)node{\text{Tour $2$}};
        \end{scope}

        \begin{scope}[shift={(6,0)}]
            \draw(0,0)--(2,0)--(2,0.6)--(0,0.6)--(0,0);
            \draw(0,1)--(2,1)--(2,1.6)--(0,1.6)--(0,1);
            \draw(0,2)--(2,2)--(2,2.6)--(0,2.6)--(0,2);
            \draw(0,3)--(2,3)--(2,3.6)--(0,3.6)--(0,3);
            \draw(0.5,0.3)node{$6$};
            \draw(1.5,0.3)node{$8$};
            \draw(0.5,1.3)node{$4$};
            \draw(1.5,1.3)node{$7$};
            \draw(0.5,2.3)node{$3$};
            \draw(1.5,2.3)node{$5$};
            \draw(0.5,3.3)node{$1$};
            \draw(1.5,3.3)node{$2$};
            \draw(1,-1)node{\text{Tour $3$}};
        \end{scope}

    \end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{Un exemple avec $n=4$. Notons que la configuration atteinte au tour $3$ est stable.}

\end{figure}

Une configuration est dite \textbf{stable} si après deux tours, les joueuses se retrouvent dans la même configuration.

\q On fixe $1 \leq i \leq 2n$. Quelle est la table la plus haute à laquelle peut se trouver la joueuse $i$ dans une configuration stable ? Et la plus basse ?

\q Compter le nombre de configurations stables en fonction de $n$.

\q Les joueuses atteignent-elles toujours une configuration stable après un nombre de tours suffisants ? Dans ce cas, donner un encadrement en fonction de $n$ du plus grand nombre possible de tours qui peuvent être nécessaires pour atteindre une configuration stable.

\q Soient $1 \leq i \leq 2n$ et $1 \leq k \leq n$. On sait que la joueuse $i$ doit commencer à la table $k$. En supposant qu'elle puisse choisir le reste de la configuration initiale comme cela l'arrange, quelle est la plus haute table qu'elle peut espérer atteindre au moins une fois ?

\q On se donne $1 \leq k < l \leq n$. En fonction de $k$ et $l$, est-il possible qu'une joueuse commence à la dernière table, atteigne la table $k$ puis se stabilise plus tard à la table $l$ ?

\q Les joueuses tiennent un carnet où elles notent leurs résultats sous la forme suivante : quand elles remportent un match, elles écrivent un $V$, et quand elles perdent, elles écrivent un $D$. Par exemple, si une joueuse remporte ses deux premiers matchs puis perd les trois suivants, elle écrira le mot $VVDDD$. On dit qu'un mot formé de lettres $D$ et $V$ est \textbf{inscriptible} si il existe une configuration initiale à $2n$ joueuses dans laquelle une des joueuses écrira ce mot. Par exemple, le mot $VV...V$ est toujours inscriptible car il sera inscrit par la joueuse $1$.
\begin{enumerate}
\item Donner des exemples de mots inscriptibles et de mots non inscriptibles.
\item En fonction de $n$, estimer le plus grand $\ell$ pour lequel tous les mots de longueur $\ell$ sont inscriptibles.
\item En fonction de $n$ et $\ell$, estimer le nombre de mots inscriptibles de longueur $\ell$.
\end{enumerate}

\q Parmi toutes les configurations initiales, estimer la proportion des configurations qui font que la joueuse $3$ n'atteindra jamais la table $1$. Généraliser en changeant les numéros de la joueuse et de la table.

\q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche.