From 097a295f834be884371af82fb89ae08c87a5a66a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: William Driot Date: Fri, 20 Dec 2024 16:09:26 +0100 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?Quelques=20corrections=20sur=20In=C3=A9galit?= =?UTF-8?q?=C3=A9s-Graphes?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- src/inegalites-graphe.tex | 12 ++++++------ 1 file changed, 6 insertions(+), 6 deletions(-) diff --git a/src/inegalites-graphe.tex b/src/inegalites-graphe.tex index e0ee3db..fd34d8b 100644 --- a/src/inegalites-graphe.tex +++ b/src/inegalites-graphe.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \section{Le poids des graphes} -Alexandra et Guillaume s'intéressent aux graphes. Un \textbf{graphe} est un ensemble de sommets avec un ensemble d'arêtes, c'est-à-dire que certains pairs de sommets sont liées. +Alexandra et Guillaume s'intéressent aux graphes. Un \textbf{graphe} est un ensemble de sommets avec un ensemble d'arêtes, c'est-à-dire que certaines paires de sommets sont liées. Étant donné un graphe $G$ à $n$ sommets, ils numérotent les sommets de 1 à $n$. Le \textbf{poids d'une arête} est le maximum des deux nombres écrits aux sommets de l'arête. Le \textbf{poids d'une numérotation} est la somme de tous les poids des arêtes. Figure \ref{Fig1} montre deux exemples. @@ -37,7 +37,7 @@ Alexandra et Guillaume s'intéressent aux graphes. Un \textbf{graphe} est un ens \draw (1.6,1.6) node {1}; \end{scope} \end{tikzpicture} -\caption{A gauche, un exemple de poids 12. A droite un exemple de poids 14.}\label{Fig1} +\caption{À gauche, un exemple de poids 12. À droite un exemple de poids 14.}\label{Fig1} \end{figure} @@ -60,9 +60,9 @@ Alexandra et Guillaume s'intéressent aux graphes. Un \textbf{graphe} est un ens \q Quelle est la valeur maximale et minimale du poids dans les cas suivants (voir aussi Figures \ref{Fig3} et \ref{Fig4}) : -\noindent\textbf{a)} le graphe complet $K_n$ à $n$ sommets (où $n\geq 2$), pour lequel toutes les pairs de sommets sont reliées par une arête. +\noindent\textbf{a)} le graphe complet $K_n$ à $n$ sommets (où $n\geq 2$), pour lequel toutes les paires de sommets sont reliées par une arête. -\noindent\textbf{b)} le graphe des pairs $P_n$ avec $2n$ sommets (où $n\geq 2$), regroupés par pairs. +\noindent\textbf{b)} le graphe des paires $P_n$ avec $2n$ sommets (où $n\geq 2$), regroupés par paires. \noindent\textbf{c)} le graphe $A_n$ à $n$ sommets (où $n\geq 3$), formant un anneau. @@ -133,8 +133,8 @@ Alexandra et Guillaume s'intéressent aux graphes. Un \textbf{graphe} est un ens \q Trouver des formules ou estimations pour le poids maximal et minimal d'un graphe quelconque. \medskip -Maintenant, Alexandra et Guillaume jouent le jeu suivant : étant donné un graphe à $n$ sommets, à tour de rôle ils vont attribuer un numéro (entre 1 et $n$ non déjà utilisé) à un sommet (qui n'a pas déjà de numéro). Alexandra commence. -Le but pour Alexandra est d'obtenir le poids le plus grand possible, tandis que Guillaume cherche à obtenir le poids le plus petit possible. +Maintenant, Alexandra et Guillaume jouent au jeu suivant : étant donné un graphe à $n$ sommets, à tour de rôle ils vont attribuer un numéro entre 1 et $n$ à un sommet. Ils n'ont pas le droit de réattribuer un nombre qui a déjà été joué, et ils ne peuvent pas attribuer un nombre à un sommet qui ait déjà un numéro. +Alexandra commence. Le but pour Alexandra est d'obtenir le poids le plus grand possible, tandis que Guillaume cherche à obtenir le poids le plus petit possible. \q En reprenant les graphes des questions précédentes, décrire les stratégies d'Alexan\-dra et de Guillaume. Quel est le poids du graphe quand les deux jouent d'une manière optimale ?