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Points coloriés sur un cercle, version finale
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c4123983ca
commit
1c26d59266
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@ -19,15 +19,15 @@
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\node at (140:1.8cm) {3};
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\node at (340:1.8cm) {4};
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\draw[very thick, red] (A1) arc[start angle=0, end angle=140, radius=1.5cm];
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\draw[very thick, blue] (B1) arc[start angle=180, end angle=340, radius=1.5cm];
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\draw[very thick, orangeAnimath] (A1) arc[start angle=0, end angle=140, radius=1.5cm];
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\draw[very thick, bleuAnimath] (B1) arc[start angle=180, end angle=340, radius=1.5cm];
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\foreach \angle in {0, 140} {
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\filldraw[fill=red] (\angle:1.5cm) circle (2pt); % Points sur le cercle de rayon 2 cm
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\filldraw[fill=orangeAnimath] (\angle:1.5cm) circle (2pt); % Points sur le cercle de rayon 2 cm
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}
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\foreach \angle in {180, 340} {
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\filldraw[fill=blue] (\angle:1.5cm) circle (2pt); % Points sur le cercle de rayon 2 cm
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\filldraw[fill=bleuAnimath] (\angle:1.5cm) circle (2pt); % Points sur le cercle de rayon 2 cm
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}
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\end{scope}
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\end{tikzpicture}
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@ -73,15 +73,15 @@
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\draw[dotted] (0:2cm) -- (180:2cm);
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% \draw[very thick, red] (A1) arc[start angle=0, end angle=140, radius=1.5cm];
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% \draw[very thick, blue] (B1) arc[start angle=180, end angle=340, radius=1.5cm];
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% \draw[very thick, orange] (A1) arc[start angle=0, end angle=140, radius=1.5cm];
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% \draw[very thick, bleuAnimath] (B1) arc[start angle=180, end angle=340, radius=1.5cm];
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\foreach \angle in {0, 220} {
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\filldraw[fill=red] (\angle:1.5cm) circle (2pt); % Points sur le cercle de rayon 2 cm
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\filldraw[fill=orangeAnimath] (\angle:1.5cm) circle (2pt); % Points sur le cercle de rayon 2 cm
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}
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\foreach \angle in {140} {
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\filldraw[fill=blue] (\angle:1.5cm) circle (2pt); % Points sur le cercle de rayon 2 cm
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\filldraw[fill=bleuAnimath] (\angle:1.5cm) circle (2pt); % Points sur le cercle de rayon 2 cm
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}
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\draw[dotted] (0,0) -- (B1);
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@ -123,15 +123,15 @@
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% \draw[dotted] (0:5cm) -- (180:5cm);
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% \draw[very thick, red] (A1) arc[start angle=0, end angle=140, radius=1.5cm];
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% \draw[very thick, blue] (B1) arc[start angle=180, end angle=340, radius=1.5cm];
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% \draw[very thick, orangeAnimath] (A1) arc[start angle=0, end angle=140, radius=1.5cm];
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% \draw[very thick, bleuAnimath] (B1) arc[start angle=180, end angle=340, radius=1.5cm];
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\foreach \angle in {0, 120} {
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\filldraw[fill=red] (\angle:1.5cm) circle (2pt); % Points sur le cercle de rayon 2 cm
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\filldraw[fill=orangeAnimath] (\angle:1.5cm) circle (2pt); % Points sur le cercle de rayon 2 cm
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}
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\foreach \angle in {140} {
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\filldraw[fill=blue] (\angle:1.5cm) circle (2pt); % Points sur le cercle de rayon 2 cm
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\filldraw[fill=bleuAnimath] (\angle:1.5cm) circle (2pt); % Points sur le cercle de rayon 2 cm
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}
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% \draw[dotted] (0,0) -- (B1);
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@ -169,11 +169,11 @@ La probabilité associée est $ \frac{\theta + \alpha \theta}{2\pi} $, l'espéra
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% \draw[dotted] (0:5cm) -- (180:5cm);
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% \draw[very thick, red] (A1) arc[start angle=0, end angle=140, radius=1.5cm];
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% \draw[very thick, blue] (B1) arc[start angle=180, end angle=340, radius=1.5cm];
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% \draw[very thick, orangeAnimath] (A1) arc[start angle=0, end angle=140, radius=1.5cm];
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% \draw[very thick, bleuAnimath] (B1) arc[start angle=180, end angle=340, radius=1.5cm];
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\foreach \angle in {0, 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, 320} {
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\filldraw[fill=blue] (\angle:1.5cm) circle (2pt); % Points sur le cercle de rayon 2 cm
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\filldraw[fill=bleuAnimath] (\angle:1.5cm) circle (2pt); % Points sur le cercle de rayon 2 cm
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}
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% \draw[dotted] (0,0) -- (B1);
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@ -184,7 +184,7 @@ La probabilité associée est $ \frac{\theta + \alpha \theta}{2\pi} $, l'espéra
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\end{tikzpicture}
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\end{figure}
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Le fait qu'on considère les $\varepsilon$-approximations de ce polygône régulier fait qu'on considère un évènement de probabilité non-nulle. (L'évènement "Il existe un polygone régulier $P$ à $n$ cotés inscrit dans le cercle tel que le polygone joué par l'adversaire a tous ses sommets à distance $\leqslant \varepsilon$ de $P$" est de probabilité non-nulle).
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Le fait qu'on considère les $\varepsilon$-approximations de ce polygône régulier fait qu'on considère un évènement de probabilité non-nulle. (L'évènement \og Il existe un polygone régulier $P$ à $n$ cotés inscrit dans le cercle tel qu'il y a, pour chaque sommet $S$ de $P$, un unique point joué par l'adversaire dans la boule $B(S,\varepsilon)$ \fg est de probabilité non-nulle. Pour le voir, il suffit de fixer un tel polygône $P_0$, et d'écrire l'évènement $E_{P_0}$ = \og Il y a, pour chaque sommet $S$ de $P_0$, un unique point joué par l'adversaire dans la boule $B(S,\varepsilon)$ \fg avec des unions, des intersections (et des permutations). L'évènement \og Il existe ... \fg est l'union des $E_{P_0}$, tous de probabilité non-nulle).
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Dans ce cas, il est clair que pour $\varepsilon$ assez petit, Alice va être obligée de :
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@ -212,28 +212,30 @@ De cette manière, par construction, elle s'assure la victoire. On se convainc f
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Pour faire tout cela, il faut des points pour couper un arc sur deux (arrondi au supérieur si $p$ est impair) : $ \left \lfloor \frac{p+1}{2} \right \rfloor $, plus 1 pour construire l'arc du second point précédent.
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L'évènement "Elle est obligée de faire tout ça" est de probabilité strictement positive, car il contient l'évènement "les sommets joués par l'adversaire sont à distance $\leqslant \varepsilon$ d'un polygône régulier à $n$" (Il existe un polygone régulier $P$ à $n$ cotés inscrit dans le cercle tel que le polygone joué par l'adversaire a tous ses sommets à distance $\leqslant \varepsilon$ de $P$). Il reste à justifier que cet évènement est bien de probabilité $>0$, pas la peine de développer les calculs ici je pense ; on a condition nécessaire annoncée au début.
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L'évènement \og Elle est obligée de faire tout ça \fg est de probabilité strictement positive, car il contient l'évènement décrit précédemment.
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Je ne sais pas si c'est suffisant, je pense que non. Je n'ai pas trouvé d'autres conditions.
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\q
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\begin{enumerate}
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\item (Moyen) On cherche l'évènement contraire \og L'adversaire a bien coupé au moins une fois chaque arc \fg.
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\q Évidemment, elle a envie de jouer le (un) polygône à $p$ côtés inscrit dans le cercle.
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La probabilité de gagner est un dénombrement au cours duquel il est très facile de s'exciter trop vite et de se tromper ! Cette question saura distinguer les équipes sachant raisonner droit de celles trébuchant au moindre obstacle.
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La réponse est 1 si $ p < n $ et ... sinon.
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La réponse est $0$ si $ n < p $ et $ \displaystyle \frac{1}{p^n} \sum\limits_{k=1}^p (-1)^{k-1} (p-k)^n \binom{p}{k} $ sinon.
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\item (Difficile/Ouvert) Je pense que c'est faisable, mais c'est vraiment dur, surtout en Terminale.
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Je pense qu'on doit pouvoir montrer que c'est optimal, en utilisant le fait que toute autre stratégie formera nécessairement un arc de longueur $ > \frac{2\pi}{p} $. Il faut montrer que ça diminue nécessairement les chances de gagner. Une piste possible est de noter $ \theta_1, ..., \theta_{p-1} $ les angles entre les différents placés, et de calculer explicitement la probabilité $ f(\theta_1, ..., \theta_{p-1}) $ de gagner (noter que $f$ est symétrique). Je pense que c'est faisable (sans être facile).
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\end{enumerate}
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\q (Difficile/Ouvert) Appelons J1 le joueur qui joue en premier et J2 celui qui joue en deuxième, donc aussi en dernier.
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\q (Moyen/Difficile)
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\textbf{J1 n'a pas de stratégie gagnante :}
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\q (Difficile/Ouvert) Peut-être seulement difficile sans être infaisable.
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Il est clair que J2 peut empêcher J1 de gagner, en coupant les arcs de J1 à chaque fois qu'il joue. Lorsque J1 a placé ses deux premiers points et que c'est au tour de J2 de jouer, J1 a nécessairement formé un unique arc primitif, et il suffit à J2 de la bloquer. Par récurrence, à chaque fois que c'est au tour de J2 de jouer, J1 dispose d'un unique arc primitif, et il suffit à J2 de le couper.
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\q (Ouvert)
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Ainsi, J2 peut empêcher J1 de gagner.
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Je pense que J2 a une stratégie gagnante. C'est ce qu'on constate pour les petits valeurs de $n$. Mais la décrire précisément est difficile. Je pense qu'une fois qu'on l'a précisément décrite, montrer qu'elle fonctionne est plus simple parce que ça doit découler des propriétés de cette stratégie.
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\q (Ouvert)
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\q (Ouvert)
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\q (Ouvert)
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@ -39,7 +39,7 @@ Le jeu se déroule sur un cercle. Au départ, les points du cercle sont non colo
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\draw[very thick, bleuAnimath] (B2) arc[start angle=319, end angle=375, radius=1.5cm];
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\foreach \angle in {30, 300, 150} {
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\filldraw[fill=orangeAnimath] (\angle:1.5cm) circle (2pt);
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\filldraw[fill=bleuAnimath] (\angle:1.5cm) circle (2pt);
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}
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\foreach \angle in {219, 319, 15} {
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@ -86,7 +86,7 @@ Comme Lucie n'aime pas perdre, elle commence par se choisir pour adversaire l'Id
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Lucie et son adversaire conviennent de commencer par fixer $2n = 4$.
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\q Montrer que si Lucie laisse son adversaire jouer en premier, elle dispose d'une stratégie lui permettant de gagner avec probabilité 1.
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\q Montrer que si Lucie laisse son adversaire jouer en premier, elle dispose d'une stratégie lui permettant de gagner à tous les coups.
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\q Après qu'elle ait gagné une partie, son adversaire la laisse jouer en premier.
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@ -114,20 +114,20 @@ Lucie propose un pacte à son adversaire. Ils conviennent d'un entier $p \geqsla
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\q Déterminer des conditions nécessaires et suffisantes sur $n,p$ pour que Lucie dispose d'une stratégie lui permettant de gagner avec probabilité 1.
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\q Pour essayer, Lucie et son adversaire reprennent exactement la même configuration que la précédente, mais en échangeant les rôles. Lucie place $p$ points, son adversaire en place $n$. Ce dernier joue toujours aléatoirement, et Lucie place tous ses points en premier. De plus, cette fois-ci, on n'impose plus $ p \geqslant n $.
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\begin{enumerate}
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Pour essayer, Lucie et son adversaire reprennent exactement la même configuration que la précédente, mais en échangeant les rôles. Lucie place $p$ points, son adversaire en place $n$. Ce dernier joue toujours aléatoirement, et Lucie place tous ses points en premier. De plus, cette fois-ci, on n'impose plus $ p \geqslant n $.
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\item Lucie est fortement tentée de jouer le polygône régulier à $p$ côtés inscrit dans le cercle. Quelle est alors sa probabilité de gagner ?
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\q Étudier l'existence d'une configuration de ses $p$ points maximisant sa probabilité de gagner.
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\item Cette stratégie est-elle optimale ?
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\end{enumerate}
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Fatiguée de jouer avec l'Idiot du Village, Lucie se trouve un adversaire à sa taille : Lucien. L'un des deux joueurs est désigné pour jouer en premier, et $ 2n \in \mathbb N^* $ est fixé. La règle du tour-par-tour est alors appliquée. Lucien commence à jouer.
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\q L'un des deux joueurs dispose-t-il d'une stratégie gagnante ?
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\q Et si le joueur qui joue en premier peut jouer $n+1$ points, et celui qui joue en second seulement $n$ (toujours au tour-par-tour, le premier jouant donc en premier et aussi en dernier), l'un des deux joueurs dispose-t-il d'une stratégie gagnante ?
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\q Lucie se demande : que dire des questions précédentes si elle avait convenu dès le départ que le gagnant était non pas celui ayant l'arc le plus long, mais celui étant parvenu à maximiser la somme des longueurs des arcs primitifs de sa couleur ?
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\q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche.
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