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commit
2b5025766e
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@ -1,5 +1,119 @@
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\section*{Eléments de réponse}
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\q (Facile) Première réponse
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De nombreuses questions sont ouvertes. L'enjeu est de trouver des stratégies aussi bonnes que possibles sans affirmer effrontément l'optimalité, de démontrer des bornes, et de traiter intégralement des petits cas.
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\q (Moyen) Deuxieme réponse
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Le problème technique à rédiger rigoureusement car on est amené dans plusieurs question à s'intéresser à des points agglomérés, ie à une distance suffisamment petite par rapport à toutes les autres distances.
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\q Facile : la CNS est que les points sont dans le même ordre
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\q Conjecture : Facile. On peut effectuer des rotation de tout $\theta < \frac{\pi}{n}$, donc on peut faire une rotation de $\pi$ en $n+1$ étapes.
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Optimalité : Assez facile mais potentiellement un tantinet technique. On peut par exemple considérer la somme des déplacement angulaires dans un sens donné, qui doit rester $<\pi$.
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\q Existence : Assez facile. Valeur exacte : Ouvert
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Il n'est pas évident que le pire cas est un cas où tous les points sont agglomérés au départ, à un endroit hors du demi-cercle à préciser.
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En effet, on est parfois amené à déplacer strictement plus de la moitié du même côté, auquel cas éparpiller un peu les points pourrait a priori donner une configuration plus difficile.
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Néanmoins, cela semble vrai.
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\begin{itemize}
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\item Si les points sont agglomérés à l'antipode de manière symétrique, la stratégie naïve en amène de chaque côté un dans le demi-cercle toutes les 2 années (2 la première année). Il faut $n$ années si $n$ est impair, et $n-2$ si $n$ est pair.
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On peut faire mieux ($n-1$) pour $n$ impair à partir de $n=7$ en décalant la construction. Le décalage est manière infime par rapport à $n$ (un truc en $2^{-n}$ je crois), donc pour que cela fonctionne facilement les points doivent vraiment être très agglomérés au départ.
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\item Si les points sont agglomérés juste à côté de l'extrémité du demi-cercle, on peut en faire 2 la première année puis 1 par an, pour un total de $n-1$ années. Mais on peut faire mieux ($\le n-2$) pour $n$ suffisamment grand (à partir de $n=5$, ou peut-être $n=6$ selon la manière précise dont les points sont agglomérés).
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\item Les deux construction précédentes ne permettent pas toujours d'obtenir le pire cas. Par exemple, pour $n=6$, si les points sont agglomérés à l'antipode de manière pas tout à fait symétrique, on peut avoir besoin de $5$ années plutôt que 4.
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\end{itemize}
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Je conjecture que, pour tout $k$, apcr, le pire cas dépasse les $n+k$ années. Une fonction type $n + \ln(n)$, par exemple. Pas de preuve, même pour $k=0$. (Le démontrer pour $k=0$ serait déjà super.)
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\q Assez facile : Non. En effet, pour obtenir une configuration où $3$ points ou plus sont agglomérés, il faut un nombre arbitrairement grand d'années.
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\q 1bis) Facile : Oui (enfin, c'est facile avec un argument topologique, peut-être plus technique sans)
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2bis) On peut faire strictement mieux que dans le cercle : Moyen. Valeur exacte : Ouvert
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Une manière plus efficace que de rester sur le cercle (mais probablement pas optimale) est la suivante :
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\begin{itemize}
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\item On sépare les points en $k$ groupes. (On en prend $1$ sur $k$ si $k|n$, sinon on bricole.)
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\item Année 1 : Les points gardent le même argument (dans le plan complexe), mais on envoie les points du groupe $i$ à une distance de l'origine égale à $f(i)$.
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\item Années 2 à $\approx \frac{n}{k} + 1$ : On fait tourner chaque polygone indépendamment (nécessite d'avoir bien choisi $f$).
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\item Années $\approx \frac{n}{k} + 2$ et un peu plus : On recompacte les points en un même polygone (plus ou moins long selon $f$).
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\end{itemize}
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A voir, en fonction de $n$, le meilleur $k$ et la meilleure fonction $f$.
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Par exemple, pour $n \ge 8$ pair, si on prend $k=2$ et $f(1) = \epsilon ~;~ f(2) = 2-\epsilon$ (avec $\epsilon$ suffisamment petit), on fait en tout $1 + (\frac{n}{2} + 1) + 1 = \frac{n}{2} + 3$ étapes au lieu de $n+1$, c'est strictement mieux.
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En résumé, on peut faire $o(n)$ (car à $k$ fixé les termes autres que $\frac{n}{k}$ sont des $O(1)$).
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3bis) Existence : Assez facile. Valeur exacte : Ouvert
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(Disons que la frontière du demi-plan est horizontale).
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Un algorithme en $n$ années consiste à amener à chaque année le point le plus haut infiniment haut.
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Un algorithme en $\frac{n}{2}+1$ années consiste à amener à chaque année le point le plus à droite infiniment à droite et le plus à gauche infiniment à gauche. On le fait de sorte à aligner les points horizontalement, puis une dernière année déplace le tout vers le haut.
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Cette stratégie peut être raffinée, en particulier si $n$ est impair on peut faire $\frac{n-1}{2}+1$.
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Ce n'est très probablement pas optimal.
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4bis) Existence : Difficile. Valeur exacte : Ouvert
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Le problème en 1D qui faisait que la réponse était non est le problème des points agglomérés. Mais, en 2D, il est possible de les agglomérer en les disposant sur un cercle, puis en les agglomérant au centre.
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Faire un algo avec ça est compliqué. Par exemple, placer les points correctement de gauche à droite ne fonctionne pas.
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Une manière de faire peut être la suivante :
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\begin{itemize}
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\item On construit un arbre récursivement, en reliant à chaque étape les 2 sommets non connectés les plus proches (arbitraire si égalité). On note $e$ l'ultime arête.
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\item $e$ coupe l'arbre en 2 composantes. Pour chaque composante, on agglomère ses points sur l'extrémité de l'arête correspondante.
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\item On réitère ça récursivement sur chacune des composantes.
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\end{itemize}
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Pour le faire en temps constant, il reste à démontrer le lemme suivant :
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$a$, $b$ et $n$. On a $a$ points à agglomérer sur un point $O$, $b$ points parasites immobiles.
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On note $d$ le min des distance des points parasites à $O$ et aux points à agglomérer.
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On fait l'hypothèse que, pour chacun des $a$ points à agglomérer, sa distance à $O$ est inférieure à $nd$.
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Alors ça se fait en un temps qui ne dépend que de $a$, $b$ et $k$, mais pas des positions.
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(La condition sur $n$ vient du fait qu'il existe dans l'arbre un chemin entre les extrémités de $e$, constitué d'arêtes de longueurs inférieures à $d$.)
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Le lemme reste encore technique à démontrer. En renormalisant pour que $d=1$ :
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\begin{itemize}
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\item Pour des raisons géométriques, il existe une route qui relie chacun des $a$ points à $O$ et qui ne contient aucun des $b$ parasites, de largeur $\ge \epsilon$ avec $\epsilon$ fixé qui ne dépend que de $a$, $b$ et $n$. (Un truc comme $\epsilon = \frac{2\pi}{b}$.)
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\item Pour des raisons de compacité, il existe un $L$ qui ne dépend que de $a$, $b$ et $n$ qui majore la longueurs de ces routes.
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\item Donc le temps constant est en gros en $a \times \frac{L}{\epsilon}$ (en mettant sous le tapis le fait que les $a$ points se gênent entre eux).
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\end{itemize}
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\q Je ne pense pas qu'il y ait de différences fondamentales entre dimension 2 et dimensions supérieures.
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@ -46,13 +46,15 @@
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\textbf{Facile :} On peut trouver des éléments de $S$ et démontrer que d'autres n'y sont pas.
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Par exemple la question précédente montre que $ 1 \notin S $. En prenant des stratégies arbitraires, on trouve des éléments de $S$ en calculant leurs probabilités associées. Il est impossible de lister dans ce document toutes les stratégies possibles, mais il est clair qu'on peut toujours en trouver, calculer les probabilités associées et en déduire des des éléments de $S$.
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Par exemple la réponse à la question précédente justifie que $ 1 \notin S $. En prenant des stratégies arbitraires, on trouve des éléments de $S$ en calculant leurs probabilités associées. Il est impossible de lister dans ce document toutes les stratégies possibles, mais il est clair qu'on peut toujours en trouver, calculer les probabilités associées et en déduire des éléments de $S$.
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\textbf{Moyen :} On a $ \frac 3 4 \in S $.
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Démonstration :
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On note $D$ la droite formée par le premier point placé par Alice et le centre du cercle. Après que l'adversaire ait joué son point $2$, Alice joue le symétrique de $2$ par rapport à $D$.
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(une autre preuve est donnée un peu plus loin)
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On note $D$ la droite formée par le premier point placé par Lucie et le centre du cercle. Après que l'adversaire ait joué son point $2$, Lucie joue le symétrique de $2$ par rapport à $D$.
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On définit $ \theta $ comme l'angle \textit{aigu} l'angle formé entre le premier point placé (par Lucie) et le second (par l'adversaire). Clairement, $\theta$ suit une loi uniforme sur $[0,\pi]$.
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@ -100,7 +102,77 @@
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Comme $ \theta $ est d'espérance $ \frac \pi 2 $, l'espérance vaut $ 1 - \frac{\pi/2}{2\pi} $, c'est à dire 3/4.
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\textbf{Moyen/Difficile :} On a $]\frac 1 4, \frac 1 2[ \subset S$
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\textbf{Moyen/Difficile :} On a $]0, \frac 1 4 ] \subset S$
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Démonstration :
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Soit $\alpha \in ]0,1[$. Si $\theta$ désigne toujours l'angle aigu formé entre le premier point placé (par Lucie) et le second (par l'adversaire), Lucie joue le point situé à l'angle $ 2\pi - \alpha \theta $ dans le même repère.
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\begin{figure}[h]
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\centering
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\begin{tikzpicture}
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\begin{scope}[xshift=10cm]
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\draw (0,0) circle (1.5cm);
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\coordinate (A1) at (0:1.5cm);
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\coordinate (A2) at (120:1.5cm);
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\coordinate (B1) at (160:1.5cm);
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\coordinate (B2) at (320:1.5cm);
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\node at (0:2.5cm) {1er point};
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\node at (160:1.8cm) {$ \theta $};
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\node at (290:2.25cm) {$ 2\pi - \alpha \theta $};
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% \draw[dotted] (0:5cm) -- (180:5cm);
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% \draw[very thick, orangeAnimath] (A1) arc[start angle=0, end angle=140, radius=1.5cm];
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% \draw[very thick, bleuAnimath] (B1) arc[start angle=180, end angle=340, radius=1.5cm];
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\foreach \angle in {0, 290} {
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\filldraw[fill=orangeAnimath] (\angle:1.5cm) circle (2pt); % Points sur le cercle de rayon 2 cm
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}
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\foreach \angle in {160 } {
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\filldraw[fill=bleuAnimath] (\angle:1.5cm) circle (2pt); % Points sur le cercle de rayon 2 cm
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}
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||||
% \draw[dotted] (0,0) -- (B1);
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||||
% \draw[thin] (0.4,0) arc[start angle=0, end angle=140, radius=0.4cm];
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\end{scope}
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||||
\end{tikzpicture}
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\end{figure}
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En se repérant toujours dans le même repère, l'évènement \og gagner \fg revient à \og l'adversaire joue un point dont l'angle (dans le même repère) est dans $[\theta - \alpha \theta ,\min( \theta + \alpha \theta, 2\pi - \alpha \theta )]$\fg.
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Supposons $ \alpha \in ]0, \frac 1 2]$ (le cas $ \alpha = 0 $ n'est pas une stratégie valable car elle demanderait de jouer à l'angle $ 2\pi = 0 $ qui est par définition là où le tout premier point a été placé).
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On a nécessairement $ \theta + \alpha \theta \leqslant \frac{3\pi}{2} \leqslant 2\pi - \alpha \theta $ (car $ \theta \in [0, \pi]$ ), l'intervalle précédent devient $[\theta - \alpha \theta , \theta + \alpha \theta ]$.
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L'adversaire joue dedans avec probabilité $ \frac{\theta + \alpha \theta - (\theta - \alpha \theta )}{2 \pi } = \alpha \frac \theta \pi $, l'espérance vaut $ \frac \alpha 2 $, et cette probabilité de gagner avec cette stratégie décrit $]0,\frac 1 4]$ quand $ \alpha $ décrit $ ] 0, \frac 1 2 ] $.
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On retrouve le $ 3/4 $ précédent si on prend $ \alpha \in ]\frac 1 2, 1] $ : on a alors nécessairement $ 2\pi - \alpha \theta \leqslant \frac{3\pi}{2} \leqslant \theta + \alpha \theta $, l'intervalle devient $[\theta - \alpha \theta , 2\pi - \alpha \theta]$, la probabilité de gagner vaut $\frac{1}{2\pi} (2\pi - \alpha \theta - (\theta - \alpha \theta )) = 1 - \frac{\theta}{2\pi}$ dont l'espérance vaut $ \frac 3 4 $.
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En fait, le cas $ \alpha = 1 $ correspond précisément à la stratégie décrite un peu plus haut (jouer le symétrique du point adverse).
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\textbf{Difficile :} Il y a pas mal de choses à dire et à faire, en considérant par exemple des variantes de la stratégie précédente, dépendant d'un paramètre qu'on fait varier, ce qui permet de trouver certains intervalles inclus dans l'ensemble cherché.
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\textbf{Ouvert :} La détermination de l'ensemble complet. Notamment, trouver la borne supérieure de $S$ et établir des inclusions réciproques à celles établies ci-dessus a l'air assez difficile.
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\item (Facile/Moyen/Difficile/Ouvert) La difficulté est la même que la question précédente mais toute la combinatoire change (Facile : trouver quelques petits résultats partiels, Moyen : Trouver des résultats partiels assez forts, Difficile : Aller très loin, Ouvert : Déterminer l'ensemble complet)
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Les raisonnements sont différents, la combinatoire change, mais on peut obtenir des résultats partiels comment avant, avec les mêmes ordres de difficulté. Il y a beaucoup de possibilités.
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Comme précédemment, la détermination de l'ensemble complet, en particulier de sa borne supérieure, est difficile sinon ouverte.
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Un exemple :
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\textbf{Moyen/Difficile :} Soit $S$ l'ensemble cherché ; on a $]\frac 1 4, \frac 1 2[ \subset S$
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Démonstration :
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@ -146,12 +218,6 @@ En se repérant toujours dans le même repère, l'évènement \og ne pas perdre
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La probabilité associée est $ \frac{\theta + \alpha \theta}{2\pi} $, l'espérance vaut $(1+\alpha)/4$, qui décrit $]\frac 1 4, \frac 1 2[$ quand $\alpha$ décrit $]0,1[$.
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\textbf{Difficile :} Il y a pas mal de choses à dire et à faire, en considérant par exemple des variantes de la stratégie précédente, dépendant d'un paramètre qu'on fait varier, ce qui permet de trouver certains intervalles inclus dans l'ensemble cherché.
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\textbf{Ouvert :} La détermination de l'ensemble complet. Notamment, trouver la borne supérieure de $S$ et établit des inclusions réciproques à celles établies ci-dessus a l'air assez difficile.
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\item On peut faire des raisonnement assez similaires à ceux de la question précédentes pour obtenir des résultats partiels de la même forme. Les raisonnements sont différents, la combinatoire change, mais on peut obtenir des résultats aussi partiels que ceux de la question précédente, avec les mêmes ordres de difficulté. Je pense que les élèves vont imaginer tellement de stratégies différentes, et obtenir tellement de résultats (partiels) différents, qu'il n'est pas forcément nécessaire d'en montrer plus que ça et de développer des pages et des pages de calculs dans cette fiche solution. Simplement, voilà la tête des solutions qu'on peut donner à ces questions.
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\end{enumerate}
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\q (Difficile/Ouvert) On peut établir des résultats partiels, mais c'est plus difficile parce qu'on a beaucoup plus de mal à voir les choses vu que $n \geqslant 3$ tours sont joués. On peut trouver des intervalles inclus dans les ensembles recherchés en considérant certaines stratégies dépendant d'un paramètre qu'on fait varier, les inclusions réciproques étant plus difficiles, et la détermination complète de l'ensemble ouverte.
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@ -186,7 +252,7 @@ La probabilité associée est $ \frac{\theta + \alpha \theta}{2\pi} $, l'espéra
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Le fait qu'on considère les $\varepsilon$-approximations de ce polygône régulier fait qu'on considère un évènement de probabilité non-nulle. (L'évènement \og Il existe un polygone régulier $P$ à $n$ cotés inscrit dans le cercle tel qu'il y a, pour chaque sommet $S$ de $P$, un unique point joué par l'adversaire dans la boule $B(S,\varepsilon)$ \fg est de probabilité non-nulle. Pour le voir, il suffit de fixer un tel polygône $P_0$, et d'écrire l'évènement $E_{P_0}$ = \og Il y a, pour chaque sommet $S$ de $P_0$, un unique point joué par l'adversaire dans la boule $B(S,\varepsilon)$ \fg avec des unions, des intersections (et des permutations). L'évènement \og Il existe ... \fg est l'union des $E_{P_0}$, tous de probabilité non-nulle).
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Dans ce cas, il est clair que pour $\varepsilon$ assez petit, Alice va être obligée de :
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Dans ce cas, il est clair que pour $\varepsilon$ assez petit, Lucie va être obligée de :
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\begin{itemize}
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@ -216,13 +282,17 @@ L'évènement \og Elle est obligée de faire tout ça \fg est de probabilité st
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Je ne sais pas si c'est suffisant, je pense que non. Je n'ai pas trouvé d'autres conditions.
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\q Évidemment, elle a envie de jouer le (un) polygône à $p$ côtés inscrit dans le cercle.
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\q Tout d'abord on peut commencer par s'intéresser à la borne supérieure de cet ensemble : Lucie dispose-t-elle d'une stratégie optimale ?
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La probabilité de gagner est un dénombrement au cours duquel il est très facile de s'exciter trop vite et de se tromper ! Cette question saura distinguer les équipes sachant raisonner droit de celles trébuchant au moindre obstacle.
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Évidemment, elle a envie de jouer le (un) polygône régulier à $p$ côtés inscrit dans le cercle.
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La probabilité de gagner avec cette stratégie est un dénombrement au cours duquel il est très facile de s'exciter trop vite et de se tromper ! Si des équipes partent sur cette voie, on saura distinguer celles sachant raisonner droit de celles trébuchant au moindre obstacle.
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La réponse est $0$ si $ n < p $ et $ \displaystyle \frac{1}{p^n} \sum\limits_{k=1}^p (-1)^{k-1} (p-k)^n \binom{p}{k} $ sinon.
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Je pense qu'on doit pouvoir montrer que c'est optimal, en utilisant le fait que toute autre stratégie formera nécessairement un arc de longueur $ > \frac{2\pi}{p} $. Il faut montrer que ça diminue nécessairement les chances de gagner. Une piste possible est de noter $ \theta_1, ..., \theta_{p-1} $ les angles entre les différents placés, et de calculer explicitement la probabilité $ f(\theta_1, ..., \theta_{p-1}) $ de gagner (noter que $f$ est symétrique). Je pense que c'est faisable (sans être facile).
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Est-ce optimal ? Je pense qu'on doit pouvoir montrer que oui, en utilisant le fait que toute autre stratégie formera nécessairement un arc de longueur $ > \frac{2\pi}{p} $. Il faut montrer que ça diminue nécessairement les chances de gagner. Une piste possible est de noter $ \theta_1, ..., \theta_{p-1} $ les angles entre les différents points placés, et de calculer explicitement la probabilité $ f(\theta_1, ..., \theta_{p-1}) $ de gagner (noter que $f$ est symétrique). Je pense que c'est faisable (sans être facile).
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Ensuite, il faut encore chercher des configurations et leurs stratégies associées pour explorer l'ensemble cherché. Il y a beaucoup de choses que l'on peut faire !
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\q (Difficile/Ouvert) Appelons J1 le joueur qui joue en premier et J2 celui qui joue en deuxième, donc aussi en dernier.
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63
index.aux
63
index.aux
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@ -1,63 +0,0 @@
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\relax
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\providecommand\hyper@newdestlabel[2]{}
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\@nameuse{bbl@beforestart}
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\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\tocsection {}{}{Notations}}{1}{section*.3}\protected@file@percent }
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\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {1}{\ignorespaces Un exemple de propagation, qui montre que le nombre 3 est réalisable. Les disques correspondent aux lutins, ils sont remplis pour les lutins de bonne humeur. Les flèches indiquent à quel lutin chacun sourit.\relax }}{2}{figure.caption.4}\protected@file@percent }
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\providecommand*\caption@xref[2]{\@setref\relax\@undefined{#1}}
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\newlabel{fig:lutins}{{1}{2}{Un exemple de propagation, qui montre que le nombre 3 est réalisable. Les disques correspondent aux lutins, ils sont remplis pour les lutins de bonne humeur. Les flèches indiquent à quel lutin chacun sourit.\relax }{figure.caption.4}{}}
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\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\tocsection {}{1}{Une bonne humeur contagieuse}}{2}{section.1}\protected@file@percent }
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||||
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {2}{\ignorespaces Le pays des Merveilles pour la question 1, avec $a=3$ et $b=6$.\relax }}{2}{figure.caption.5}\protected@file@percent }
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||||
\newlabel{fig:reseau_lutin}{{2}{2}{Le pays des Merveilles pour la question 1, avec $a=3$ et $b=6$.\relax }{figure.caption.5}{}}
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||||
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\tocsection {}{2}{Drôles de toboggans}}{3}{section.2}\protected@file@percent }
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||||
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {3}{\ignorespaces Une tuyauterie de toboggans de hauteur \( H = 3 \) avec \( N = 5 \) entrées. Les quantités d'eau à chaque étage sont indiquées en bleu, et le type de tuyau est indiqué à droite de chaque tuyau ou paire de tuyaux.\relax }}{4}{figure.caption.6}\protected@file@percent }
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\newlabel{fig:ToboggansSansY}{{3}{4}{Une tuyauterie de toboggans de hauteur \( H = 3 \) avec \( N = 5 \) entrées. Les quantités d'eau à chaque étage sont indiquées en bleu, et le type de tuyau est indiqué à droite de chaque tuyau ou paire de tuyaux.\relax }{figure.caption.6}{}}
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||||
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {4}{\ignorespaces Portions de tuyauteries avec des tuyaux \( \mathcal {Y} \) et \reflectbox {\(\mathcal {Y}\)}\relax }}{5}{figure.caption.7}\protected@file@percent }
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\newlabel{fig:ToboggansAvecY}{{4}{5}{Portions de tuyauteries avec des tuyaux \( \mathcal {Y} \) et \reflectbox {\(\mathcal {Y}\)}\relax }{figure.caption.7}{}}
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||||
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\tocsection {}{3}{Plats à tarte gradués}}{6}{section.3}\protected@file@percent }
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\newlabel{Tarte2346}{{\caption@xref {Tarte2346}{ on input line 14}}{6}{Plats à tarte gradués}{figure.caption.8}{}}
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\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {5}{\ignorespaces Cercle en bleu, le bord du plat à tarte et ses graduations En noir, les endroits où il faudra couper en fonction du nombre de parts En orange, les $u$-gones réguliers pour placer les graduations.\relax }}{6}{figure.caption.8}\protected@file@percent }
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||||
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\tocsection {}{4}{Transformation de papillons}}{7}{section.4}\protected@file@percent }
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||||
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\tocsection {}{5}{Gerrymandering}}{8}{section.5}\protected@file@percent }
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\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {6}{\ignorespaces Exemple où $P$ est l'intérieur d'un rectangle et $n=3$. La troisième configuration est réalisable à partir de la première en 2 années (mais pas en 1 seule).\relax }}{9}{figure.caption.9}\protected@file@percent }
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||||
\newlabel{fig:gerry}{{6}{9}{Exemple où $P$ est l'intérieur d'un rectangle et $n=3$. La troisième configuration est réalisable à partir de la première en 2 années (mais pas en 1 seule).\relax }{figure.caption.9}{}}
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||||
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\tocsection {}{6}{Le cauchemar de la ligne 20-25}}{9}{section.6}\protected@file@percent }
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\newlabel{eq:VitesseBus}{{1}{9}{Le cauchemar de la ligne 20-25}{equation.6.1}{}}
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||||
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\tocsection {}{7}{Le poids des graphes}}{11}{section.7}\protected@file@percent }
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\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {7}{\ignorespaces À gauche, un exemple de poids 12. À droite un exemple de poids 14.\relax }}{11}{figure.caption.10}\protected@file@percent }
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||||
\newlabel{Fig1}{{7}{11}{À gauche, un exemple de poids 12. À droite un exemple de poids 14.\relax }{figure.caption.10}{}}
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\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {8}{\ignorespaces Le graphe du carré.\relax }}{11}{figure.caption.11}\protected@file@percent }
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\newlabel{Fig2}{{8}{11}{Le graphe du carré.\relax }{figure.caption.11}{}}
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||||
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {9}{\ignorespaces Les graphes $K_6$ (à gauche), $P_3$ (au milieu) et $A_6$ (à droite).\relax }}{12}{figure.caption.12}\protected@file@percent }
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\newlabel{Fig3}{{9}{12}{Les graphes $K_6$ (à gauche), $P_3$ (au milieu) et $A_6$ (à droite).\relax }{figure.caption.12}{}}
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\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {10}{\ignorespaces Le graphe $G_3$.\relax }}{12}{figure.caption.13}\protected@file@percent }
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\newlabel{Fig4}{{10}{12}{Le graphe $G_3$.\relax }{figure.caption.13}{}}
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||||
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\tocsection {}{8}{Points colorés sur un cercle}}{13}{section.8}\protected@file@percent }
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||||
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {11}{\ignorespaces Deux fins de partie pour $2n = 6$ et une pour $2n = 10$. À gauche, il n'y a pas d'arcs colorés (pas d'arc primitif) ; la partie est donc nulle. Au centre, Lucie (en orange) gagne : elle a réussi à construire un arc de taille maximale. À droite, l'adversaire (en bleu) gagne car il a formé un arc (non primitif) bleu de taille maximale.\relax }}{13}{figure.caption.14}\protected@file@percent }
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\newlabel{fig:Exemple}{{11}{13}{Deux fins de partie pour $2n = 6$ et une pour $2n = 10$. À gauche, il n'y a pas d'arcs colorés (pas d'arc primitif) ; la partie est donc nulle. Au centre, Lucie (en orange) gagne : elle a réussi à construire un arc de taille maximale. À droite, l'adversaire (en bleu) gagne car il a formé un arc (non primitif) bleu de taille maximale.\relax }{figure.caption.14}{}}
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\newlabel{tocindent-1}{0pt}
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\newlabel{tocindent0}{15.01382pt}
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\newlabel{tocindent1}{20.88881pt}
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\newlabel{tocindent2}{0pt}
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\newlabel{tocindent3}{0pt}
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@ -1,316 +0,0 @@
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# Fdb version 3
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||||
["pdflatex"] 1735217031 "/home/ggarnier/TFJM-2025/index.tex" "/home/ggarnier/TFJM-2025/index.pdf" "index" 1735217032
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||||
"/etc/texmf/web2c/texmf.cnf" 1637853032 475 c0e671620eb5563b2130f56340a5fde8 ""
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||||
"/home/ggarnier/TFJM-2025/index.aux" 1735217032 7146 d459334cd486d15184a111fa97432904 ""
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||||
"/home/ggarnier/TFJM-2025/index.tex" 1735216452 4902 50490028d5558c38115c46d49d8262db ""
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||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/map/fontname/texfonts.map" 1577235249 3524 cb3e574dea2d1052e39280babc910dc8 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/adobe/times/ptmb7t.tfm" 1136768653 2172 fd0c924230362ff848a33632ed45dc23 ""
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||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/adobe/times/ptmri7t.tfm" 1136768653 2288 f478fc8fed18759effb59f3dad7f3084 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/jknappen/ec/ecrm1200.tfm" 1136768653 3584 f80ddd985bd00e29e9a6047ebd9d4781 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/amsfonts/euler/eurm10.tfm" 1246382020 1228 9be37fdf0dc0e1f4df4af3594876d628 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/amsfonts/euler/eurm5.tfm" 1246382020 1228 6fc4d2f2c0a79dc4f413411f6e2f336c ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/amsfonts/euler/eurm7.tfm" 1246382020 1228 22a83614922c993c1b2e124955a38ca1 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/amsfonts/symbols/msam10.tfm" 1246382020 916 f87d7c45f9c908e672703b83b72241a3 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/amsfonts/symbols/msam7.tfm" 1246382020 928 2dc8d444221b7a635bb58038579b861a ""
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||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/amsfonts/symbols/msbm10.tfm" 1246382020 908 2921f8a10601f252058503cc6570e581 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/amsfonts/symbols/msbm7.tfm" 1246382020 940 228d6584342e91276bf566bcf9716b83 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/cm/cmr12.tfm" 1136768653 1288 655e228510b4c2a1abe905c368440826 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/rsfs/rsfs10.tfm" 1229303445 688 37338d6ab346c2f1466b29e195316aa4 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/rsfs/rsfs5.tfm" 1229303445 684 3a51bd4fd9600428d5264cf25f04bb9a ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/rsfs/rsfs7.tfm" 1229303445 692 1b6510779f0f05e9cbf03e0f6c8361e6 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/stmaryrd/stmary10.tfm" 1302307949 848 f478e0761563bbc369eca609a1741348 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/stmaryrd/stmary5.tfm" 1302307949 848 e1bc58a31b9ed9c3729ffea165acfaac ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/stmaryrd/stmary6.tfm" 1302307949 848 068dd119e13b75777e62821af7d4f2a6 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/stmaryrd/stmary7.tfm" 1302307949 848 26631fcb3e4cb6757598b9cda7967b63 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/stmaryrd/stmary9.tfm" 1302307949 848 594c171945930dfc7cc52fb30457c803 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/xypic/xyatip10.tfm" 1381187214 608 50246cc71b0635b0ba0a5c10a0bf4257 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/xypic/xybsql10.tfm" 1381187214 608 4db60f15ea23b4ec2d796c6d568a63fa ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/xypic/xybtip10.tfm" 1381187214 608 50246cc71b0635b0ba0a5c10a0bf4257 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/xypic/xycirc10.tfm" 1381187214 844 3393210079fb4ed9347e214b3bfd7c1a ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/xypic/xycmat10.tfm" 1381187214 608 f124f78ed50a1817738d2adb190cf2bd ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/xypic/xycmbt10.tfm" 1381187214 608 f124f78ed50a1817738d2adb190cf2bd ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/xypic/xydash10.tfm" 1381187214 984 5c01c46b93e3ba8369f3f8edc6e62aef ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/xypic/xyluat10.tfm" 1381187214 608 a3a3bc08980c5126ff2a7a68fb5a64ff ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/xypic/xylubt10.tfm" 1381187214 608 a3a3bc08980c5126ff2a7a68fb5a64ff ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/symbols/msam10.pfb" 1248133631 31764 459c573c03a4949a528c2cc7f557e217 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/symbols/msbm10.pfb" 1248133631 34694 ad62b13721ee8eda1dcc8993c8bd7041 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/context/base/mkii/supp-pdf.mkii" 1461363279 71627 94eb9990bed73c364d7f53f960cc8c5b ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/atbegshi/atbegshi.sty" 1575674566 24708 5584a51a7101caf7e6bbf1fc27d8f7b1 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel-french/french.ldf" 1580422756 68260 b72777b7b16768ca73c25c12cc2beb01 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.def" 1581719732 87344 ec128793fb5196bbcc1741e5366ddac1 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.sty" 1581719732 18844 909add1631725af40d27125357ea816e ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/switch.def" 1581719732 15529 e761dc130df77f0ce9717a25d1b52a95 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/txtbabel.def" 1580769195 5220 42a6518b499d20676051f269c61f4d9a ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bigintcalc/bigintcalc.sty" 1576625341 40635 c40361e206be584d448876bba8a64a3b ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bitset/bitset.sty" 1576016050 33961 6b5c75130e435b2bfdb9f480a09a39f9 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/etexcmds/etexcmds.sty" 1576625273 7734 b98cbb34c81f667027c1e3ebdbfce34b ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/gettitlestring/gettitlestring.sty" 1576625223 8371 9d55b8bd010bc717624922fb3477d92e ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/ifpdf.sty" 1572645307 480 5778104efadad304ced77548ca2184b1 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/iftex.sty" 1573336935 6902 30fdaf7dc5636b8e3afa306210c45cae ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/ifvtex.sty" 1572645307 1057 525c2192b5febbd8c1f662c9468335bb ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/infwarerr/infwarerr.sty" 1575499628 8356 7bbb2c2373aa810be568c29e333da8ed ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/intcalc/intcalc.sty" 1576625065 31769 002a487f55041f8e805cfbf6385ffd97 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvdefinekeys/kvdefinekeys.sty" 1576878844 5412 d5a2436094cd7be85769db90f29250a6 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvsetkeys/kvsetkeys.sty" 1576624944 13807 952b0226d4efca026f0e19dd266dcc22 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/ltxcmds/ltxcmds.sty" 1576624883 18552 1e1cc7b75da0dfaacce7cdcb27d306bf ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdfescape/pdfescape.sty" 1576015897 19007 15924f7228aca6c6d184b115f4baa231 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcore.code.tex" 1557692582 992 fb3cda354707a54fda62787a411c7c22 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorearrows.code.tex" 1546728038 43820 bc6cf5aa959817914ace33f5c6232161 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreexternal.code.tex" 1557692582 19324 c9a64402f22bd8d81821141a357af653 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoregraphicstate.code.tex" 1546728038 6038 d639d02574be9a72f3c602c2a3510e02 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreimage.code.tex" 1546728038 6948 284bbe3c9a7ca0a826c1c03895e69b9f ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorelayers.code.tex" 1546728038 4883 a6f3eb1f71d8c4affaf43a169828b043 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreobjects.code.tex" 1546728038 2544 3b1b198fd49f01e328adc9162a07b213 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathconstruct.code.tex" 1576793519 44189 1fd6229dad4c898883516c032f2ca5d2 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathprocessing.code.tex" 1546728038 17311 3092579be20ef0f229c42ad3f09da85c ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathusage.code.tex" 1546728038 21302 d6c4b340248adbe650ebf6ca76bdccca ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepatterns.code.tex" 1562964315 9690 7585efa5a591822837f837bc5bc35621 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepoints.code.tex" 1576793519 33335 942ccafe284041918d36e54696b98aa7 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorequick.code.tex" 1546728038 2965 502761b60f43ab2de5ecb2f4625163ae ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorerdf.code.tex" 1546728038 5196 f8c5c775d4d6e2cb050392127cabda72 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorescopes.code.tex" 1576793519 20726 ed6ec1d6f0f35e7a93de4e79af83dbce ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreshade.code.tex" 1557692582 35249 144a6b9c4df4644618bb3a0a40472608 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoretransformations.code.tex" 1546728038 21989 266e83c51fe41eb8b8d5e6896dc71cc1 ""
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||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoretransparency.code.tex" 1546728038 8842 5cc856e132fac404805c6da091779283 ""
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||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryarrows.code.tex" 1546728038 319 8fc6edce901e074ba09de320a8fc686b ""
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||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarycalc.code.tex" 1576793519 15929 6d98a2cba15e8807518c016b5ad380a9 ""
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||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.code.tex" 1546728038 5493 6342997a7484f1ea9feacd1b25ead9ea ""
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||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.pathmorphing.code.tex" 1546728038 321 61aafaff3134e44ce6305fdd6927cdc5 ""
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||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.pathreplacing.code.tex" 1546728038 1319 b38e66120927828ef91b8bfec59e82f3 ""
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||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryshapes.geometric.code.tex" 1546728038 339 153f95b6d1982135aac9ba139d8a4870 ""
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||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryshapes.misc.code.tex" 1546728038 329 b7a8d335163f5b4dbd019ac579f101d8 ""
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||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarytopaths.code.tex" 1576793519 11544 2a5d66a3270abf4ef673e8a0b7734a90 ""
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||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/tikz.code.tex" 1576967981 187592 7922ceab1864698dec4c84978d5b182f ""
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||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydecorations.pathmorphing.code.tex" 1557692582 8843 8328b4068b5b11eaa173e0957cd0eac5 ""
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||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydecorations.pathreplacing.code.tex" 1546728038 7474 acce7114514030373cc6cb938a73a92e ""
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||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryarrows.code.tex" 1546728038 31874 d843d507175f2bdfa3abf01f0349dac8 ""
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||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryplothandlers.code.tex" 1546728038 32995 a4d54c043ae5274ceaaddeb36ad43a6f ""
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||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/shapes/pgflibraryshapes.geometric.code.tex" 1546728038 160992 a39094cdc3a2bf5a131b9fd00f9002aa ""
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||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/shapes/pgflibraryshapes.misc.code.tex" 1546728038 46241 d4ce0f60786a8555b975b7d1ddfb331c ""
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||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfint.code.tex" 1557692582 3063 8c415c68a0f3394e45cfeca0b65f6ee6 ""
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||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex" 1557692582 521 c70cf6ad609de83a27ee7929eb356332 ""
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||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathcalc.code.tex" 1557692582 13391 933cab19c6d27039dbfc487330d1005a ""
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||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfloat.code.tex" 1557692582 104938 15f2d8bdabd6bf9ca70f62cd8e3d4940 ""
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||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.base.code.tex" 1557692582 10157 218d58ab074e5bd0d027de45ec64cc00 ""
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||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.basic.code.tex" 1576793519 28176 568b081ec39645f2db1a29fbd0c635e2 ""
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||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.code.tex" 1562964315 9054 388d21239a1b6df2cc8beaae31c976b0 ""
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||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.comparison.code.tex" 1557692582 3865 cddf7ddc80f018587c55afdcc79fc333 ""
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||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.integerarithmetics.code.tex" 1557692582 3177 27d85c44fbfe09ff3b2cf2879e3ea434 ""
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||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.misc.code.tex" 1557692582 10925 df50b8a6e5660a585e3a2bf55726dcc8 ""
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||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.random.code.tex" 1562964315 7787 1750fc3f164703caf31fc8ea9218c67e ""
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||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.round.code.tex" 1557692582 3379 cbd0948a550bd7a495a160ca6beee9ed ""
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||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.trigonometric.code.tex" 1557692582 92405 bba89470858d7b0788a9c09331c39653 ""
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||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathparser.code.tex" 1576793519 36526 453db1f8626a56b5ebb0fad496d6a39f ""
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||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathutil.code.tex" 1576793519 8471 b18959397c76e1e582402ab9f592ed9f ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduledecorations.code.tex" 1557692582 71722 1aa2adb2b5cb7aafc25e92426626ab63 ""
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||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmodulematrix.code.tex" 1576793519 21201 46a4dded6619f990ac7347f99fbaac9f ""
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||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduleplot.code.tex" 1557692582 16121 9e240115374a8d489f2f786115df83a9 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduleshapes.code.tex" 1576793519 43259 3e05ba63539916af2eaca603c2eda780 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/pgf.revision.tex" 1578520427 465 1f401ab1e7fc6cb7ede39e96c66531fd ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgf.cfg" 1557692582 926 70ff613fabeb70f5d1673dc0c93987bd ""
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||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys-common-pdf.def" 1557692582 5546 3586827e6032c95512b2a6682d2979a3 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys-pdftex.def" 1562964315 12603 c02869ea216d842c29d52fae8738264e ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys.code.tex" 1557692582 60269 e86bc0081af83a4ad47e4500ee09a2e4 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsysprotocol.code.tex" 1557692582 1896 82c274ff520f9e450ccea4e3ef4edc12 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsyssoftpath.code.tex" 1557692582 7778 a25a32a10ca820357491d4c7b3ac02ea ""
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||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgffor.code.tex" 1562964315 23777 cb6c8f02f87d86d621f5cb92c44f4998 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeys.code.tex" 1576793519 36815 f7f1772c398f07af2cb741992963045c ""
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||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeysfiltered.code.tex" 1562964315 37439 bd44d50aef702b03193f731207931834 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfrcs.code.tex" 1557692582 4494 7e5ace0ccf59408f2cf63219a5d36927 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-common-lists.tex" 1557692582 7250 03b2b9fb5fa38e7ca5cc3c45860fb210 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-common.tex" 1576793519 28309 488ccc6c701bbdd1bf671f708757aa5c ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-latex.def" 1562964315 6286 1bd76fc45da9929ab2a64f51cba3ab6f ""
|
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"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/uniquecounter/uniquecounter.sty" 1576624663 7008 f92eaa0a3872ed622bbf538217cd2ab7 ""
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"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xy.sty" 1312310545 4692 1e1bcf75c622af1eefd9169948208302 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xy.tex" 1381187214 115380 413d5f789929a45aab7d12ce0d0aee7d ""
|
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"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xyall.tex" 1312310545 1449 24340b6befc66d28ee1ebb657efb5892 ""
|
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"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xyarrow.tex" 1312310545 22657 990ce136a3cc15728ba417a2e78b25c8 ""
|
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"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xycmtip.tex" 1312310545 1374 43fb8dc80dd748631d78096701166d76 ""
|
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"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xycolor.tex" 1312310545 4586 edd672434f45626662368282c0322160 ""
|
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"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xycurve.tex" 1312310545 109670 d412ee1ff259daefee5e927172e2f9a8 ""
|
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"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xyframe.tex" 1337903317 24249 186931a828664624939ab0b347e3952c ""
|
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"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xygraph.tex" 1312310545 9619 b7e4d9a6936ba2ad6119a280abde9641 ""
|
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"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xyidioms.tex" 1312310545 2907 1ee562fde0b53c9cd16f7a604f33fdf0 ""
|
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"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xyline.tex" 1312310545 10928 c3a572983ccc9fc596b4e9ce454d5652 ""
|
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"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xymatrix.tex" 1312310545 22583 25b1e7edeee41f181ee9733429da4a9c ""
|
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"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xypdf-co.tex" 1312310545 8442 90cb8a3b00c2081384c1ce988d2ba0a3 ""
|
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"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xypdf-cu.tex" 1312310545 39762 25a964ebb390bcfcd35c040f477eef1d ""
|
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"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xypdf-fr.tex" 1312310545 16485 5686b19cc46d046c885428794ed9c114 ""
|
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"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xypdf-li.tex" 1312310545 2619 1a12b316e2132654e44ba2cd21def637 ""
|
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"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xypdf-ro.tex" 1312310545 5290 e16fc85c85f64d0a5c04708bf3312d00 ""
|
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"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xypdf.tex" 1312310545 18763 e61049d36bdfccb226f22e582d70d368 ""
|
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"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xyrecat.tex" 1312310545 1391 c8763fc8e281cb6ecf697988b6608e4a ""
|
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"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xyrotate.tex" 1312310545 7008 cb768d8d63a12d35607cbb3c4e7ba163 ""
|
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"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xytips.tex" 1381187214 3689 0d51788a4141bc66ab896f7ac63495fd ""
|
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"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amscls/amsart.cls" 1513722769 61802 787c5e05304c54966a11305c2c1a05bd ""
|
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"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty" 1359763108 5949 3f3fd50a8cc94c3d4cbf4fc66cd3df1c ""
|
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"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty" 1359763108 13829 94730e64147574077f8ecfea9bb69af4 ""
|
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"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsa.fd" 1359763108 961 6518c6525a34feb5e8250ffa91731cff ""
|
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"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsb.fd" 1359763108 961 d02606146ba5601b5645f987c92e6193 ""
|
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"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty" 1523134290 2211 ca7ce284ab93c8eecdc6029dc5ccbd73 ""
|
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|
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"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty" 1523134290 4161 7f6eb9092061a11f87d08ed13515b48d ""
|
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"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty" 1580683321 85660 baee036978c7a91f4e2bba43f05e5945 ""
|
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"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty" 1523134290 4116 32e6abd27229755a83a8b7f18e583890 ""
|
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"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty" 1523134290 2432 8ff93b1137020e8f21930562a874ae66 ""
|
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"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/atveryend/atveryend.sty" 1576191570 19336 ce7ae9438967282886b3b036cfad1e4d ""
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"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/auxhook/auxhook.sty" 1576625391 3935 57aa3c3e203a5c2effb4d2bd2efbc323 ""
|
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"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/fontenc.sty" 1581632200 4947 0c2888dd88121ae675fc6e82213623ba ""
|
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"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty" 1580683321 5050 8933a39ad74377accd18991c5eb90c58 ""
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"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/textcomp.sty" 1581112666 2821 2c0928feafd5527387e29a1af774d030 ""
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"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/caption/caption.sty" 1578175482 57350 70b0c251b0022f1db12ad7dd4c1aa547 ""
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||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/caption/caption3.sty" 1578175482 62012 5e9d40ecd926a6f500919e4c7e1480de ""
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"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/caption/subcaption.sty" 1579816624 5937 3a338c8462fea6d5e61cecda091f49cf ""
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"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/carlisle/scalefnt.sty" 1137109962 1360 df2086bf924b14b72d6121fe9502fcdb ""
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"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/enumitem/enumitem.sty" 1561238569 51697 f8f08183cd2080d9d18a41432d651dfb ""
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"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/epstopdf-pkg/epstopdf-base.sty" 1579991033 13886 d1306dcf79a944f6988e688c1785f9ce ""
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"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/fancyhdr/fancyhdr.sty" 1548974385 11128 a53805799bebfed6358fc1658a18e41f ""
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"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/fp/defpattern.sty" 1137110169 1081 6a8d78d0e6b2d89334f92fd122c1da99 ""
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"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/fp/fp-addons.sty" 1137110169 1275 fe903646b72b3e877914d78f2db9ddda ""
|
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"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/fp/fp-basic.sty" 1137110169 29695 b6366b50463dfb367cf560419d0cea8d ""
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"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/fp/fp-eqn.sty" 1137110169 11336 afed7aa5dbc4bf246950282b95e522c2 ""
|
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"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/fp/fp-eval.sty" 1137110169 6220 eeeffd00d1235e73c380c6dc9f30ac43 ""
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||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/fp/fp-exp.sty" 1547588415 16965 df20a610ce368cd126fd73d1a4e4fef1 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/fp/fp-pas.sty" 1137110169 3006 6fd5da0dc83ba1d19525f1fb08dca7df ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/fp/fp-random.sty" 1137110169 3702 6e54ac63212901d59e6ea2a32b0a7689 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/fp/fp-snap.sty" 1137110169 6519 c1e5d3c6aed32ba782f756d79578d87b ""
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||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/fp/fp-trigo.sty" 1137110169 28969 342a2de338e342de95d2551557e50f06 ""
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||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/fp/fp-upn.sty" 1137110169 7154 78a835a719e27a484e63f1f98ba4df11 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/fp/fp.sty" 1137110169 983 d84df22b060ce125f89a32c403dcab31 ""
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||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/geometry/geometry.sty" 1578002852 41601 9cf6c5257b1bc7af01a58859749dd37a ""
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||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/color.cfg" 1459978653 1213 620bba36b25224fa9b7e1ccb4ecb76fd ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/graphics.cfg" 1465944070 1224 978390e9c2234eab29404bc21b268d1e ""
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||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-def/pdftex.def" 1515537368 17334 520b9b85ad8a2a48eda3f643e27a5179 ""
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||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphics.sty" 1580683321 16932 04729abe63b66ec59ea56edcd722b058 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty" 1580683321 9067 1b996612394a52e1efe89c8bfe8a5892 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty" 1580683321 2590 e3b24ff953e5b58d924f163d25380312 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/trig.sty" 1580683321 3976 d7fa7d81d2870d509d25b17d0245e735 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hycolor/hycolor.sty" 1580250785 17914 4c28a13fc3d975e6e81c9bea1d697276 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/backref.sty" 1579642962 12931 be49844c9539bd6f1d275cd08940ff6d ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hpdftex.def" 1579642962 50630 3d9728faf8630190cf601ce2cbe470d9 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref.sty" 1579642962 238752 60dd338d71b6a4ab2192131f73dc908b ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/nameref.sty" 1579642962 13244 0070bcab7b5a88187847128d22faf4d8 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/pd1enc.def" 1579642962 14134 32b36577d311ddb6522413c7581ee968 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/jknapltx/mathrsfs.sty" 1137110241 300 12fa6f636b617656f2810ee82cb05015 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/jknapltx/ursfs.fd" 1137110241 548 cc4e3557704bfed27c7002773fad6c90 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/kvoptions/kvoptions.sty" 1575152344 22520 c4c2dab203104295e1e618be7e5c0f5b ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3backend/l3backend-pdfmode.def" 1580854751 25404 9d60f463a00d154207ec0048dee27cf0 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/expl3.sty" 1581719662 4381 04628f3002bdd1d9c43ef984fd60ae18 ""
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||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3packages/l3keys2e/l3keys2e.sty" 1581719662 4603 36e20d23ad4e5fdd8990f0c8ded4c131 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3packages/xfrac/xfrac.sty" 1581719662 14742 32c413dffb6f7380ccc98d8810391c0b ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3packages/xparse/xparse.sty" 1581719662 81717 e93576ac4b24ce6e121ebd6ec6cf2893 ""
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||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3packages/xtemplate/xtemplate.sty" 1581719662 48197 94332c7becc1adde1f047687a00d22e9 ""
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||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/latexconfig/epstopdf-sys.cfg" 1279039959 678 4792914a8f45be57bb98413425e4c7af ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/letltxmacro/letltxmacro.sty" 1575499565 5766 13a9e8766c47f30327caf893ece86ac8 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mathtools.sty" 1579298046 55081 be7d8405cd93834f75bdf98c6521d2a0 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mhsetup.sty" 1496786006 5317 cf75154a8a7e6436f05a5be497f0b05e ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ms/everyshi.sty" 1177890616 3878 6aa7c08ff2621006e0603349e40a30a8 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/paralist/paralist.sty" 1485124581 14857 82c76ebe8f06becf69ab309565b2a0cb ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pdftexcmds/pdftexcmds.sty" 1574631863 19963 36fd8e818f9f0f32e2db8413d4970122 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgf.sty" 1546728038 1090 d20f587ea9464d1841bd0d13d3ff9856 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgfcore.sty" 1288312291 410 5bf12ea7330e5f12c445332a4fe9a263 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-0-65.sty" 1546728038 21013 e98e1aaaf40d31632787c2bd25d24b57 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-1-18.sty" 1546728038 989 2cf3da8e8ec55131c49389428d565e37 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/frontendlayer/tikz.sty" 1203877327 339 592cf35cba3d400082b8a9a5d0199d70 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/math/pgfmath.sty" 1393459310 306 0796eafca5e159e6ec2167a6d22d81b1 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/systemlayer/pgfsys.sty" 1393459310 443 0b2e781830192df35c0fd357cf13e26e ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgffor.sty" 1393459310 348 8927fde343487e003b01a4c2ca34073b ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfkeys.sty" 1203727794 274 4cad6e665cc93ac2ac979039a94fa1e1 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfrcs.sty" 1203877327 325 2bcd023400636339210573e2b3ee298b ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/psnfss/mathptmx.sty" 1156702453 4632 cd6d04f090f831ba44222ab7ccd5d2d4 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/psnfss/ot1ptm.fd" 1137110629 961 15056f4a61917ceed3a44e4ac11fcc52 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/refcount/refcount.sty" 1576624809 9878 9e94e8fa600d95f9c7731bb21dfb67a4 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/rerunfilecheck/rerunfilecheck.sty" 1575674187 9715 b051d5b493d9fe5f4bc251462d039e5f ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stmaryrd/Ustmry.fd" 1137110872 1766 216b0f832c406513647608b5bb9bb8ff ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stmaryrd/stmaryrd.sty" 1302307949 11080 aa7f81da60ce104f0dbb8b827dd14383 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/array.sty" 1580683321 12560 ce3f59ceae9d9a27bfe037d6bf1d903c ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/calc.sty" 1580683321 10216 5efd55f2010055e7b7875afd6a75be82 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/multicol.sty" 1580683321 31532 04852e45d7c17cb384689d2f83b628d3 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/xspace.sty" 1580683321 4546 3e6071704acf4f66392376b7b66ae02c ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/url/url.sty" 1388531844 12796 8edb7d69a20b857904dd0ea757c14ec9 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/was/upgreek.sty" 1137111079 5794 9054e31be15d93f1e6bd28cca2b6643f ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/xcolor/xcolor.sty" 1463002160 55589 34128738f682d033422ca125f82e5d62 ""
|
||||
"/usr/share/texlive/texmf-dist/web2c/texmf.cnf" 1581979058 38841 ce3692aa899bb693b90b87eaa5d4d84e ""
|
||||
"/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/lm/lm-ec.enc" 1254938640 2375 baa924870cfb487815765f9094cf3728 ""
|
||||
"/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/lm/lm-mathex.enc" 1254938640 3486 c7eadf5dcc57b3b2d11736679f6636ba ""
|
||||
"/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/lm/lm-mathit.enc" 1254938640 2405 5dcf2c1b967ee25cc46c58cd52244aed ""
|
||||
"/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/lm/lm-mathsy.enc" 1254938640 2840 216e6e45ad352e2456e1149f28885bee ""
|
||||
"/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/lm/lm-rm.enc" 1254938640 2327 9d6df24f9c4f7368395224341a95523a ""
|
||||
"/usr/share/texmf/fonts/tfm/public/lm/ec-lmbx12.tfm" 1254938640 12088 d750ac78274fa7c9f73ba09914c04f8a ""
|
||||
"/usr/share/texmf/fonts/tfm/public/lm/ec-lmbx9.tfm" 1254938640 12080 8da3d5e88196e4de175949ad7749b42f ""
|
||||
"/usr/share/texmf/fonts/tfm/public/lm/ec-lmcsc10.tfm" 1254938640 11276 116dd5bea6621ce4a1999f96d876084c ""
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||||
"/usr/share/texmf/fonts/tfm/public/lm/ec-lmr10.tfm" 1254938640 12056 7e13df7fe4cbce21b072ba7c4f4deb6e ""
|
||||
"/usr/share/texmf/fonts/tfm/public/lm/ec-lmr12.tfm" 1254938640 12092 7b1546e2d096cfd5dcbd4049b0b1ec2e ""
|
||||
"/usr/share/texmf/fonts/tfm/public/lm/ec-lmr17.tfm" 1254938640 12156 ca1ae6a3c8564e89597f1f993fba1608 ""
|
||||
"/usr/share/texmf/fonts/tfm/public/lm/ec-lmr7.tfm" 1254938640 12064 09aa3eeac96bf141d673bb1b0385ce55 ""
|
||||
"/usr/share/texmf/fonts/tfm/public/lm/ec-lmr9.tfm" 1254938640 12084 b7f5e4c003de6f57f07c7e9fee73a37c ""
|
||||
"/usr/share/texmf/fonts/tfm/public/lm/ec-lmri12.tfm" 1254938640 17144 271aaf9ebb339934b04110dc5211fba4 ""
|
||||
"/usr/share/texmf/fonts/tfm/public/lm/ec-lmtt10.tfm" 1254938640 1372 2ef2c2b492b3c4cd7879fe083abbb061 ""
|
||||
"/usr/share/texmf/fonts/tfm/public/lm/ec-lmtt12.tfm" 1254938640 1368 6a60e6a5e029141041d64d339b87e533 ""
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||||
"/usr/share/texmf/fonts/tfm/public/lm/lmex10.tfm" 1254938640 992 ce925c9346c7613270a79afbee98c070 ""
|
||||
"/usr/share/texmf/fonts/tfm/public/lm/lmmi10.tfm" 1254938640 1528 6d36b2385e0ca062a654de6ac59cb34f ""
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||||
"/usr/share/texmf/fonts/tfm/public/lm/lmmi12.tfm" 1254938640 1524 753b192b18f2991794f9d41a8228510b ""
|
||||
"/usr/share/texmf/fonts/tfm/public/lm/lmmi5.tfm" 1254938640 1508 198f5b7b99b5769126de3a533f6fc334 ""
|
||||
"/usr/share/texmf/fonts/tfm/public/lm/lmmi6.tfm" 1254938640 1512 94a3fd88c6f27dbd9ecb46987e297a4e ""
|
||||
"/usr/share/texmf/fonts/tfm/public/lm/lmmi7.tfm" 1254938640 1528 d5b028dd23da623848ef0645c96a1ed7 ""
|
||||
"/usr/share/texmf/fonts/tfm/public/lm/lmmi9.tfm" 1254938640 1524 cdf05765c2a8bdb569ea0aa208fb0947 ""
|
||||
"/usr/share/texmf/fonts/tfm/public/lm/lmsy10.tfm" 1254938640 1308 02cc510f9dd6012e5815d0c0ffbf6869 ""
|
||||
"/usr/share/texmf/fonts/tfm/public/lm/lmsy5.tfm" 1254938640 1296 54ed1a711e2303d5282575278e3620b0 ""
|
||||
"/usr/share/texmf/fonts/tfm/public/lm/lmsy6.tfm" 1254938640 1300 b0605d44c16c22d99dc001808e4f24ea ""
|
||||
"/usr/share/texmf/fonts/tfm/public/lm/lmsy7.tfm" 1254938640 1304 32f22a15acc296b2a4e15698403dcb88 ""
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||||
"/usr/share/texmf/fonts/tfm/public/lm/lmsy9.tfm" 1254938640 1300 ca37bc0213808d24f74bf4d32f81f80d ""
|
||||
"/usr/share/texmf/fonts/tfm/public/lm/rm-lmr10.tfm" 1254938640 11868 4f81e9b6033c032bdaf9884f4d7ef412 ""
|
||||
"/usr/share/texmf/fonts/tfm/public/lm/rm-lmr12.tfm" 1254938640 11888 6841b91e46b65cf41a49b160e6e74130 ""
|
||||
"/usr/share/texmf/fonts/tfm/public/lm/rm-lmr17.tfm" 1254938640 11948 fa976674f030491ad35532a8a1e37325 ""
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||||
"/usr/share/texmf/fonts/tfm/public/lm/rm-lmr5.tfm" 1254938640 11804 aefb10c002e6492c25236524a447f969 ""
|
||||
"/usr/share/texmf/fonts/tfm/public/lm/rm-lmr6.tfm" 1254938640 11836 e3b6ce3e601aec94f64a536e7f4224d5 ""
|
||||
"/usr/share/texmf/fonts/tfm/public/lm/rm-lmr7.tfm" 1254938640 11852 5a9022f105fd1ee2797df861e79ae9a0 ""
|
||||
"/usr/share/texmf/fonts/tfm/public/lm/rm-lmr9.tfm" 1254938640 11884 c93929a6974dce79eabb778f219d7e18 ""
|
||||
"/usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmbx12.pfb" 1254938640 116908 1fca96723793882c2e0160350c192fc8 ""
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||||
"/usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmbx9.pfb" 1254938640 126646 439622e6fd57f388c9979d39c4fce535 ""
|
||||
"/usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmcsc10.pfb" 1254938640 116427 4a5b1ccaa7cce719091920a86b58608d ""
|
||||
"/usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmex10.pfb" 1254938640 23055 2e5b42921de910eaa97b85df04ca4891 ""
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||||
"/usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmmi12.pfb" 1254938640 30696 2654571912f9cd384da9f7cb8a60c568 ""
|
||||
"/usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmmi7.pfb" 1254938640 30789 be3ebdf20b6442cc4aaf81a81e17daf4 ""
|
||||
"/usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmmi9.pfb" 1254938640 30698 e53a423459271d6c5cdd91f7559396af ""
|
||||
"/usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmr10.pfb" 1254938640 119235 f35b44530a1d90eb90fe15d9cba67ea0 ""
|
||||
"/usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmr12.pfb" 1254938640 113634 f99c44d58bae0863375faf0e1d74d612 ""
|
||||
"/usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmr17.pfb" 1254938640 119752 1bd8d06e4079df624bf59ce3ad7c9aa6 ""
|
||||
"/usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmr7.pfb" 1254938640 121145 68312a933e2c689ed40ec0aba373e279 ""
|
||||
"/usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmr9.pfb" 1254938640 121065 50bbfa703ce7e11638752ef5a6d120c7 ""
|
||||
"/usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmri12.pfb" 1254938640 109265 32320cb6133d4d76bf83e27b5eb4009b ""
|
||||
"/usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmsy10.pfb" 1254938640 27863 09ce3735688ffde955e72da27c95b61a ""
|
||||
"/usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmsy7.pfb" 1254938640 27941 d1f5d03f61a46c3fcc3a2ba904ddda52 ""
|
||||
"/usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmsy9.pfb" 1254938640 27835 16c2fa83351d4ef8cf5aebfab8a44bc1 ""
|
||||
"/usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmtt10.pfb" 1254938640 113227 1010e11451afc2822c95dae77c390042 ""
|
||||
"/usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmtt12.pfb" 1254938640 110323 92daea7ca7b4120bd2b54b047c93be27 ""
|
||||
"/usr/share/texmf/tex/latex/lm/lmodern.sty" 1256929440 1606 c17281c7cff2bbd7ff0173e1433487ec ""
|
||||
"/usr/share/texmf/tex/latex/lm/omllmm.fd" 1256929440 888 44447a3a3af84a22454ef89500942d93 ""
|
||||
"/usr/share/texmf/tex/latex/lm/omslmsy.fd" 1256929440 805 af340a8260c447aa315cfc740ff0152f ""
|
||||
"/usr/share/texmf/tex/latex/lm/omxlmex.fd" 1256929440 566 a94661f7b66063f191960bb7935b6ba2 ""
|
||||
"/usr/share/texmf/tex/latex/lm/ot1lmr.fd" 1256929440 1880 bae7b659316f7344a86218ad38b01d91 ""
|
||||
"/usr/share/texmf/tex/latex/lm/t1lmr.fd" 1256929440 1865 afbfccbe7fda9c2dc5078ad7c486bbed ""
|
||||
"/usr/share/texmf/tex/latex/lm/t1lmtt.fd" 1256929440 2681 354015af3b61e7be30009f084986375a ""
|
||||
"/usr/share/texmf/web2c/texmf.cnf" 1581979058 38841 ce3692aa899bb693b90b87eaa5d4d84e ""
|
||||
"/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map" 1637853745 4770781 1ed1abab22da9c3e2cc82e4db562318b ""
|
||||
"/var/lib/texmf/web2c/pdftex/pdflatex.fmt" 1710844658 8257272 1cfa34241cc079377b9a89f61b3bda1b ""
|
||||
"index.aux" 1735217032 7146 d459334cd486d15184a111fa97432904 "pdflatex"
|
||||
"index.out" 1735217032 597 9d266585309f5f49fc7b7b766b1b6373 "pdflatex"
|
||||
"index.tex" 1735216452 4902 50490028d5558c38115c46d49d8262db ""
|
||||
"index.toc" 1735217032 834 f24aeebd9d10ca6ad20d11d76ac357bc "pdflatex"
|
||||
"src/appat.tex" 1735216452 4124 f4457fe91cfd9240141854a2823b060c ""
|
||||
"src/bacteries.tex" 1735217031 2986 828e6f9754ad9fbb7532ceb3119c7a07 ""
|
||||
"src/descente-bus.tex" 1735216452 9749 da5320e7a52cc527888a1f7db1211d94 ""
|
||||
"src/gentillesse.tex" 1735216452 7722 d7c061398f9dcbf6b216a24ab8a8aff9 ""
|
||||
"src/inegalites-graphe.tex" 1735216452 6069 3504b50839d797d4aa0777e1d7e22f89 ""
|
||||
"src/points-colories.tex" 1735216452 8413 ad56be89cbb46495e7edefcca2f05554 ""
|
||||
"src/tarte.tex" 1735216452 10627 cb6259fdbec2326cef2f6c0b6737a060 ""
|
||||
"src/toboggan.tex" 1735216452 12490 0948784da72f4bc9a0525f52889b7861 ""
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||||
(generated)
|
||||
"/home/ggarnier/TFJM-2025/index.log"
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"index.toc"
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||||
"/home/ggarnier/TFJM-2025/index.pdf"
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"index.pdf"
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||||
"index.aux"
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||||
"index.log"
|
||||
"index.out"
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||||
550
index.fls
550
index.fls
|
|
@ -1,550 +0,0 @@
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|||
PWD /home/ggarnier/TFJM-2025
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||||
INPUT /etc/texmf/web2c/texmf.cnf
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INPUT /usr/share/texmf/web2c/texmf.cnf
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/web2c/texmf.cnf
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||||
INPUT /var/lib/texmf/web2c/pdftex/pdflatex.fmt
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||||
INPUT /home/ggarnier/TFJM-2025/index.tex
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||||
OUTPUT /home/ggarnier/TFJM-2025/index.log
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amscls/amsart.cls
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amscls/amsart.cls
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/map/fontname/texfonts.map
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/cm/cmr12.tfm
|
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsa.fd
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsa.fd
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/fontenc.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/fontenc.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/jknappen/ec/ecrm1200.tfm
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/switch.def
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel-french/french.ldf
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel-french/french.ldf
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.def
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/txtbabel.def
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/carlisle/scalefnt.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/carlisle/scalefnt.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/geometry/geometry.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/geometry/geometry.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/ifvtex.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/ifvtex.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/iftex.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/iftex.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amscd.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amscd.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/jknapltx/mathrsfs.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/jknapltx/mathrsfs.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mathtools.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mathtools.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/calc.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/calc.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mhsetup.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mhsetup.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stmaryrd/stmaryrd.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stmaryrd/stmaryrd.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/psnfss/mathptmx.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/psnfss/mathptmx.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/ltxcmds/ltxcmds.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/ltxcmds/ltxcmds.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pdftexcmds/pdftexcmds.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pdftexcmds/pdftexcmds.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/infwarerr/infwarerr.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/infwarerr/infwarerr.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvsetkeys/kvsetkeys.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvsetkeys/kvsetkeys.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvdefinekeys/kvdefinekeys.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvdefinekeys/kvdefinekeys.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdfescape/pdfescape.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdfescape/pdfescape.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hycolor/hycolor.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hycolor/hycolor.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/letltxmacro/letltxmacro.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/letltxmacro/letltxmacro.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/auxhook/auxhook.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/auxhook/auxhook.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/kvoptions/kvoptions.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/kvoptions/kvoptions.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/pd1enc.def
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/pd1enc.def
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/intcalc/intcalc.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/intcalc/intcalc.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/etexcmds/etexcmds.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/etexcmds/etexcmds.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/backref.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/backref.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/rerunfilecheck/rerunfilecheck.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/rerunfilecheck/rerunfilecheck.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/atveryend/atveryend.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/atveryend/atveryend.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/uniquecounter/uniquecounter.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/uniquecounter/uniquecounter.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bigintcalc/bigintcalc.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bigintcalc/bigintcalc.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/url/url.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/url/url.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bitset/bitset.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bitset/bitset.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/atbegshi/atbegshi.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/atbegshi/atbegshi.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hpdftex.def
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hpdftex.def
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3packages/xfrac/xfrac.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3packages/xfrac/xfrac.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/expl3.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/expl3.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3backend/l3backend-pdfmode.def
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3backend/l3backend-pdfmode.def
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphics.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphics.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/trig.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/trig.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/graphics.cfg
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/graphics.cfg
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-def/pdftex.def
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-def/pdftex.def
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3packages/l3keys2e/l3keys2e.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3packages/l3keys2e/l3keys2e.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/textcomp.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/textcomp.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3packages/xparse/xparse.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3packages/xparse/xparse.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3packages/xtemplate/xtemplate.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3packages/xtemplate/xtemplate.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/array.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/array.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xy.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xy.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xy.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xyrecat.tex
|
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xyidioms.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/xypic/xydash10.tfm
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/xypic/xyatip10.tfm
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/xypic/xybtip10.tfm
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/xypic/xybsql10.tfm
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/xypic/xycirc10.tfm
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/ifpdf.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/ifpdf.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xyall.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xyall.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xycurve.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xycurve.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xyframe.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xyframe.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xycmtip.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xycmtip.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xytips.tex
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||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xytips.tex
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||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/xypic/xycmat10.tfm
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||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/xypic/xycmbt10.tfm
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/xypic/xyluat10.tfm
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/xypic/xylubt10.tfm
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xyline.tex
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||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xyrotate.tex
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xycolor.tex
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xycolor.tex
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xymatrix.tex
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||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xymatrix.tex
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xyarrow.tex
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xyarrow.tex
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xygraph.tex
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xygraph.tex
|
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xypdf.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xypdf.tex
|
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xypdf-co.tex
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xypdf-cu.tex
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xypdf-fr.tex
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xypdf-li.tex
|
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xypic/xypdf-ro.tex
|
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/paralist/paralist.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/paralist/paralist.sty
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||||
INPUT /usr/share/texmf/tex/latex/lm/lmodern.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texmf/tex/latex/lm/lmodern.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/was/upgreek.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/was/upgreek.sty
|
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/multicol.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/multicol.sty
|
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/caption/caption.sty
|
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/caption/caption.sty
|
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/caption/caption3.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/caption/caption3.sty
|
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/enumitem/enumitem.sty
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||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/enumitem/enumitem.sty
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/xspace.sty
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||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/xspace.sty
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/caption/subcaption.sty
|
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/caption/subcaption.sty
|
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/fancyhdr/fancyhdr.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/fancyhdr/fancyhdr.sty
|
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/frontendlayer/tikz.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/frontendlayer/tikz.sty
|
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgf.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgf.sty
|
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfrcs.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfrcs.sty
|
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|
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-common-lists.tex
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|
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ms/everyshi.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ms/everyshi.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfrcs.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfrcs.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/pgf.revision.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/pgf.revision.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgfcore.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgfcore.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/systemlayer/pgfsys.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/systemlayer/pgfsys.sty
|
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeys.code.tex
|
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeysfiltered.code.tex
|
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgf.cfg
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys-pdftex.def
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys-pdftex.def
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys-common-pdf.def
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsyssoftpath.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsyssoftpath.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsysprotocol.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsysprotocol.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/xcolor/xcolor.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/xcolor/xcolor.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/color.cfg
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/color.cfg
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcore.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcore.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathcalc.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathutil.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathparser.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.basic.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.trigonometric.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.random.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.comparison.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.base.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.round.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.misc.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.integerarithmetics.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfloat.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfint.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepoints.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathconstruct.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathusage.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorescopes.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoregraphicstate.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoretransformations.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorequick.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreobjects.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathprocessing.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorearrows.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreshade.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreimage.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreexternal.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorelayers.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoretransparency.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepatterns.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorerdf.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduleshapes.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduleplot.code.tex
|
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-0-65.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-0-65.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-1-18.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-1-18.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgffor.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgffor.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfkeys.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfkeys.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeys.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeys.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/math/pgfmath.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/math/pgfmath.sty
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgffor.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgffor.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex
|
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/tikz.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/tikz.code.tex
|
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryplothandlers.code.tex
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarytopaths.code.tex
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarytopaths.code.tex
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduledecorations.code.tex
|
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.pathmorphing.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.pathmorphing.code.tex
|
||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydecorations.pathmorphing.code.tex
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||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydecorations.pathmorphing.code.tex
|
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryshapes.geometric.code.tex
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryshapes.geometric.code.tex
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarycalc.code.tex
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||||
INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryarrows.code.tex
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryarrows.code.tex
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryarrows.code.tex
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryshapes.misc.code.tex
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/shapes/pgflibraryshapes.misc.code.tex
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/shapes/pgflibraryshapes.misc.code.tex
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.pathreplacing.code.tex
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydecorations.pathreplacing.code.tex
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydecorations.pathreplacing.code.tex
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/fp/fp.sty
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/fp/defpattern.sty
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/fp/fp-basic.sty
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/fp/fp-addons.sty
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/fp/fp-snap.sty
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/fp/fp-exp.sty
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/fp/fp-trigo.sty
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/fp/fp-pas.sty
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/fp/fp-random.sty
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/fp/fp-eqn.sty
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/fp/fp-eqn.sty
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|
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/fp/fp-eval.sty
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INPUT /home/ggarnier/TFJM-2025/index.aux
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INPUT /home/ggarnier/TFJM-2025/index.aux
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OUTPUT /home/ggarnier/TFJM-2025/index.aux
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INPUT /usr/share/texmf/tex/latex/lm/t1lmr.fd
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INPUT /usr/share/texmf/tex/latex/lm/ot1lmr.fd
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INPUT /usr/share/texmf/tex/latex/lm/omllmm.fd
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INPUT /usr/share/texmf/fonts/tfm/public/lm/lmmi7.tfm
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INPUT /usr/share/texmf/tex/latex/lm/omslmsy.fd
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||||
INPUT /usr/share/texmf/fonts/tfm/public/lm/lmsy10.tfm
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INPUT /usr/share/texmf/fonts/tfm/public/lm/lmsy7.tfm
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INPUT /usr/share/texmf/tex/latex/lm/omxlmex.fd
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INPUT /usr/share/texmf/fonts/tfm/public/lm/lmex10.tfm
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INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsb.fd
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10
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10
index.out
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\BOOKMARK [1][-]{section*.1}{Pr\351ambule}{}% 1
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\BOOKMARK [1][-]{section*.3}{Notations}{}% 2
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\BOOKMARK [1][-]{section.1}{1. Une bonne humeur contagieuse}{}% 3
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\BOOKMARK [1][-]{section.2}{2. Dr\364les de toboggans}{}% 4
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\BOOKMARK [1][-]{section.3}{3. Plats \340 tarte gradu\351s}{}% 5
|
||||
\BOOKMARK [1][-]{section.4}{4. Transformation de papillons}{}% 6
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||||
\BOOKMARK [1][-]{section.5}{5. Gerrymandering}{}% 7
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||||
\BOOKMARK [1][-]{section.6}{6. Le cauchemar de la ligne 20-25}{}% 8
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\BOOKMARK [1][-]{section.7}{7. Le poids des graphes}{}% 9
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\BOOKMARK [1][-]{section.8}{8. Points color\351s sur un cercle}{}% 10
|
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BIN
index.synctex.gz
BIN
index.synctex.gz
Binary file not shown.
13
index.tex
13
index.tex
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@ -1,8 +1,8 @@
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\documentclass[a4paper,12pt]{amsart}
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% Variables
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\newcommand{\numeroTournoi}{13}
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\newcommand{\version}{1.3}
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\newcommand{\numeroTournoi}{15}
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\newcommand{\version}{1}
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% Encodage
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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@ -90,9 +90,9 @@
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\thispagestyle{empty}
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\section*{Préambule}
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||||
Ces problèmes sont difficiles et sont proposés par des chercheurs et étudiants en mathématiques. Ils n'admettent pas toujours, à la connaissance du jury, de solution complète mais sont accessibles à des lycéens, c'est-à-dire que les auteurs sont certains qu'un travail de recherche élémentaire peut être mené sur ces problèmes. Le jury n'attend pas des candidats qu'ils résolvent entièrement un problème, mais qu'ils en comprennent les enjeux, résolvent des cas particuliers, repèrent les difficultés et proposent des pistes de recherche. Attention, les questions ne sont pas toujours classées par ordre croissant de difficulté. Enfin, il n'est pas nécessaire de traiter tous les problèmes : chaque équipe peut en refuser un certain nombre sans pénalité. On se reportera au règlement pour plus de détails.
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||||
Ces problèmes sont difficiles et sont proposés par des chercheurs, des chercheuses, des étudiants et des étudiantes en mathématiques. Ils n'admettent pas toujours, à la connaissance du jury, de solution complète mais sont accessibles à des élèves de lycée, c'est-à-dire que les auteurs et les autrices garantissent qu'un travail de recherche élémentaire peut être mené sur ces problèmes. Le jury n'attend pas que les équipes résolvent entièrement un problème, mais qu'elles en comprennent les enjeux, résolvent des cas particuliers, repèrent les difficultés et proposent des pistes de recherche. Attention, les questions ne sont pas toujours classées par ordre croissant de difficulté. Enfin, il n'est pas nécessaire de traiter tous les problèmes : chaque équipe peut en refuser un certain nombre sans pénalité. On se reportera au règlement pour plus de détails.
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||||
Ces problèmes sont distribués sous licence \texttt{CC-BY-SA 4.0}. En cas de questions concernant le tournoi ou les énoncés, consulter le site \href{https://www.tfjm.org}{\texttt{www.tfjm.org}} ou contacter les organisateurs à l'adresse \href{mailto:contact@tfjm.org}{\texttt{contact@tfjm.org}}.
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||||
Ces problèmes sont distribués sous licence \texttt{CC-BY-SA 4.0}. En cas de questions concernant le tournoi ou les énoncés, consulter le site \href{https://www.tfjm.org}{\texttt{www.tfjm.org}} ou contacter les organisateurs et organisatrices à l'adresse \href{mailto:contact@tfjm.org}{\texttt{contact@tfjm.org}}.
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\bigskip
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@ -108,7 +108,10 @@ Ces problèmes sont distribués sous licence \texttt{CC-BY-SA 4.0}. En cas de qu
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\begin{tabular}{ll}
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$\{a_1,a_2,\dots, a_n\}$ & ensemble contenant les éléments $a_1, a_2, \dots, a_n$ \\
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$\N = \{0,1,2,\ldots\}$ & ensemble des nombres entiers naturels \\
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$\ln$ & logarithme népérien
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||||
$\mathbb{R}$ & ensemble des nombres réels \\
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$\mathbb{R}_+$ & ensemble des nombres réels strictement positifs ou nuls \\
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$\ln$ & logarithme népérien\\
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$|\cdot|$ & valeur absolue
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||||
\end{tabular}
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||||
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||||
\restoregeometry
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11
index.toc
11
index.toc
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@ -1,11 +0,0 @@
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\babel@toc {french}{}
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\contentsline {section}{\tocsection {}{}{Préambule}}{1}{section*.1}%
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\contentsline {section}{\tocsection {}{}{Notations}}{1}{section*.3}%
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\contentsline {section}{\tocsection {}{1}{Une bonne humeur contagieuse}}{2}{section.1}%
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\contentsline {section}{\tocsection {}{2}{Drôles de toboggans}}{3}{section.2}%
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\contentsline {section}{\tocsection {}{3}{Plats à tarte gradués}}{6}{section.3}%
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\contentsline {section}{\tocsection {}{4}{Transformation de papillons}}{7}{section.4}%
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\contentsline {section}{\tocsection {}{5}{Gerrymandering}}{8}{section.5}%
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\contentsline {section}{\tocsection {}{6}{Le cauchemar de la ligne 20-25}}{9}{section.6}%
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\contentsline {section}{\tocsection {}{7}{Le poids des graphes}}{11}{section.7}%
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\contentsline {section}{\tocsection {}{8}{Points colorés sur un cercle}}{13}{section.8}%
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@ -1,14 +1,13 @@
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\section{Gerrymandering}
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Elbridge cherche à déplacer les capitales des différents districts vers les emplacements demandés par son parti, en le moins d'années possible.
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Afin de gagner les élections, Elbridge cherche à déplacer les capitales des différents districts vers les emplacements demandés par son parti, en le moins d'années possible.
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Soit $P$ une partie du plan, qui représente un pays, et $n \ge 2$.
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On appelle \textbf{configuration} un choix de $n$ points $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_n$, qui représentent les capitales des districts.
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A chaque configuration est associée un \textbf{découpage} de $P$, où le district $D_i$ est constituée de l'ensemble des points strictement plus proches de $A_i$ que de tous les autres points.
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On appelle \textbf{configuration} un choix de $n$ points distincts $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_n$, qui représentent les capitales des districts où pour une configuration donnée, on découpe $P$ en $n$ parties $D_1, \ldots, D_n$ que l'on appelle des districts : le district $D_i$ est constitué de l'ensemble des points strictement plus proches de $A_i$ que de tous les autres points.
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Chaque année, Elbridge peut déplacer, simultanément, chaque capitale $A_i$ vers un nouvel emplacement $A_i' \in D_i$.
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On dit alors que $(A_1',\ldots,A_n')$ est \textbf{réalisable} à partir de $(A_1,\ldots,A_n)$ en 1 année.
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Plus généralement, on définit, pour une configuration $C'$, le fait d'être réalisable à partir de $C$ comme le fait qu'il existe $a \in \N$ tels que $C'$ soit réalisable à partir de $C$ en $a$ années.
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On dit alors que $(A_1',\ldots,A_n')$ est \textbf{réalisable} à partir de $(A_1,\ldots,A_n)$ en 1 année. Ensuite le découpage de $P$ en $n$ districts est refait en fonction de cette nouvelle configuration.
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Plus généralement, on définit, pour une configuration $C'$, le fait d'être réalisable à partir de $C$ comme le fait qu'il existe $a \in \N$ tel que $C'$ soit réalisable à partir de $C$ en $a$ années.
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Voir Fig. \ref{fig:gerry}.
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@ -79,7 +78,7 @@ Voir Fig. \ref{fig:gerry}.
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\end{figure}
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Dans un premier temps, on se place dans le cas où $P$ est un cercle centré en l'origine.
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Dans un premier temps, on se place dans le cas où $P$ est un cercle centré en l'origine. Par conséquent toutes les capitales sont situées à une même distance du centre de $P$.
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\q A partir d'une configuration donnée, quelles configurations sont réalisables ?
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@ -100,4 +99,4 @@ Dans la question 3, $M$ est un demi-plan.
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\q Généraliser au cas des dimensions supérieures.
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\q Proposer et étudier d'autres directions de recherche.
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\q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche.
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@ -1,30 +1,33 @@
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\section{Transformation de papillons}
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Pour embellir les différents tournois du \tfjm, le comité national d'organisation décide de faire un élevage de $N$ papillons ($N$ impair). À l’origine, le papillon numéro $i$ a une envergure égale à $x_i$ cm. Chaque jour, certains papillons subissent une transformation qui modifie leur envergure. La manière de choisir le papillon qui subit la transformation peut varier (par exemple, le plus petit, le plus grand, un choix aléatoire, ou le papillon avec l’envergure médiane).
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Pour embellir les différents tournois du \tfjm, le comité national d'organisation décide de faire un élevage de $N$ papillons. À l’origine, le papillon numéro $i$ a une envergure égale à $x_i$ centimètres. Chaque jour, certains papillons subissent une transformation qui modifie leur envergure.
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\q Dans cette question seulement, on suppose que tous les papillons ont une envergure de $1$ cm. Chaque jour, seul l'un des papillons d'envergure maximale voit celle-ci être divisée par deux. Combien de temps faudra-t-il pour que tous les papillons aient une envergure strictement inférieure à $0.5$ cm ? Et pour $0.1$ cm ? Que se passe-t-il si la transformation réduit l'envergure d'un des papillons de taille médiane ?
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\q Dans cette question uniquement, on suppose que tous les papillons ont une envergure initiale de $1$ cm.
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\begin{enumerate}
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\item Chaque jour, un des papillons d'envergure maximale voit son envergure être divisée par deux. Combien de temps faudra-t-il pour que tous les papillons aient une envergure strictement inférieure à $0,5$ cm ? Et pour $0,1$ cm ?
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\item Supposons que $N$ est impair. Que se passe-t-il si la transformation divise par deux l'envergure d'un des papillons d'envergure médiane ?
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\end{enumerate}
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\q Désormais, on suppose que les transformations alternent :
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\q Supposons que $N$ est impair. Désormais, on suppose que les transformations alternent :
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\begin{itemize}
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\item La première transformation s'applique à l'un des papillons ayant une envergure médiane, qui perd alors la moitié de sa taille.
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\item La seconde transformation s'applique à l'un des papillons ayant une envergure médiane, qui gagne alors la moitié de sa taille.
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\item La première transformation s'applique à l'un des papillons ayant une envergure médiane, qui perd alors la moitié de son envergure.
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\item La seconde transformation s'applique à l'un des papillons ayant une envergure médiane, qui gagne alors la moitié de son envergure.
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\end{itemize}
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Est-il possible que l'un des papillons atteigne une taille arbitrairement grande ?
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Est-il vrai que, pour tout $M \in \R$, que l'un des papillon va finir par dépasser la taille M ?
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\q Que devient la question précédente si la seconde transformation multiplie la taille du papillon par $2$ à la place ?
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\q Reprendre la question précédente si la seconde transformation multiplie l'envergure du papillon par $2$ à la place.
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\bigskip
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Nous faisons désormais l'hypothèse que tous les papillons se transforment en même temps.
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\q Chaque jour, chaque papillon se transforme en deux papillons: Le premier hérite de 80\% de l'envergure du parent, et le second de 125\%.
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Soit $x \in [0, \infty[$. Estimer la proportion de papillons ayant une taille supérieure à $x$ le $n$-ème jour ? Et la proportion de papillons ayant une taille inférieure à $x$ ? (\textit{On pourra commencer par regarder des valeurs particulières de $x$})
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Soit $x \in \R_+$. Estimer la proportion de papillons ayant une envergure supérieure à $x$ le $n$-ième jour.
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\q Chaque jour, chaque papillon se transforme en deux papillons, ce qui augmente. Le premier hérite de 80\% de l'envergure de son parent, et le second de 125\% de l'envergure de son grand-parent. Puisqu'il n'y a pas de grand parent à la première transformation, on supposera que le grand-parent a la même envergure que le parent.
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Soit $x \in \R_+$. Quelle est la proportion de papillons ayant une envergure strictement supérieure à $x$ le $n$-ème jour ? (\textit{On pourra commencer par regarder des valeurs particulières de $x$})
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\q Chaque jour, chaque papillon se transforme en deux papillons. Le premier hérite de 80\% de l'envergure de son parent, et le second de 125\% de l'envergure de son grand-parent. (Puisqu'il n'y a pas de grand parent à la première transformation, on supposera que le grand parent a la même envergure que le parent.)
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Soit $x \in [0, \infty[$. Quelle est la proportion de papillons ayant une taille strictement supérieure à $x$ le $n$-ème jour ? Et la proportion de papillons ayant une taille strictement inférieure à $x$ ? (\textit{On pourra commencer par regarder des valeurs particulières de $x$})
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\q Chaque jour, chaque papillon se transforme en deux papillons. La taille des nouveaux papillons est tirée aléatoirement selon une loi de probabilité continue. Peut-on retrouver cette loi de probabilité en observant assez longtemps l'évolution des papillons ?
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\q Chaque jour, chaque papillon se transforme en deux papillons. Le pourcentage d'évolution de l'envergure des nouveaux papillons par rapport à leurs parents est tiré aléatoirement selon une loi de probabilité discrète fixée. Peut-on retrouver cette loi de probabilité en observant assez longtemps l'évolution des papillons ?
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\q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche.
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@ -5,24 +5,28 @@ On assiste notamment à des scènes spectaculaires où un bus est tellement bond
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Face à ce problème, la société des transports TRAP a mandaté Antoine pour effectuer une analyse d'efficacité et proposer des pistes d'amélioration.
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La situation étant plutôt complexe (c'est le moins qu'on puisse dire !), Antoine décide de travailler sur un modèle simplifié.
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Il considère la ligne 20-25 comme une ligne droite, avec le dépôt situé en \( 0 \), puis un arrêt en chaque entier \( n \geq 1 \) (le dépôt n'est donc pas considéré comme un arrêt).
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Après quelques observations, il lui apparaît que les bus se déplacent à une vitesse moyenne maximale \( V_{0} \), mais que leur vitesse moyenne diminue à mesure qu'ils chargent des passagers.
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Antoine conjecture que la vitesse moyenne d'un bus contenant \( k \) passagers (le chauffeur ne compte pas comme un passager) est donnée par
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Après quelques observations, il lui apparaît que les bus se déplacent à une vitesse moyenne initiale \( V_{0} \), mais que leur vitesse moyenne diminue à mesure qu'ils chargent des passagers.
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Antoine observe que la vitesse moyenne d'un bus contenant \( k \) passagers (le chauffeur ne compte pas comme un passager) est donnée par
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\begin{equation}
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\label{eq:VitesseBus}
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V_{k} = \frac{V_{0}}{1+\ln{(k+1)}}\text{.}
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\end{equation}
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(Antoine considère que les bus se déplacent constamment à leur vitesse moyenne, et le temps passé aux arrêts est compris dans cette vitesse moyenne.
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Autrement dit, il fait comme si les bus se déplaçaient constamment à vitesse \( V_{k} \), et lorsqu'ils atteignent un arrêt, ils embarquent tous les passagers qui s'y trouvent et changent de vitesse instantanément.)
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Les bus ne peuvent pas se dépasser : lorsqu'un bus rattrape son prédécesseur, il le suit à la même vitesse que lui (y compris si cela implique de rouler à une vitesse inférieure à sa vitesse moyenne), et en arrivant à un arrêt, les passagers sont répartis équitablement entre les bus (s'il devait y avoir plus de bus que de passagers, en supposant qu'il y a \( N \) passagers, chacun des \( N \) bus les moins remplis recevrait un passager).
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Par ailleurs, on suppose que les bus ont une capacité de transport infinie.
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On suppose que les passagers ne descendent jamais, sauf lorsqu'ils arrivent à un terminus.
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\medskip
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Les bus ne peuvent pas se dépasser : lorsqu'un bus rattrape son prédécesseur, il le suit à la même vitesse que lui (y compris si cela implique de rouler à une vitesse inférieure à sa vitesse moyenne), et en arrivant à un arrêt, les passagers sont répartis équitablement entre les bus (s'il devait y avoir plus de bus que de passagers, en supposant qu'il y a \( N \) passagers, chacun des \( N \) bus les moins remplis recevrait un passager). Si deux bus ont le même nombre de passagers, on commencera par remplir le bus qui est arrivé en premier.
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Par ailleurs, on suppose que les bus ont une capacité de transport infinie. Aussi, on suppose que les bus partent vides du dépôt.
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\q
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Dans un premier temps, Antoine s'intéresse à ce qui se produit aux heures de pointe.
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Il considère qu'il y a \( N \) passagers à chaque arrêt, et que ceux-ci ne se remplissent pas par la suite (ce qui correspond à dire qu'il y a tant de passagers aux arrêts que le remplissage sur la période étudiée est négligeable).
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Il considère qu'il y a \( N \) passagers à chaque arrêt, et que ceux-ci ne se remplissent pas par la suite.
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%\begin{enumerate}
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% \item\label{item:DeuxBusRattrapent}
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Deux bus quittent le dépôt, le premier au temps \( t = 0 \), le second au temps \( t = 1 \).
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Deux bus quittent le dépôt, le premier au temps \( t = 0 \), le second démarrant quand le premier arrive au premier arrêt.
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Finissent-ils par se rattraper ?
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% \item Antoine se demande si cette réponse dépend de sa modélisation de la vitesse.
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% Reprendre le point~\ref{item:DeuxBusRattrapent} si \( V_{k} \) peut être donnée par une expression quelconque, et non nécessairement celle en~\eqref{eq:VitesseBus}.
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@ -45,7 +49,7 @@ Il considère donc les variantes suivantes.
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\begin{enumerate}
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\item Au temps \( t = T \), le bus de tête est immobilisé pendant un intervalle de temps de \( \frac{1}{10} \) en raison d'un embouteillage, avant de reprendre à vitesse normale.
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\item Au temps \( t = T \), une quantité \( q \) de passagers arrive à l'arrêt situé en \( n = 10 \) en plus du remplissage normal (par exemple, suite à l'arrivée d'un TGV, dont les passagers souhaitent rallier la cité universitaire en bus\dots).
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\item Au temps \( t = T \), une quantité \( q \) de passagers arrive à l'arrêt situé en \( n = 10 \) en plus du remplissage normal.
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\end{enumerate}
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Toujours dans le cas de deux bus séparés d'une unité de temps, évaluer l'impact des deux perturbations ci-dessus sur la suite de leur parcours.
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@ -54,7 +58,7 @@ Toujours dans le cas de deux bus séparés d'une unité de temps, évaluer l'imp
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\q
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Antoine souhaite à présent concevoir une stratégie pour retenir les bus aux heures de pointe, afin d'éviter qu'ils ne se rattrapent.
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On suppose donc à présent que, lorsqu'ils arrivent aux arrêts (et uniquement à ce moment), les bus peuvent s'arrêter et attendre un temps arbitraire avant de repartir à leur vitesse normale.
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Une \emph{stratégie} est une façon pour les bus de décider, en connaissance de la position de tous les bus et du nombre de passagers qu'ils transportent, du temps à attendre lorsqu'ils arrivent à un arrêt.
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Une \emph{stratégie} est une façon pour le conducteur du bus de décider, en connaissance de la position de tous les bus, du nombre de passagers qu'ils transportent et du nombre de passagers à chaque arrêt, du temps à attendre lorsqu'ils arrivent à un arrêt.
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%Dans le cadre de la question 1a), existe-t-il une stratégie pour retenir les bus de façon à ce que le second ne rattrape jamais le premier ?
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%Le cas échéant, une telle stratégie peut-elle être choisie de façon à améliorer le temps de parcours voyageur (c'est-à-dire que certains passagers iraient de l'arrêt où ils sont montés à un arrêt ultérieur plus vite que si cette stratégie n'était pas mise en \oe uvre) ?
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%
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@ -70,24 +74,24 @@ On suppose que deux bus circulent sur la ligne, partant tous deux du dépôt en
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\item Existe-il une stratégie pour retenir les bus aux arrêts de façon à éviter qu'ils ne se rattrapent ?
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\item Que se passe-t-il dans le cas de \( m \) bus, chaque bus après le premier partant lorsque le précédent a atteint le premier arrêt ?
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\end{enumerate}
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Discuter de l'optimalité d'une éventuelle stratégie par rapport au temps de parcours voyageur (c’est-à-dire qu'on cherche à maximiser le temps écoulé entre l'arrivée d'un passager à un arrêt, et le moment où le bus le dépose au terminus).
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Discuter de l'optimalité d'une éventuelle stratégie par rapport au temps de parcours voyageur (c’est-à-dire qu'on cherche à minimiser le temps écoulé entre l'arrivée d'un passager à un arrêt, et le moment où le bus le dépose au terminus).
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\q
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Antoine cherche à explorer une dernière idée pour améliorer le temps de parcours voyageur.
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On se place à nouveau dans le cadre de la question 2, avec deux bus circulant, et où les arrêts sont initialement vides et se remplissent progressivement.
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On se place à nouveau dans le cadre de la question 2, avec deux bus circulant, et où les arrêts sont initialement vides et se remplissent progressivement. On suppose qu'il y a une infinité dénombrable d'arrêts indexés par les entiers naturels.
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Antoine propose que le premier bus desserve uniquement les arrêts impairs, et le second uniquement les arrêts pairs.
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\begin{enumerate}
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\item Cette stratégie présente-t-elle un gain en termes de temps de parcours voyageur ?
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\item Cette stratégie présente-t-elle un gain en terme de temps de parcours voyageur ?
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Le quantifier aussi précisément que possible.
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\item Pour pousser son idée encore plus loin son idée, Antoine suppose à présent qu'un bus démarre à chaque temps \( t \) entier, et que les bus parcourent les arrêts de \( k \) en \( k \).
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\item Pour pousser son idée encore plus loin, Antoine suppose à présent qu'un bus démarre à chaque temps \( t \) entier, et que les bus parcourent les arrêts de \( k \) en \( k \).
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Plus précisément, le premier bus dessert les arrêts multiples de \( k \), le suivant les arrêts multiples de \( k \) plus \( 1 \), et ainsi de suite.
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Après \( k \) bus, le schéma se répète : le \( (k+1) \)-ème bus dessert les arrêts multiples de \( k \), le \( (k+2) \)-ème bus dessert les arrêts multiples de \( k \) plus \( 1 \), et ainsi de suite.
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Quantifier le gain éventuel en termes de temps de parcours voyageur, et examiner ce qui se produit lorsque \( k \to +\infty \).
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\item Antoine décide de pousser son idée encore plus loin, et d'ajouter des arrêts, pour répartir les voyageurs sur davantage d'arrêts.
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Il suppose donc qu'il y a à présent un arrêt en \( \frac{n}{k} \) pour chaque entier \( n \geq 1 \), et que les voyageurs arrivent aux arrêts à un taux de \( \frac{\rho}{k} \) passagers par unité de temps.
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On considère toujours qu'un bus quitte le dépôt à chaque unité de temps.
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Quantifier l'impact de ce changement sur le temps de parcours voyageur, à la fois dans le cas où chaque bus dessert tous les arrêts ou dans le cas où les bus desservent les arrêts de \( k \) en \( k \).
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Quantifier l'impact de ce changement sur le temps de parcours voyageur, à la fois dans le cas où chaque bus dessert tous les arrêts et dans le cas où les bus desservent les arrêts de \( k \) en \( k \).
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On s'intéressera particulièrement à ce qui se produit à la limite lorsque \( k \to +\infty \).
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\end{enumerate}
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@ -2,16 +2,16 @@
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Au pays des Merveilles, les lutins sont de mauvaise humeur. Un seul lutin parviendra-t-il à tous leur redonner le sourire ?
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Le Pays des Merveilles, noté $M$, est constitué de $n \ge 3$ lutins, qui peuvent chacun être de bonne ou mauvaise humeur. Chaque paire de lutins est soit amie, soit inconnue.
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Le pays des Merveilles, noté $M$, est constitué de $n \ge 3$ lutins, qui peuvent chacun être de bonne ou mauvaise humeur. Chaque paire de lutins est soit amie, soit inconnue.
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Chaque jour, chaque lutin de bonne humeur sourit simultanément à un certain nombre de ses amis (ce nombre sera précisé dans la suite). Un lutin de mauvaise humeur qui reçoit au moins un sourire devient de bonne humeur, et pourra se mettre à sourire à partir du jour suivant.
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En partant d'un lutin $\ell$ donné, on dit qu'un nombre $j \in N$ est \emph{réalisable} s'il est possible que tous les lutins deviennent de bonne humeur à partir du $j$-ième jour si, initialement, le lutin $\ell$ est le seul à être de bonne humeur.
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En partant d'un lutin $\ell$ donné, on dit qu'un nombre $j \in \mathbb{N}$ est \emph{réalisable} s'il est possible que tous les lutins deviennent de bonne humeur à partir du $j$-ième jour si, initialement, le lutin $\ell$ est le seul à être de bonne humeur.
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Par ailleurs, on dit que le nombre $\infty$ est réalisable s'il est possible qu'une situation où tous les lutins sont de bonne humeur n'arrive jamais.
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Par exemple, si on suppose que chaque lutin sourit à exactement 1 de ses amis (n'importe lequel), que le pays des Merveilles $M$ est constitué de $3$ lutins, où un lutin est ami aux deux autres, et qu'on part du lutin ami aux deux autres, alors tous les nombres entiers supérieurs ou égaux à 2 sont réalisables. Voir Figure \ref{fig:lutins}.
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Par exemple, si on suppose que chaque lutin sourit à exactement 1 de ses amis (n'importe lequel), que le pays des Merveilles $M$ est constitué de $3$ lutins, où un lutin est ami avec les deux autres, et qu'on part du lutin ami aux deux autres, alors tous les nombres entiers supérieurs ou égaux à 2 sont réalisables. Voir Figure \ref{fig:lutins}.
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\begin{figure}
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\begin{figure}[h]
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\centering
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\begin{tikzpicture}
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% Les nœuds avec des sourires
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@ -78,7 +78,7 @@ Par exemple, si on suppose que chaque lutin sourit à exactement 1 de ses amis (
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\caption{Un exemple de propagation, qui montre que le nombre 3 est réalisable.
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Les disques correspondent aux lutins, ils sont remplis pour les lutins de bonne humeur. Les flèches indiquent à quel lutin chacun sourit.}
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Les disques correspondent aux lutins, ils sont remplis pour les lutins de bonne humeur. Deux lutins sont reliés s'ils sont amis. Les flèches indiquent à quel lutin chacun sourit.}
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\label{fig:lutins}
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\end{figure}
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@ -87,11 +87,11 @@ On note $A(M,\ell)$ l'ensemble des nombres réalisables. Dans l'exemple précéd
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\medskip
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\q Dans un premier temps, un lutin sourit à exactement deux de ses amis, en priorité aux lutins de mauvaise humeur (c'est-à-dire qu'il ne peut pas sourire à un lutin de bonne humeur s'il ne sourit pas à tous ses amis de mauvaise humeur). Déterminer $A(M,\ell)$ (qu'on notera $A_1(M,\ell)$ pour éviter les ambiguités) si le pays des Merveilles est un réseau avec $a\in\N$ lignes et $b\in\N$ colonnes, avec $a,b \ge 2$, comme dans la Figure~\ref{fig:reseau_lutin}. On pourra distinguer les cas suivants :
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\q Dans un premier temps, un lutin sourit à exactement deux de ses amis, en priorité aux lutins de mauvaise humeur (c'est-à-dire qu'il ne peut pas sourire à un lutin de bonne humeur s'il ne sourit pas à tous ses amis de mauvaise humeur). Déterminer $A(M,\ell)$ (qu'on notera $A_1(M,\ell)$ pour éviter les ambiguités) si le pays des Merveilles est un reseau d'amitié avec $a\in\N$ lignes et $b\in\N$ colonnes, avec $a,b \ge 2$, comme dans la Figure~\ref{fig:reseau_lutin}. Dans ce réseau, les sommets représentent les lutins et les arêtes représentent les liens d'amitié. On pourra distinguer les cas suivants :
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\begin{enumerate}
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\item Si le lutin initial $\ell$ a 2 amis (c'est-à-dire, dans un coin);
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\item Si le lutin initial $\ell$ a 3 amis (c'est-à-dire, sur un côté);
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\item Si le lutin initial $\ell$ a 4 amis (c'est-à-dire, ni sur un coin ni sur un côté).
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\item Si le lutin initial $\ell$ a 2 amis (c'est-à-dire dans un coin);
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\item Si le lutin initial $\ell$ a 3 amis (c'est-à-dire sur un côté);
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\item Si le lutin initial $\ell$ a 4 amis (c'est-à-dire ni sur un coin ni sur un côté).
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\end{enumerate}
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@ -143,11 +143,10 @@ On note~$\tau$ la variable aléatoire correspondant au numéro du premier jour o
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\q Calculer, en fonction de $n$ et $p$, l’espérance de $\tau$ :
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\begin{enumerate}
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\item Si chaque lutin est ami avec tous les autres;
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\item Si les lutin sont numérotés de $1$ à $n$, et que chaque lutin $\ell_k$ a deux amis : les lutins $\ell_{k-1}$ et $\ell_{k+1}$ (les lutins $\ell_1$ et $\ell_n$ sont également amis).
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\item Si $n$ est pair et la population des lutins est séparée en deux clans de taille $n/2$, tels qu'un lutin d'un clan est ami avec tous les lutins de l'autre clan, et seulement avec ceux-là. Pour cette question, déterminer également, à $p$ fixé, la limite de l’espérance de $\tau$ quand $n \to \infty$ ;
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||||
\item Si les lutins sont numérotés de $1$ à $n$, et que chaque lutin $\ell_k$ a deux amis : les lutins $\ell_{k-1}$ et $\ell_{k+1}$ (les lutins $\ell_1$ et $\ell_n$ sont également amis).
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\item Si $n$ est pair et la population des lutins est séparée en deux clans de taille $n/2$, tels que chaque lutin d'un clan est ami avec tous les lutins de l'autre clan, et seulement avec ceux-là. Pour cette question, déterminer également, à $p$ fixé, la limite de l’espérance de $\tau$ quand $n \to \infty$ ;
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\item Si $M$ est le pays décrit dans la question 1 (ici, le résultat peut dépendre de $a$, $b$ et du lutin de départ).
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\end{enumerate}
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\q On fixe $p \in ]0,1]$, $n \ge 3$ et $k \ge n-1$.
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On considère les pays des Merveilles $M$ avec $n$ lutins, $k$ paires d'amis, et tels que, pour tous lutins $\ell$ et $\ell'$, il existe une chaîne d'amitié qui les relie.
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Parmi ces pays, que peut valoir, au maximum, l’espérance de $\tau$:
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@ -1,8 +1,9 @@
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\section{Le poids des graphes}
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\section{Taxes routières}
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Alexandra et Guillaume s'intéressent aux graphes. Un \textbf{graphe} est un ensemble de sommets avec un ensemble d'arêtes, c'est-à-dire que certaines paires de sommets sont liées.
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Dans un pays lointain, le roi Louis XLIX-III veut taxer les routes pour maximiser ses revenus. L'Association et Syndicat des Mécontents Routiers (ASMR) essaie de réduire autant que possible les frais pour le peuple.
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Étant donné un graphe $G$ à $n$ sommets, ils numérotent les sommets de 1 à $n$. Le \textbf{poids d'une arête} est le maximum des deux nombres écrits aux sommets de l'arête. Le \textbf{poids d'une numérotation} est la somme de tous les poids des arêtes. Figure \ref{Fig1} montre deux exemples.
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Dans ce pays, il y a $n$ villes ($n\in \mathbb{N}^*$). Certaines villes sont reliées par une route, formant ainsi le \emph{système routier}. Le système des taxes est le suivant : toutes les villes se voient attribuer un numéro de 1 à $n$ (chaque numéro est utilisé exactement une fois). La \emph{taxe} à payer pour une route reliant une ville de numéro $i$ à une ville de numéro $j$ est le maximum entre $i$ et $j$.
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Le \emph{coût total} du système routier est la somme de toutes les taxes à payer pour chacune des routes. Ce coût total dépend de la manière de numéroter les villes. La Figure \ref{Fig1} montre deux exemples.
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\begin{figure}[!ht]
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\centering
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@ -37,11 +38,11 @@ Alexandra et Guillaume s'intéressent aux graphes. Un \textbf{graphe} est un ens
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\draw (1.6,1.6) node {1};
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\end{scope}
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\end{tikzpicture}
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\caption{À gauche, un exemple de poids 12. À droite un exemple de poids 14.}\label{Fig1}
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\caption{À gauche, un exemple de coût total 12. À droite un exemple de coût total 14.}\label{Fig1}
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\end{figure}
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\q Quelle est la valeur maximale et minimale du poids pour le graphe du carré, illustré dans la Figure \ref{Fig2} ?
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\q Quelle est la valeur maximale et minimale du coût total s'il y a 4 villes formant un carré, illustré dans la Figure \ref{Fig2} ?
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\begin{figure}[!ht]
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\centering
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@ -55,18 +56,18 @@ Alexandra et Guillaume s'intéressent aux graphes. Un \textbf{graphe} est un ens
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\draw[fill=white] (0,1.6) circle (0.35);
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\draw[fill=white] (1.6,1.6) circle (0.35);
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\end{tikzpicture}
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\caption{Le graphe du carré.}\label{Fig2}
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\caption{Le système routier carré.}\label{Fig2}
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\end{figure}
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\q Quelle est la valeur maximale et minimale du poids dans les cas suivants (voir aussi Figures \ref{Fig3} et \ref{Fig4}) :
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\q Quelle est la valeur maximale et minimale du coût total pour les cas suivants (voir aussi Figures \ref{Fig3} et \ref{Fig4}) ?
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\noindent\textbf{a)} le graphe complet $K_n$ à $n$ sommets (où $n\geq 2$), pour lequel toutes les paires de sommets sont reliées par une arête.
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\noindent\textbf{a)} Système routier complet : pour chaque paire de villes, il y a exactement une route.
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\noindent\textbf{b)} le graphe des paires $P_n$ avec $2n$ sommets (où $n\geq 2$), regroupés par paires.
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\noindent\textbf{b)} Système routier par paires : il y a $n=2m$ villes qui sont reliées par paires.
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\noindent\textbf{c)} le graphe $A_n$ à $n$ sommets (où $n\geq 3$), formant un anneau.
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\noindent\textbf{c)} Système routier en anneau : les $n$ villes forment un anneau avec $n\geq 3$.
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\noindent\textbf{d)} le graphe $G_n$ à $n^2$ sommets (où $n\geq 3$), formant une grille.
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\noindent\textbf{d)} Système routier en grille : il y a $n=k^2$ villes formant une grille.
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\begin{figure}[!ht]
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\centering
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@ -105,7 +106,7 @@ Alexandra et Guillaume s'intéressent aux graphes. Un \textbf{graphe} est un ens
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\draw[fill=white] (-0.8,1.39) circle (0.35);
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\end{scope}
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\end{tikzpicture}
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\caption{Les graphes $K_6$ (à gauche), $P_3$ (au milieu) et $A_6$ (à droite).}\label{Fig3}
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\caption{Système routier complet avec $n=6$ (à gauche), par paires avec $m=3$ (au milieu) et en anneau avec $n=6$ (à droite).}\label{Fig3}
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\end{figure}
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\begin{figure}[!ht]
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@ -127,22 +128,22 @@ Alexandra et Guillaume s'intéressent aux graphes. Un \textbf{graphe} est un ens
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|||
\draw[fill=white] (3.2,0) circle (0.35);
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||||
\draw[fill=white] (3.2,3.2) circle (0.35);
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||||
\end{tikzpicture}
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\caption{Le graphe $G_3$.}\label{Fig4}
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\caption{Système routier en grille avec $k=3$.}\label{Fig4}
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\end{figure}
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\q Trouver des formules ou estimations pour le poids maximal et minimal d'un graphe quelconque.
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\q Trouver des formules ou estimations pour le coût total maximal et minimal d'un système routier quelconque.
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\medskip
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Maintenant, Alexandra et Guillaume jouent au jeu suivant : étant donné un graphe à $n$ sommets, à tour de rôle ils vont attribuer un numéro entre 1 et $n$ à un sommet. Ils n'ont pas le droit de réattribuer un nombre qui a déjà été joué, et ils ne peuvent pas attribuer un nombre à un sommet qui ait déjà un numéro.
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||||
Alexandra commence. Le but pour Alexandra est d'obtenir le poids le plus grand possible, tandis que Guillaume cherche à obtenir le poids le plus petit possible.
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||||
Après moultes grèves, le roi et l'ASMR s'accordent sur la manière suivante d'attribuer les numéros aux villes : à tour de rôle ils vont attribuer un numéro entre 1 et $n$ à une ville. Ils n'ont pas le droit de réattribuer un nombre qui a déjà été utilisé, et ils ne peuvent pas attribuer un nombre à une ville qui ait déjà un numéro.
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||||
Le roi commence. Le but pour le roi est d'obtenir le coût total le plus grand possible, tandis que l'ASMR cherche à obtenir le coût total le plus petit possible.
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\q En reprenant les graphes des questions précédentes, décrire les stratégies d'Alexan\-dra et de Guillaume. Quel est le poids du graphe quand les deux jouent d'une manière optimale ?
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\q En reprenant les systèmes routiers des questions précédentes, décrire les stratégies du roi et de l'ASMR. Quel est le coût total du système routier quand les deux attribuent les numéros d'une manière optimale ? Quel est le plus grand coût que le roi peut s'assurer d'obtenir quelle que soit la manière de jouer de l'ASMR ? De même, quel est le plus petit coût que l'ASMR peut s'assurer d'obtenir quelle que soit la manière dont le roi attribue les numéros ?"
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\medskip
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Alexandra et Guillaume décident de changer la définition du poids d'une arête. Au lieu d'utiliser le maximum des deux numéros aux sommets extrémaux, ils utilisent une fonction $f$. Le poids d'une numérotation reste la somme des poids de toutes les arêtes.
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Le roi Louis XLIX-III abuse de son pouvoir pour changer la taxe sur les route. Au lieu d'utiliser le maximum des deux numéros aux villes extrémales, il utilise une fonction $f$. Le coût total du système routier reste la somme des taxes de toutes les routes.
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\q Reprendre les questions précédentes où on utilise pour la fonction $f$ le produit.
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\q Reprendre les questions précédentes où le roi utilise pour la fonction $f$ le produit des numéros.
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\q Reprendre les questions précédentes où on utilise pour la fonction $f$ le plus petit commun multiple (ppcm).
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\q Reprendre les questions précédentes où le roi utilise pour la fonction $f$ le plus petit commun multiple des numéros.
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\q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche.
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@ -1,12 +1,12 @@
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\section{Points colorés sur un cercle}
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Lucie a inventé un jeu. Les règles sont les suivantes.
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Lucie a inventé un jeu pour deux joueurs. Les règles sont les suivantes.
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Le jeu se déroule sur un cercle. Au départ, les points du cercle sont non colorés. L'un des deux adversaires est désigné pour jouer en premier. Chacun leur tour, Lucie et son adversaire jouent (c'est à dire, choisissent) un point, qui sera alors coloré en leur couleur respective : Orange pour Lucie, Bleu pour son adversaire. Lorsqu'ils jouent, il leur est interdit de choisir un point qui a déjà été coloré par l'un d'eux. Lucie convient à l'avance du \textit{nombre de coups} que la partie durera. Tous deux jouent le même nombre de coups, de sorte que le nombre de coups est un entier pair, noté $2n$. Par exemple, si le nombre de coups vaut $2n = 6$ coups, ils joueront $n=3$ coups chacun. La partie s'arrête donc lorsque les $2n$ coups sont joués.
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Le jeu se déroule sur un cercle. Au départ, les points du cercle sont non colorés. L'un des deux adversaires est désigné pour jouer en premier. Chacun leur tour, Lucie et son adversaire choisissent un point, qui sera alors coloré en leur couleur respective : Orange pour Lucie, Bleu pour son adversaire. Lorsqu'ils jouent, il leur est interdit de choisir un point qui a déjà été coloré par l'un d'eux. Lucie convient à l'avance du \textbf{nombre de coups} que la partie durera. Tous deux jouent le même nombre de coups, de sorte que le nombre de coups est un entier pair, noté $2n$. Par exemple, si le nombre de coups vaut $2n = 6$ coups, ils joueront $n=3$ coups chacun. La partie s'arrête donc lorsque les $2n$ coups sont joués.
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\medskip
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À la fin de la partie, le cercle est découpé en arcs de cercle dont les extrémités sont soit orange, soit bleu. Dans une telle configuration, un \textit{arc primitif} est un arc dont les deux extrémités sont colorées (en orange ou en bleu) et dont tous les autres points ne sont pas colorés (par exemple, le cercle tout entier, vu comme un arc de cercle, n'est jamais primitif). Les arcs primitifs dont les deux extrémités sont orange sont alors colorés en orange, et ceux dont les extrémités sont toutes deux bleues sont colorés en bleu. Le gagnant est alors celui étant parvenu à former l'arc de cercle non nécessairement primitif le plus long entièrement coloré de sa propre couleur. S'il y a égalité de tels arcs, ou s'il n'en existe aucun, la partie est déclarée nulle.
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À la fin de la partie, le cercle est découpé en arcs de cercle dont les extrémités sont soit orange, soit bleu. Dans une telle configuration, un \textbf{arc primitif} est un arc dont les deux extrémités sont colorées (en orange ou en bleue) et dont aucun autre n'est coloré (par exemple, le cercle tout entier, vu comme un arc de cercle, n'est jamais primitif). Les arcs primitifs dont les deux extrémités sont orange sont alors colorés en orange, et ceux dont les extrémités sont toutes deux bleues sont colorés en bleu. Le gagnant est alors celui étant parvenu à former l'arc de cercle non nécessairement primitif le plus long entièrement coloré de sa propre couleur. S'il y a égalité de tels arcs, ou s'il n'en existe aucun, la partie est déclarée nulle.
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\begin{figure}[h]
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\centering
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@ -39,7 +39,7 @@ Le jeu se déroule sur un cercle. Au départ, les points du cercle sont non colo
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\draw[very thick, bleuAnimath] (B2) arc[start angle=319, end angle=375, radius=1.5cm];
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\foreach \angle in {30, 300, 150} {
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\filldraw[fill=bleuAnimath] (\angle:1.5cm) circle (2pt);
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\filldraw[fill=orangeAnimath] (\angle:1.5cm) circle (2pt);
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}
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\foreach \angle in {219, 319, 15} {
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@ -76,23 +76,23 @@ Le jeu se déroule sur un cercle. Au départ, les points du cercle sont non colo
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}
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\end{scope}
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\end{tikzpicture}
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\caption{Deux fins de partie pour $2n = 6$ et une pour $2n = 10$. À gauche, il n'y a pas d'arcs colorés (pas d'arc primitif) ; la partie est donc nulle. Au centre, Lucie (en orange) gagne : elle a réussi à construire un arc de taille maximale. À droite, l'adversaire (en bleu) gagne car il a formé un arc (non primitif) bleu de taille maximale.}
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\caption{Deux fins de partie pour $2n = 6$ et une pour $2n = 10$. À gauche, il n'y a pas d'arcs colorés; la partie est donc nulle. Au centre, Lucie (en orange) gagne : elle a réussi à construire un arc de taille maximale. À droite, l'adversaire (en bleu) gagne car il a formé un arc (non primitif) bleu de taille maximale.}
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\label{fig:Exemple}
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\end{figure}
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Dans tout le problème, on appelle \textit{stratégie} une manière déterministe de décrire quoi jouer en fonction des coups qui ont été joués précédemment. Autrement dit, une stratégie est un algorithme qui indique quel coup jouer en fonction de la situation courante, de sorte que, dans deux situations identiques, il indiquera toujours le même coup à jouer.
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Dans tout le problème, on appelle \textbf{stratégie} une manière déterministe de décrire quoi jouer en fonction des coups qui ont été joués précédemment. Autrement dit, une stratégie est un algorithme qui indique quel coup jouer en fonction de la situation courante, de sorte que, dans deux situations identiques, il indiquera toujours le même coup à jouer.
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Comme Lucie n'aime pas perdre, elle commence par se choisir pour adversaire l'Idiot du Village. Ce dernier portant bien son nom, il joue ses coups aléatoirement, sans réfléchir. Chaque coup joué suit alors une loi uniforme sur le cercle. Lucie cherche alors des stratégies qui maximisent sa probabilité de gagner contre cet adversaire.
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Lucie et son adversaire conviennent de commencer par fixer $2n = 4$.
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\q Montrer que si Lucie laisse son adversaire jouer en premier, elle dispose d'une stratégie lui permettant de gagner à tous les coups.
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\q Est-ce que si Lucie laisse son adversaire jouer en premier, elle dispose d'une stratégie lui permettant de gagner avec certitude ?
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\q Après qu'elle ait gagné une partie, son adversaire la laisse jouer en premier.
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\q Après qu'elle gagne une partie, son adversaire la laisse jouer en premier.
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\begin{enumerate}
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\item Lucie dispose-t-elle dispose d'une stratégie lui permettant de gagner quoi qu'il advienne ?
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\item Lucie dispose-t-elle d'une stratégie lui permettant de gagner quoi qu'il advienne ?
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\item Étudier l'ensemble des $ p \in [0,1] $ tels qu'il existe une stratégie permettant à Lucie de gagner avec une probabilité exactement $p$.
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@ -104,28 +104,28 @@ Lucie et son adversaire conviennent de commencer par fixer $2n = 4$.
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\begin{enumerate}
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\item Reprendre la question précédente en étudiant dans ce nouveau contexte l'ensemble des $ p \in [0,1] $ tels qu'il existe une stratégie permettant à Lucie de gagner avec une probabilité exactement $p$. On pourra commencer par le cas $2n = 6$.
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\item Reprendre la question précédente pour $2n>4$. On pourra commencer par le cas $2n=6$.
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\item Même question pour des probabilités de ne pas perdre.
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\end{enumerate}
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Lucie propose un pacte à son adversaire. Ils conviennent d'un entier $p \geqslant n $, et les règles sont changées de sorte que l'adversaire de Lucie place $p$ points plutôt que $n$. Comme la règle du tour-par-tour est alors difficile à appliquer, ils conviennent que l'adversaire de Lucie placera tous ses points en premier. Ce dernier joue toujours aléatoirement sur le cercle, mais avant Lucie, de sorte que cette dernière a alors toute la liberté de choisir où placer ses points. Lucie a donc plus d'information que son adversaire, mais en contrepartie, ce dernier peut placer plus de points qu'elle.
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Lucie propose de changer les règles. Ils conviennent d'un entier $k$, et les règles sont changées de sorte que l'adversaire de Lucie place $k$ points plutôt que $n$. L'adversaire de Lucie placera tous ses points en premier. Ce dernier joue toujours aléatoirement sur le cercle, mais avant Lucie, de sorte que cette dernière a alors toute la liberté de choisir où placer ses points. Lucie a donc plus d'information que son adversaire, mais en contrepartie, ce dernier peut placer plus de points qu'elle.
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\q Déterminer des conditions nécessaires et suffisantes sur $n,p$ pour que Lucie dispose d'une stratégie lui permettant de gagner avec probabilité 1.
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\q En fonction de $n$ et $k$, Lucie dispose-t-elle d'une stratégie lui permettant de gagner avec probabilité 1 ?
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\medskip
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Pour essayer, Lucie et son adversaire reprennent exactement la même configuration que la précédente, mais en échangeant les rôles. Lucie place $p$ points, son adversaire en place $n$. Ce dernier joue toujours aléatoirement, et Lucie place tous ses points en premier. De plus, cette fois-ci, on n'impose plus $ p \geqslant n $.
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Pour essayer, Lucie et son adversaire reprennent exactement la même configuration que la précédente, mais en échangeant les rôles. Lucie place $k$ points, son adversaire en place $n$. Ce dernier joue toujours aléatoirement, et Lucie place tous ses points en premier.
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\q Étudier l'existence d'une configuration de ses $p$ points maximisant sa probabilité de gagner.
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\q Étudier l'ensemble des $ p \in [0,1] $ tels qu'il existe une stratégie permettant à Lucie de gagner avec une probabilité exactement $p$.
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\medskip
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Fatiguée de jouer avec l'Idiot du Village, Lucie se trouve un adversaire à sa taille : Lucien. L'un des deux joueurs est désigné pour jouer en premier, et $ 2n \in \mathbb N^* $ est fixé. La règle du tour-par-tour est alors appliquée. Lucien commence à jouer.
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Fatiguée de jouer avec l'Idiot du Village, Lucie se trouve un adversaire à sa taille : Lucien. L'un des deux joueurs est désigné pour jouer en premier, et $ 2n \in \mathbb N$ est fixé. La règle du tour-par-tour est alors appliquée. Lucien commence à jouer.
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\q L'un des deux joueurs dispose-t-il d'une stratégie gagnante ?
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\q L'un des deux joueurs dispose-t-il d'une stratégie lui permettant de gagner à coup sûr ?
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\q Lucie se demande : que dire des questions précédentes si elle avait convenu dès le départ que le gagnant était non pas celui ayant l'arc le plus long, mais celui étant parvenu à maximiser la somme des longueurs des arcs primitifs de sa couleur ?
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\q Reprendre le problème si Lucie avait convenu dès le départ que le gagnant n'était non pas celui ayant l'arc le plus long, mais celui étant parvenu à maximiser la somme des longueurs des arcs primitifs de sa couleur.
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\q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche.
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@ -1,17 +1,17 @@
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\section{Plats à tarte gradués}
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Lors d'un tournoi de tartes, différentes familles veulent faire des découpages en parts égales.
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Chaque famille va fabriquer son propre moule à tarte sur lequel elle va indiquer des graduations qui correspondent aux endroits où il faut découper entre le centre et la graduation pour former des parts égales. C'est à dire que pour un nombre $u \in \mathbb{N}^*$, on va faire apparaître $u$ fois un trait avec le numéro $u$ indiqué sur le bord du moule à tarte formant un $u$-gone régulier inscrit dans le cercle.
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Chaque famille va fabriquer son propre moule à tarte sur lequel elle va indiquer des graduations qui correspondent aux endroits où il faut découper entre le centre et la graduation pour former des parts égales. C'est-à-dire que pour un nombre $u \in \mathbb{N}^*$, on va faire apparaître $u$ fois un trait avec le numéro $u$ indiqué sur le bord du moule à tarte formant un $u$-gone régulier inscrit dans le cercle.
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Bien sûr, un même moule doit pouvoir avoir plusieurs graduations parce que le nombre $u$ de parts de tarte qu'on voudra faire n'est pas toujours le même suivant le nombre de convives. On note alors $N$ le nombre de numéros de graduations différentes qu'on veut faire apparaître et $S=\{u_1,\cdots,u_n\}$ l'ensemble des numéros qu'on veut faire apparaître.
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Bien sûr, un même moule doit pouvoir avoir plusieurs graduations parce que le nombre $u$ de parts de tarte qu'on voudra faire n'est pas toujours le même suivant le nombre de convives. On note alors $N \geq 2$ le nombre de numéros de graduations différentes qu'on veut faire apparaître et $S=\{u_1,\cdots,u_N\}$ l'ensemble des numéros qu'on veut faire apparaître.
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On peut identifier le moule à tarte à un cercle (car on ne veut faire que des tartes rondes) et les graduations à des points de ce cercle.
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Par exemple, le plat à tarte de graduations $S=\{1,2,3,4,6\}$ peut être gradué en
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Par exemple, pour $S=\{1,2,3,4,6\}$, il est possible d'utiliser 10 graduations, avec au plus 2 au même endroit, comme illustré par la figure suivante.
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\definecolor{ffxfqq}{rgb}{1,0.5,0}
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\definecolor{qqqqff}{rgb}{0,0,1}
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\begin{figure}[ht]\label{Tarte2346}
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\begin{figure}[ht]
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\vspace{-2em}
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm]
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@ -71,6 +71,7 @@ Par exemple, le plat à tarte de graduations $S=\{1,2,3,4,6\}$ peut être gradu
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\vspace{-5em}
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\label{Tarte2346}
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\caption{Cercle en bleu, le bord du plat à tarte et ses graduations\\En noir, les endroits où il faudra couper en fonction du nombre de parts\\En orange, les $u$-gones réguliers pour placer les graduations.}
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\end{figure}
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@ -78,21 +79,20 @@ Il y a donc $10$ graduations sur le plat à tarte
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% de la Figure~\ref{Tarte2346}
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avec au plus $2$ au même endroit sur cet exemple.
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\q On veut $N=2$ graduations, c'est-à-dire que $S=\{a,b\}$ avec $a,b \in \mathbb{N}^*$ distincts. Quel est le nombre minimal de graduations à mettre sur le plat à tarte afin d'être capable de couper la tarte à la fois en $a$ parts égales ou $b$ parts égales?
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\q Soit $a$ et $b$ deux entiers naturels distincts. On prend $N=2$, $u_1 = a$ et $u_2 = b$ de sorte que $S = \{a,b\}$. Quel est le nombre minimal de graduations à mettre sur le moule à tarte afin d'être capable de couper la tarte à la fois en $a$ parts égales ou en $b$ parts égales?
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\q On veut maintenant $N=3$ graduations, c'est-à-dire que $S=\{a,b,c\}$ avec $a,b,c \in \mathbb{N}^*$ deux à deux distincts. Quel est le nombre minimal de graduation à mettre sur le plat à tarte afin d'être capable de couper la tarte à la fois en $a$ parts égales, $b$ parts égales ou $c$ parts égales?
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\q On veut maintenant $N=3$ graduations, c'est-à-dire que $S=\{a,b,c\}$ avec $a,b,c \in \mathbb{N}^*$ deux à deux distincts. Quel est le nombre minimal de graduations à mettre sur le plat à tarte afin d'être capable de couper la tarte à la fois en $a$ parts égales, $b$ parts égales ou $c$ parts égales?
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%\q Par manque de place, on veut mettre au plus deux fois la même graduation en un point donné. Quelle est alors le nombre minimal de graduations à mettre sur le plat à tarte pour permettre les découpages $S =\{a,b,c\}$?
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Désormais, il y a différentes familles qui s'affrontent dans un tournoi de graduations de moules à tarte. Chacun famille doit choisir $N$ valeurs distinctes à graduer $S =\{u_1,\dots,u_N\}$.
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Désormais, il y a différentes familles qui s'affrontent dans un tournoi de graduations de moules à tarte. Chaque famille doit choisir $N$ valeurs distinctes à graduer $S =\{u_1,\dots,u_N\}$.
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\begin{itemize}
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\item La famille \textbf{Première} choisit de graduer les $N$ premiers nombres premiers, soit $S^{p}_N = \{p_1,p_2,\cdots,p_N\}$.
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\item La famille \textbf{Géométrique} choisit un entier $a \geqslant 2$ et de graduer les puissances de $a$, soit $S^g_N = \{1,a,a^2,\cdots,a^{N-1}\} $.
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\item La famille \textbf{Complète} choisit de graduer les $N$ premiers nombres entiers naturels, soit $S^c_N = \{1,2,\cdots,N\}$.
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\item La famille \textbf{Divisée} choisit le plus petit entier $\alpha_N$ qui admet exactement $N$ diviseurs $\delta_{1,\alpha_N}, \dots, \delta_{N,\alpha_N}$ et choisit de graduer les $N$ diviseurs de $\alpha_N$, soit $S^d_N = \{\delta_{1,\alpha_N},\cdots,\delta_{N,\alpha_N}\}$.
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\item La famille \textbf{Divisée} choisit le plus petit entier $\alpha_N$ qui admet exactement $N$ diviseurs $d_{1,\alpha_N}, \dots, d_{N,\alpha_N}$ et choisit de graduer les $N$ diviseurs de $\alpha_N$, soit $S^d_N = \{d_{1,\alpha_N},\cdots,d_{N,d_N}\}$.
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\end{itemize}
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Par exemple, si $N=6$, on a:
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@ -103,7 +103,7 @@ Par exemple, si $N=6$, on a:
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\item $S^d_6 = \{1,2,3,4,6,12\}$ car $\alpha_6 = 12$.
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\end{itemize}
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\q Les familles choisissent qu'il existe un point d'origine du cercle sur lequelle toutes les graduations de apparaissent. La famille Première (resp. Géométrique, Complète, Divisée) compte alors le nombre de graduations $G^p_N$ (resp.~$G^g_N$, $G^c_N$, $G^d_N$) qui apparaissent sur tout le tour du plat à tarte avec les nombres de $S^p_N$ (resp. $S^g_N$, $S^c_N$, $S^d_N$). Combien y aura-t-il alors de graduations:
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\q Les familles choisissent un point initial sur le cercle sur lequel toutes les graduations apparaissent. La famille Première (resp. Géométrique, Complète, Divisée) compte alors le nombre de graduations $G^p_N$ (resp.~$G^g_N$, $G^c_N$, $G^d_N$) qui apparaissent sur tout le tour du plat à tarte avec les nombres de $S^p_N$ (resp. $S^g_N$, $S^c_N$, $S^d_N$). Combien y aura-t-il alors de graduations:
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a) $G^p_N$ pour la famille Première;
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@ -111,15 +111,15 @@ b) $G^g_N$ pour la famille Géométrique;
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c) $G^c_N$ pour la famille Complète;
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d) $G^d_N$ pour la famille Divisée.
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d) $G^d_N$ pour la famille Divisée ?
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% en fonction des éléments de $S_N^p$ (resp. $S^g_N, S^c_N, S^d_N$).
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Donner une valeur exacte ou un encadrement aussi précis que possible des valeurs $G^*_N$ pour ces quatre familles.
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Donner une valeur exacte ou un encadrement aussi précis que possible de ces valeurs pour les quatre familles.
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\medskip
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Les épaisseurs des traits de graduation posent des problèmes de lecture. Les familles veulent donc mettre le moins possible de graduations sur le plat à tartes. Elles se demandent si toutes les faire démarrer à la même origine est vraiment le plus efficace.
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Les familles cherchent à mettre le moins possible de graduations sur le plat à tarte. Elles se demandent si toutes les faire démarrer à la même origine est vraiment le plus efficace.
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\q Peut-on trouver un exemple d'une famille $S_N^u = \{u_1,\cdots,u_N\}$ pour lequel il est possible de faire mieux quand les graduations ne démarrent pas toutes au même endroit
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@ -127,7 +127,7 @@ a) si $N=3$?
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b) si $N=4$?
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c) pour un $N$ assez grand?
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c) pour une autre valeur de $N$ ?
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d) Dans ce cas, estimer aussi précisément que possible le nombre $\widehat{G}^u_N$ de graduations qu'on peut mettre en fonction de $N$ et de $S=\{u_1,\dots,u_N\}$.
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@ -135,7 +135,7 @@ d) Dans ce cas, estimer aussi précisément que possible le nombre $\widehat{G}^
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\q Lorsque ce minimum est atteint, pour chacune des quatre familles précédemment décrite, combien doit-on mettre de graduations au même endroit au minimum?
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\q Existe-t-il un entier $N$ tel que pour $n > N$, l'ordre entre les nombres optimaux de graduations que peuvent mettre les quatre familles $\widehat{G}^p_n, \widehat{G}^g_n, \widehat{G}^c_n, \widehat{G}^d_n$ fini par être toujours le même. Si oui, quel est cet ordre?
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\q Existe-t-il un entier $N$ tel que pour $n > N$, l'ordre entre les nombres optimaux de graduations que peuvent mettre les quatre familles $\widehat{G}^p_n, \widehat{G}^g_n, \widehat{G}^c_n, \widehat{G}^d_n$ finit par être toujours le même. Si oui, quel est cet ordre?
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\q Existe-t-il une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ telle que pour tout $N \in \mathbb{N}^*$, on a $\widehat{G}_N^u \leqslant \min(\widehat{G}^p_N,\widehat{G}^g_N,\widehat{G}^c_N,\widehat{G}^d_N)$?
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@ -1,6 +1,6 @@
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\section{Drôles de toboggans}
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Dans un centre de loisirs, la direction a confié à l’ingénieure Emmy la construction d'une haute tuyauterie de toboggans de hauteur $H\in\N$ mètres. En haut, ses tuyaux présentent $N$ entrées alignées et numérotées de $1$ à $N$, de même qu’en bas il y a $N$ sorties alignées et numérotées de $1$ à $N$.
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Dans un centre de loisirs aquatique, la direction a confié à l’ingénieure Emmy la construction d'une haute tuyauterie de toboggans de hauteur $H\in\N$ mètres. En haut, ses tuyaux présentent $N \geq 2$ entrées alignées et numérotées de $1$ à $N$ de même qu’en bas il y a $N$ sorties alignées et numérotées de $1$ à $N$.
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Pour que ce soit plus amusant, Emmy dispose des tuyaux suivants:
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\begin{itemize}
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\item des tuyaux droits, qu'on nommera \emph{tuyaux de type \( I \)}, tels que ce qui rentre en position $K$ sort également en position~$K$ ;
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@ -78,22 +78,20 @@ On trouvera un exemple sur la figure~\ref{fig:ToboggansSansY}.
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\medskip
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\q Emmy souhaite que de l'eau sorte par toutes les sorties en même temps. Pour quelle(s) valeur(s) de $N$ et $H$ cela est-il possible si
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\q Emmy voudrait qu’il sorte de l’eau de tous les toboggans. Pour quelles valeurs de $N$ et $H$ est-il possible de construire des toboggans qui font sortir de l’eau par toutes les sorties si
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\begin{enumerate}
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\item toute l'eau rentre dans un seul tuyau, et Emmy peut choisir lequel ;
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\item toute l'eau rentre dans un seul tuyau, et Emmy peut choisir dans lequel ;
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\item elle fait rentrer la même quantité d’eau dans tous les tuyaux ;
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\item l’eau rentre dans le tuyau en position 1 ;
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\item toute l’eau rentre dans le tuyau 1 ;
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\item $1/2$ litre d’eau rentre dans le tuyau 1 et $1/2$ litre d’eau rentre dans le tuyau $N$.
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%\item %on fait rentrer n’importe quelle quantité d’eau n’importe où (somme égale à $2^H$ litres d’eau) et la sortie est la même quoi qu’on fasse.
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%l'eau peut être répartie de façon arbitraire entre les entrées, et la sortie ne dépend pas du choix de la répartition.
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\end{enumerate}
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\q Pour que le spectacle soit grandiose, Emmy voudrait qu’il sorte la même quantité d’eau de tous les toboggans. Pour quelles valeurs de $N$ et $H$ est-il possible de construire des toboggans qui font sortir la même quantité d’eau par toutes les sorties si
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\q Pour que le spectacle soit grandiose, Emmy voudrait qu’il sorte la même quantité d’eau de tous les toboggans, et ce par toutes les sorties. Pour quelles valeurs de $N$ et $H$ est-il possible de construire des toboggans qui font sortir la même quantité d’eau par toutes les sorties si
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\begin{enumerate}
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\item l’eau rentre dans le tuyau 1 ;
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\item la répartition de l'eau est arbitraire, et la construction du toboggan est indépendante de la répartition. Plus précisément, Emmy souhaite construire une tuyauterie de toboggans telle que, pour tout choix de répartition de l'eau en entrée, la tuyauterie fasse sortir la même quantité d'eau par toutes les sorties.
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\item la répartition de l'eau est arbitraire, et la construction du toboggan est indépendante de la répartition. Autrement dit, Emmy souhaite construire une tuyauterie de toboggans telle que, pour tout choix de répartition de l'eau en entrée, la tuyauterie fasse sortir la même quantité d'eau par toutes les sorties.
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\end{enumerate}
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@ -118,7 +116,7 @@ On trouvera un exemple sur la figure~\ref{fig:ToboggansSansY}.
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\q Emmy s'aperçoit que, si les spectateurs sont placés trop loin, ceux-ci ne peuvent pas distinguer deux spectacles qui diffèrent par une quantité d'eau suffisamment petite.
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Plus précisément, étant donné un \( \varepsilon > 0 \) fixé, on dit qu'Emmy réalise le spectacle $(x_1, ..., x_N)$ \emph{en apparence} lorsque la quantité d'eau $(y_1, ..., y_N)$ qui sort effectivement des tuyaux vérifie \( \lvert x_i - y_i \rvert \leq \varepsilon \) pour tout \( i \in \{1,\dotsc,N \} \).
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On suppose toujours que Emmy fait rentrer toute l'eau dans le tuyau 1.
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On suppose toujours qu'Emmy fait rentrer toute l'eau dans le tuyau 1.
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\begin{enumerate}
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\item En fonction de \( \varepsilon > 0 \) et \( N \), quels spectacles Emmy peut-elle réaliser en apparence, si elle peut choisir $H$ comme elle le souhaite ?
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\item Reprendre le point a) si on fixe également $H$.
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@ -126,7 +124,7 @@ On suppose toujours que Emmy fait rentrer toute l'eau dans le tuyau 1.
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\q Le collègue d'Emmy est de retour pour l'ennuyer, mais cette fois-ci, Emmy dispose de nouveaux tuyaux pour l'aider.
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\q Le collègue d'Emmy est de retour pour l'ennuyer. Là encore, il prévoit de mélanger les entrées juste avant le spectacle, mais cette fois-ci, Emmy dispose de nouveaux tuyaux pour l'aider.
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Plus précisément, elle dispose de tuyaux en $Y$ à gauche, dits de type \( \mathcal{Y} \) (respectivement à droite, dits de type \reflectbox{\(\mathcal{Y}\)}\footnote{Si vous utilisez \LaTeX, ce symbole peut s'obtenir en composant \texttt{\textbackslash reflectbox\{\$\textbackslash mathcal\{Y\}\$\}}, la commande \texttt{reflectbox} donnant l'image miroir de son argument.}), qui rassemblent l'eau rentrant en position \( K \) et \( K+1 \) pour la faire ressortir entièrement en \( K \) (respectivement en \( K+1 \)).
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On trouvera une illustration à la figure~\ref{fig:ToboggansAvecY}.
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Combien de spectacles Emmy peut-elle réaliser (de façon exacte) dans ces conditions, en fonction de \( N \) et \( H \) ?
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