From 30420fdd82f60e2b207867946995a6c553d7388f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alexander_Thomas <alexander.thomas@ens-lyon.fr>
Date: Mon, 9 Dec 2024 19:52:57 +0100
Subject: [PATCH] Actualiser fiches/inegalites-graphe-fiche.tex
MIME-Version: 1.0
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Première version.
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 fiches/inegalites-graphe-fiche.tex | 17 +++++++++++++++--
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 \section*{Eléments de réponse} 
 
-\q (Facile) Première réponse
+\q (Facile) Le maximum vaut 25 et le minimum vaut 21. Modulo symétries, il n'y a que 3 possibilités.
 
-\q (Moyen) Deuxieme réponse
+\q (Moyen) Pour le graphe complet $K_n$, toutes les numérotations ont le même poids. Ce poids vaut $\sum_{1\leq i\leq j\leq n} ij = \frac{1}{24}n(n-1)(n+1)(3n+2)$.
+
+\q (Moyen) Pour le graphe des pairs $P_n$, c'est l'inégalité du réordonnement qui conclut.
+
+\q (Moyen/Difficile) Pour l'anneau, on peut judicieusement utiliser l'inégalité du réordonnement. 
+Premier lemme : pour le poids maximal, les deux chemins entre 1 et $n$ sont formés de nombres croissants. Sinon un échange rend le poids meilleur.
+Deuxième lemme : pour le poids maximal, chaque découpage de l'anneau en deux chaînes d'extremités $a, b$ et $c, d$ vérifie: si $a<b$ alors $c<d$ (si $a$ et $c$ sont collés).
+Le deuxième lemme permet de conclure que le max est atteint par la numérotation où les des suites entre 1 et $n$ sont $1,2,4,6,8,..., n$ et $1,3,5,7,...,n$.
+La valeur du poids maximal se calcule. Si $n=2k$ est pair, le poids maximal vaut $\frac{4}{3}k(2k^2+1)+2k^2-5k+3$.
+Un raisonnement similaire montre que le minimum est atteint par $n,1,n-1,3,n-3,...$ et $n,2,n-2,4,n-4,...$.
+
+\q (Difficile) Pour la grille, on peut probablement tout démontrer.
+
+\q (Ouvert) Cas général ? Bornes ?
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