Actualiser src/inegalites-graphe.tex

Max d'abord, puis le produit.

src/inegalites-graphe.tex

@@ -2,7 +2,7 @@
 
 Alexandra et Guillaume s'intéressent aux graphes. Un \textbf{graphe} est un ensemble de sommets avec un ensemble d'arêtes, c'est-à-dire que certains pairs de sommets sont liées.
 
-Étant donné un graphe $G$ à $n$ sommets, ils numérotent les sommets de 1 à $n$. Le \textbf{poids d'une arête} est le produit des deux nombres écrits aux sommets de l'arête. Le \textbf{poids d'une numérotation} est la somme de tous les poids des arêtes. Figure \ref{Fig1} montre deux exemples. 
+Étant donné un graphe $G$ à $n$ sommets, ils numérotent les sommets de 1 à $n$. Le \textbf{poids d'une arête} est le maximum des deux nombres écrits aux sommets de l'arête. Le \textbf{poids d'une numérotation} est la somme de tous les poids des arêtes. Figure \ref{Fig1} montre deux exemples. 
 
 \begin{figure}[!ht]
 \centering
@@ -37,7 +37,7 @@ Alexandra et Guillaume s'intéressent aux graphes. Un \textbf{graphe} est un ens
 \draw (1.6,1.6) node {1};
 \end{scope}
 \end{tikzpicture}
-\caption{A gauche, un exemple de poids 19. A droite un exemple de poids 29.}\label{Fig1}
+\caption{A gauche, un exemple de poids 12. A droite un exemple de poids 14.}\label{Fig1}
 \end{figure}
 
 
@@ -58,14 +58,16 @@ Alexandra et Guillaume s'intéressent aux graphes. Un \textbf{graphe} est un ens
 \caption{Le graphe du carré.}\label{Fig2}
 \end{figure}
 
-\q Quelle est la valeur maximale et minimale du poids dans les cas suivants (voir aussi Figure \ref{Fig3}) :
+\q Quelle est la valeur maximale et minimale du poids dans les cas suivants (voir aussi Figures \ref{Fig3} et \ref{Fig4}) :
 
-\noindent\textbf{a)} le graphe complet $K_n$ (où $n\geq 2$), où toutes les pairs de sommets sont reliées par une arête.
+\noindent\textbf{a)} le graphe complet $K_n$ à $n$ sommets (où $n\geq 2$), pour lequel toutes les pairs de sommets sont reliées par une arête.
 
 \noindent\textbf{b)} le graphe des pairs $P_n$ avec $2n$ sommets (où $n\geq 2$), regroupés par pairs.
 
 \noindent\textbf{c)} le graphe $A_n$ à $n$ sommets (où $n\geq 3$), formant un anneau.
 
+\noindent\textbf{d)} le graphe $G_n$ à $n^2$ sommets (où $n\geq 3$), formant une grille.
+
 \begin{figure}[!ht]
 \centering
 \begin{tikzpicture}
@@ -106,8 +108,6 @@ Alexandra et Guillaume s'intéressent aux graphes. Un \textbf{graphe} est un ens
 \caption{Les graphes $K_6$ (à gauche), $P_3$ (au milieu) et $A_6$ (à droite).}\label{Fig3}
 \end{figure}
 
-\q Que se passe-t-il pour le graphe $G_n$ à $n^2$ sommets (où $n\geq 2$), formant une grille d'un carré de côté $n$ (voir Figure \ref{Fig4}) ?
-
 \begin{figure}[!ht]
 \centering
 \begin{tikzpicture}
@@ -139,11 +139,9 @@ Le but pour Alexandra est d'obtenir le poids le plus petit possible, tandis que
 \q En reprenant les graphes des questions précédentes, décrire les stratégies d'Alexandra et de Guillaume. Quel est le poids du graphe quand les deux jouent d'une manière optimale ?
 
 \medskip
-Alexandra et Guillaume décident de changer la définition du poids d'une arête. Au lieu d'utiliser le produit des deux numéros aux sommets extrémaux, ils utilisent une fonction $f$. Le poids d'une numérotation reste la somme des poids de toutes les arêtes.
+Alexandra et Guillaume décident de changer la définition du poids d'une arête. Au lieu d'utiliser le maximum des deux numéros aux sommets extrémaux, ils utilisent une fonction $f$. Le poids d'une numérotation reste la somme des poids de toutes les arêtes.
 
-\q Reprendre les questions précédentes où on utilise pour la fonction $f$ le maximum.
+\q Reprendre les questions précédentes où on utilise pour la fonction $f$ le produit.
-
-\q Reprendre les questions précédentes où on utilise pour la fonction $f$ le plus grand commun diviseur (pgcd).
 
 \q Reprendre les questions précédentes où on utilise pour la fonction $f$ le plus petit commun multiple (ppcm).