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Diminution de la difficultés de certaines questions avec des arguments simples

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Comme $ \theta $ est d'espérance $ \frac \pi 2 $, l'espérance vaut $ 1 - \frac{\pi/2}{2\pi} $, c'est à dire 3/4.
\textbf{Moyen/Difficile :} On a $]0, \frac 1 4 ] \subset S$
\textbf{Moyen :} Par continuité, on en déduit $]0, \frac 3 4 ] \subset S$
Démonstration :
Plus de détails :
Soit $\alpha \in ]0,1[$. Si $\theta$ désigne toujours l'angle aigu formé entre le premier point placé (par Lucie) et le second (par l'adversaire), Lucie joue le point situé à l'angle $ 2\pi - \alpha \theta $ dans le même repère.
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\textbf{Ouvert :} La détermination de l'ensemble complet. Notamment, trouver la borne supérieure de $S$ et établir des inclusions réciproques à celles établies ci-dessus a l'air assez difficile.
\item (Facile/Moyen/Difficile/Ouvert) La difficulté est la même que la question précédente mais toute la combinatoire change (Facile : trouver quelques petits résultats partiels, Moyen : Trouver des résultats partiels assez forts, Difficile : Aller très loin, Ouvert : Déterminer l'ensemble complet)
Les raisonnements sont différents, la combinatoire change, mais on peut obtenir des résultats partiels comment avant, avec les mêmes ordres de difficulté. Il y a beaucoup de possibilités.
Comme précédemment, la détermination de l'ensemble complet, en particulier de sa borne supérieure, est difficile sinon ouverte.
Un exemple :
\textbf{Moyen/Difficile :} Soit $S$ l'ensemble cherché ; on a $]\frac 1 4, \frac 1 2[ \subset S$
Démonstration :
Soit $\alpha \in ]0,1[$. Si $\theta$ désigne toujours l'angle aigu formé entre le premier point placé (par Lucie) et le second (par l'adversaire), Lucie joue le point situé à l'angle $ \alpha \theta $ dans le même repère.
\begin{figure}[h]
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{scope}[xshift=10cm]
\draw (0,0) circle (1.5cm);
\coordinate (A1) at (0:1.5cm);
\coordinate (A2) at (120:1.5cm);
\coordinate (B1) at (140:1.5cm);
\node at (0:2.5cm) {1er point};
\node at (140:1.8cm) {$ \theta $};
\node at (120:1.8cm) {$ \alpha \theta $};
% \draw[dotted] (0:5cm) -- (180:5cm);
% \draw[very thick, orangeAnimath] (A1) arc[start angle=0, end angle=140, radius=1.5cm];
% \draw[very thick, bleuAnimath] (B1) arc[start angle=180, end angle=340, radius=1.5cm];
\foreach \angle in {0, 120} {
\filldraw[fill=orangeAnimath] (\angle:1.5cm) circle (2pt); % Points sur le cercle de rayon 2 cm
}
\foreach \angle in {140} {
\filldraw[fill=bleuAnimath] (\angle:1.5cm) circle (2pt); % Points sur le cercle de rayon 2 cm
}
% \draw[dotted] (0,0) -- (B1);
% \draw[thin] (0.4,0) arc[start angle=0, end angle=140, radius=0.4cm];
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{figure}
En se repérant toujours dans le même repère, l'évènement \og ne pas perdre \fg revient clairement à \og l'adversaire joue un point dont l'angle (dans le même repère) est dans $[0,\theta + \alpha \theta]$\fg.
La probabilité associée est $ \frac{\theta + \alpha \theta}{2\pi} $, l'espérance vaut $(1+\alpha)/4$, qui décrit $]\frac 1 4, \frac 1 2[$ quand $\alpha$ décrit $]0,1[$.
\end{enumerate}
\item (Assez facile :) On peut faire 1 en jouant à l'opposé du point de départ, donc tout l'intervalle $[0,1]$ par continuité.
\q (Difficile/Ouvert) On peut établir des résultats partiels, mais c'est plus difficile parce qu'on a beaucoup plus de mal à voir les choses vu que $n \geqslant 3$ tours sont joués. On peut trouver des intervalles inclus dans les ensembles recherchés en considérant certaines stratégies dépendant d'un paramètre qu'on fait varier, les inclusions réciproques étant plus difficiles, et la détermination complète de l'ensemble ouverte.