From 4df7210ec809832cbe0af3716582c898a7606d92 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Nicolas Date: Tue, 17 Dec 2024 10:46:13 +0100 Subject: [PATCH] Corrections gentillesse Correction de la figure. Nombreux ajustements de formulation. --- src/gentillesse.tex | 66 ++++++++++++++++++++++++--------------------- 1 file changed, 35 insertions(+), 31 deletions(-) diff --git a/src/gentillesse.tex b/src/gentillesse.tex index 63cede7..41d4191 100644 --- a/src/gentillesse.tex +++ b/src/gentillesse.tex @@ -9,7 +9,7 @@ En partant d'un lutin $\ell$ donné, on dit qu'un nombre $j \in N$ est \emph{ré Par ailleurs, on dit que le nombre $\infty$ est réalisable s'il est possible qu'une situation où tous les lutins sont de bonne humeur n'arrive jamais. -Par exemple, si on suppose que chaque lutin peut sourire à n'importe lequel de ses voisins, que le pays des Merveilles $M$ est constitué de $3$ lutins, où un lutin est ami aux deux autres, et qu'on part du lutin ami aux deux autres, alors tous les nombres entiers supérieurs ou égaux à 2 sont réalisables. Voir Figure \ref{fig:lutins}. +Par exemple, si on suppose que chaque lutin sourit à exactement 1 de ses amis (n'importe lequel), que le pays des Merveilles $M$ est constitué de $3$ lutins, où un lutin est ami aux deux autres, et qu'on part du lutin ami aux deux autres, alors tous les nombres entiers supérieurs ou égaux à 2 sont réalisables. Voir Figure \ref{fig:lutins}. \begin{figure} \centering @@ -22,9 +22,12 @@ Par exemple, si on suppose que chaque lutin peut sourire à n'importe lequel de % Les arêtes \draw (A) -- (B); \draw (B) -- (C); + + % Les propagations + \draw[-stealth] (B) edge[bend right] node [left] {} (A); - \node at (6, 0) {\Large Jour 1}; -\end{tikzpicture} + \node at (6, 0) {\Large Jour 0}; +\end{tikzpicture} \begin{tikzpicture} % Les nœuds avec des sourires @@ -35,6 +38,27 @@ Par exemple, si on suppose que chaque lutin peut sourire à n'importe lequel de % Les arêtes \draw (A) -- (B); \draw (B) -- (C); + + % Les propagations + \draw[-stealth] (B) edge[bend right] node [left] {} (A); + \draw[-stealth] (A) edge[bend right] node [left] {} (B); + + \node at (6, 0) {\Large Jour 1}; +\end{tikzpicture} + +\begin{tikzpicture} + % Les nœuds avec des sourires + \node[circle, draw, fill=black] (A) at (0,0) {}; + \node[circle, draw, fill=black] (B) at (2,0) {}; + \node[circle, draw, fill=white] (C) at (4,0) {}; + + % Les arêtes + \draw (A) -- (B); + \draw (B) -- (C); + + % Les propagations + \draw[-stealth] (B) edge[bend left] node [left] {} (C); + \draw[-stealth] (A) edge[bend right] node [left] {} (B); \node at (6, 0) {\Large Jour 2}; \end{tikzpicture} @@ -54,37 +78,20 @@ Par exemple, si on suppose que chaque lutin peut sourire à n'importe lequel de \caption{Un exemple de propagation, qui montre que le nombre 3 est réalisable. -Les cercles correspondent aux lutins, et les cercles colorés en noir correspondent aux lutins de bonne humeur.} +Les disques correspondent aux lutins, ils sont remplis pour les lutins de bonne humeur. Les flèches indiquent à quel lutin chacun sourit.} \label{fig:lutins} \end{figure} On note $A(M,\ell)$ l'ensemble des nombres réalisables. Dans l'exemple précédent, on a donc $A(M,\ell) = \{\infty,2,3,4,...\}$. - -%Au Pays des Merveilles, il y a $n$ lutins qui peuvent soit être de bonne humeur, soit être de mauvaise humeur. -%Les lutins sont numérotés de $1$ à $n$ et constituent les sommets d'un graphe $G=(V,E)$ où $V=\llbracket 1,n \rrbracket$ et $E\subset V\times V$ est l'ensemble des arêtes du graphe. On dit que deux lutins $v_1,v_2\in V$ sont \emph{amis} si $(v_1,v_2)\in E$ (on suppose que c'est équivalent à $(v_2,v_1)\in E$). -%\footnote{à définir mieux...} - -%Chaque jour, chaque lutin de bonne humeur peut faire un sourire à un ou plusieurs de ses amis. Chaque lutin qui reçoit un sourire devient de bonne humeur (et le reste s’il l’était déjà). -%Le premier jour, il n’y a qu’un seul lutin qui est de bonne humeur. - -%Une réalisation $\omega$ est une suite -%$(V_n)_{n\in\N}$ de sous-ensembles de $V$ telle que, pour tout $n\in\N$, $V_n$ corresponde à l'ensemble des lutins de bonne humeur au jour $n$. -%\footnote{ambigu? on pourrait aussi définir de façon plus formelle: Une réalisation $\omega$ est une suite croissante $(V_n)_{n\in\N}$ de sous ensembles de $V$ (c'est-à-dire, $V_0\subset V_1\subset\hdots V$) telle que $V_0=\{v\}$ et il existe $N\in\N$ tel que $V_N=V$ + condition sur les arêtes.} -%Pour une réalisation $\omega$, on appelle \emph{durée de $\omega$} et on note $\tau(\omega)$ le plus petit $N\in\N$ tel que $V_N=V$. -%Pour un graphe $G=(V,E)$ et un lutin $v\in V$, on note $A(G,v)$ l'ensemble des durées de toutes les réalisations possibles pour le graphe $G$ quand le premier lutin heureux est $v$. -%Voir Figure~\ref{} pour un exemple. - - \medskip -\q Dans un premier temps, un lutin sourit à exactement deux de ses amis, en priorité aux lutins de mauvaise humeur (c'est-à-dire qu'il ne peut pas sourire à un lutin de bonne humeur s'il ne sourit pas à tous ses amis de mauvaise humeur). Déterminer $A(M,\ell)$ (qu'on notera $A_1(M,\ell)$ pour éviter les ambiguités) si le pays des Merveilles est un réseau avec $a\in\N$ lignes et $b\in\N$ colonnes, avec $a,b \ge 2$, comme dans la Figure~\ref{fig:reseau_lutin}. On pourra distinguer les cas suivants -%On commencera par étudier le cas où (1.a) le lutin initial $\ell$ a 2 voisins (ie dans un coin); puis (1.b) le lutin initial $\ell$ a 3 voisins (ie sur un côté); avant d'étudier celui où (1.c) le lutin initial $\ell$ a 4 voisins (ie quelque-part au centre). +\q Dans un premier temps, un lutin sourit à exactement deux de ses amis, en priorité aux lutins de mauvaise humeur (c'est-à-dire qu'il ne peut pas sourire à un lutin de bonne humeur s'il ne sourit pas à tous ses amis de mauvaise humeur). Déterminer $A(M,\ell)$ (qu'on notera $A_1(M,\ell)$ pour éviter les ambiguités) si le pays des Merveilles est un réseau avec $a\in\N$ lignes et $b\in\N$ colonnes, avec $a,b \ge 2$, comme dans la Figure~\ref{fig:reseau_lutin}. On pourra distinguer les cas suivants : \begin{enumerate} -\item Si le lutin initial $\ell$ a 2 voisins (c'est-à-dire, dans un coin); -\item Si le lutin initial $\ell$ a 3 voisins (c'est-à-dire, sur un côté); -\item Si le lutin initial $\ell$ a 4 voisins (c'est-à-dire, ni sur un coin ni sur un côté). +\item Si le lutin initial $\ell$ a 2 amis (c'est-à-dire, dans un coin); +\item Si le lutin initial $\ell$ a 3 amis (c'est-à-dire, sur un côté); +\item Si le lutin initial $\ell$ a 4 amis (c'est-à-dire, ni sur un coin ni sur un côté). \end{enumerate} @@ -120,8 +127,6 @@ On note $A(M,\ell)$ l'ensemble des nombres réalisables. Dans l'exemple précéd \caption{\label{fig:reseau_lutin}Le pays des Merveilles pour la question 1, avec $a=3$ et $b=6$.} \end{figure} -%\q Question facile/moyenne à rajouter. - \q Quels sont les ensembles $E$ tels qu’il existe une disposition des lutins $M$ et un lutin de départ $\ell\in M$ tel que $A_1(M,\ell)=E$ ? \q Quels sont les ensembles $E$ tels qu’il existe une disposition des lutins $M$ telle que l'union sur tous les $\ell\in M$ de $A_1(M,\ell)$ soit égale à $E$ ? @@ -139,8 +144,8 @@ On note~$\tau$ la variable aléatoire correspondant au numéro du premier jour o \begin{enumerate} \item Si chaque lutin est ami avec tous les autres; \item Si les lutin sont numérotés de $1$ à $n$, et que chaque lutin $\ell_k$ a deux amis : les lutins $\ell_{k-1}$ et $\ell_{k+1}$ (les lutins $\ell_1$ et $\ell_n$ sont également amis). -\item Si $n$ est pair et la population des lutins est séparée en deux clans de taille $n/2$, tels qu'un lutin d'un clan est ami avec tous les lutins de l'autre clan, et seulement avec ceux-là. Pour cette question, déterminer également la limite quand $n \to \infty$, avec $p$ fixé; -\item Si $M$ est le pays décrit dans la question 1, en fonction de $a$ et $b$. +\item Si $n$ est pair et la population des lutins est séparée en deux clans de taille $n/2$, tels qu'un lutin d'un clan est ami avec tous les lutins de l'autre clan, et seulement avec ceux-là. Pour cette question, déterminer également, à $p$ fixé, la limite quand $n \to \infty$ ; +\item Si $M$ est le pays décrit dans la question 1, en fonction de $a$ et $b$ et du lutin de départ. \end{enumerate} \q On fixe $p \in ]0,1]$, $n \ge 3$ et $k \ge n-1$. @@ -155,5 +160,4 @@ Parmi ces pays, que peut valoir, au maximum, l’espérance de $\tau$: \q Reprendre la question 6. en remplaçant <<~maximum~>> par <<~minimum~>>. %\medskip -\q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche. - +\q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche. \ No newline at end of file