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Modifications bus et toboggan selon le compte-rendu

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8
fiches/descente-bus-fiche.tex
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@ -6,13 +6,13 @@ Temporaire, à vérifier et approfondir.
\q (Facile) Les bus se rattrapent toujours, quelle que soit la formule (sauf si la vitesse est constante). \q (Facile) Les bus se rattrapent toujours, quelle que soit la formule (sauf si la vitesse est constante).
\q (Relativement facile) Les bus ne se rattrapent jamais, par un argument de symétrie temporelle. \q (Relativement facile) Les bus ne se rattrapent jamais, par un argument de symétrie temporelle.
Enfin, ça c'est si chaque bus démarre quand le précédent atteint le premier arrêt. %Enfin, ça c'est si chaque bus démarre quand le précédent atteint le premier arrêt.
À voir si on veut imposer ça. %À voir si on veut imposer ça.
\q (Relativement facile) La perturbation fait toujours se rattraper les bus, si le premier en est affecté. \q (Relativement facile) La perturbation fait toujours se rattraper les bus, si le premier en est affecté.
\q (Moyen, peut-être difficile à faire entièrement et proprement) Une telle stratégie existe, cela peut se faire de façon brutale. %\q (Moyen, peut-être difficile à faire entièrement et proprement) Une telle stratégie existe, cela peut se faire de façon brutale.
Il semble clair qu'on ne peut pas avoir de gain de temps de parcours voyageur, mais il faut le prouver proprement. %Il semble clair qu'on ne peut pas avoir de gain de temps de parcours voyageur, mais il faut le prouver proprement.
\q (Difficile) Pour deux bus, la stratégie existe. Quand on commence à avoir beaucoup de bus, c'est moins clair à prouver. \q (Difficile) Pour deux bus, la stratégie existe. Quand on commence à avoir beaucoup de bus, c'est moins clair à prouver.
De nouveau, il semble raisonnable qu'on n'a pas de gain de temps de parcours, mais il faut le prouver proprement. De nouveau, il semble raisonnable qu'on n'a pas de gain de temps de parcours, mais il faut le prouver proprement.

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src/descente-bus.tex
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@ -1,10 +1,10 @@
\section{Le cauchemar de la ligne 91-06} \section{Le cauchemar de la ligne 20-25}
Dans une contrée lointaine, les conditions de trafic se sont considérablement dégradées sur la ligne de bus 91-06, qui relie une importante gare ferroviaire à la cité universitaire, au grand dam des étudiants. Dans une contrée lointaine, les conditions de trafic se sont considérablement dégradées sur la ligne de bus 20-25, qui relie une importante gare ferroviaire à la cité universitaire, au grand dam des étudiants.
On assiste notamment à des scènes spectaculaires où un bus est tellement bondé qu'il ralentit d'arrêt en arrêt, pour finir par se faire rattraper par celui qui le suit, avec parfois trois bus consécutifs se suivant à la queue leu leu. On assiste notamment à des scènes spectaculaires où un bus est tellement bondé qu'il ralentit d'arrêt en arrêt, pour finir par se faire rattraper par celui qui le suit, avec parfois trois bus consécutifs se suivant à la queue leu leu.
Face à ce problème, la société des transports TRAP a mandaté Antoine pour effectuer une analyse d'efficacité et proposer des pistes d'amélioration. Face à ce problème, la société des transports TRAP a mandaté Antoine pour effectuer une analyse d'efficacité et proposer des pistes d'amélioration.
La situation étant plutôt complexe (c'est le moins qu'on puisse dire !), Antoine décide de travailler sur un modèle simplifié. La situation étant plutôt complexe (c'est le moins qu'on puisse dire !), Antoine décide de travailler sur un modèle simplifié.
Il considère la ligne 91-06 comme une ligne droite, avec le dépôt situé en \( 0 \), puis un arrêt en chaque entier \( n \geq 1 \) (le dépôt n'est donc pas considéré comme un arrêt). Il considère la ligne 20-25 comme une ligne droite, avec le dépôt situé en \( 0 \), puis un arrêt en chaque entier \( n \geq 1 \) (le dépôt n'est donc pas considéré comme un arrêt).
Après quelques observations, il lui apparaît que les bus se déplacent à une vitesse moyenne maximale \( V_{0} \), mais que leur vitesse moyenne diminue à mesure qu'ils chargent des passagers. Après quelques observations, il lui apparaît que les bus se déplacent à une vitesse moyenne maximale \( V_{0} \), mais que leur vitesse moyenne diminue à mesure qu'ils chargent des passagers.
Antoine conjecture que la vitesse moyenne d'un bus contenant \( k \) passagers (le chauffeur ne compte pas comme un passager) est donnée par Antoine conjecture que la vitesse moyenne d'un bus contenant \( k \) passagers (le chauffeur ne compte pas comme un passager) est donnée par
\begin{equation} \begin{equation}
@ -14,25 +14,30 @@ Antoine conjecture que la vitesse moyenne d'un bus contenant \( k \) passagers (
(Antoine considère que les bus se déplacent constamment à leur vitesse moyenne, et le temps passé aux arrêts est compris dans cette vitesse moyenne. (Antoine considère que les bus se déplacent constamment à leur vitesse moyenne, et le temps passé aux arrêts est compris dans cette vitesse moyenne.
Autrement dit, il fait comme si les bus se déplaçaient constamment à vitesse \( V_{k} \), et lorsqu'ils atteignent un arrêt, ils embarquent tous les passagers qui s'y trouvent et changent de vitesse instantanément.) Autrement dit, il fait comme si les bus se déplaçaient constamment à vitesse \( V_{k} \), et lorsqu'ils atteignent un arrêt, ils embarquent tous les passagers qui s'y trouvent et changent de vitesse instantanément.)
Les bus ne peuvent pas se dépasser : lorsqu'un bus rattrape son prédécesseur, il le suit à la même vitesse que lui (y compris si cela implique de rouler à une vitesse inférieure à sa vitesse moyenne), et en arrivant à un arrêt, les passagers sont répartis équitablement entre les bus (s'il devait y avoir plus de bus que de passagers, en supposant qu'il y a \( N \) passagers, chacun des \( N \) bus les moins remplis recevrait un passager). Les bus ne peuvent pas se dépasser : lorsqu'un bus rattrape son prédécesseur, il le suit à la même vitesse que lui (y compris si cela implique de rouler à une vitesse inférieure à sa vitesse moyenne), et en arrivant à un arrêt, les passagers sont répartis équitablement entre les bus (s'il devait y avoir plus de bus que de passagers, en supposant qu'il y a \( N \) passagers, chacun des \( N \) bus les moins remplis recevrait un passager).
Par ailleurs, on suppose que les bus ont une capacité de transport infinie.
\q \q
Dans un premier temps, Antoine s'intéresse à ce qui se produit aux heures de pointe. Dans un premier temps, Antoine s'intéresse à ce qui se produit aux heures de pointe.
Il considère qu'il y a \( N \) passagers à chaque arrêt, et que ceux-ci ne se remplissent pas par la suite (ce qui correspond à dire qu'il y a tant de passagers aux arrêts que le remplissage sur la période étudiée est négligeable). Il considère qu'il y a \( N \) passagers à chaque arrêt, et que ceux-ci ne se remplissent pas par la suite (ce qui correspond à dire qu'il y a tant de passagers aux arrêts que le remplissage sur la période étudiée est négligeable).
%
\begin{enumerate} %\begin{enumerate}
\item\label{item:DeuxBusRattrapent} Deux bus quittent le dépôt, le premier au temps \( t = 0 \), le second au temps \( t = 1 \). % \item\label{item:DeuxBusRattrapent}
Deux bus quittent le dépôt, le premier au temps \( t = 0 \), le second au temps \( t = 1 \).
Finissent-ils par se rattraper ? Finissent-ils par se rattraper ?
\item Antoine se demande si cette réponse dépend de sa modélisation de la vitesse. % \item Antoine se demande si cette réponse dépend de sa modélisation de la vitesse.
Reprendre le point~\ref{item:DeuxBusRattrapent} si \( V_{k} \) peut être donnée par une expression quelconque, et non nécessairement celle en~\eqref{eq:VitesseBus}. % Reprendre le point~\ref{item:DeuxBusRattrapent} si \( V_{k} \) peut être donnée par une expression quelconque, et non nécessairement celle en~\eqref{eq:VitesseBus}.
(On supposera juste que \( V_{k} \) est décroissante en \( k \), car il est raisonnable de penser que les bus ralentissent s'ils sont davantage chargés.) % (On supposera juste que \( V_{k} \) est décroissante en \( k \), car il est raisonnable de penser que les bus ralentissent s'ils sont davantage chargés.)
\end{enumerate} %\end{enumerate}
\q \q
Antoine se demande à présent ce qui se passe lorsque la journée commence, et que les arrêts se remplissent progressivement. Antoine se demande à présent ce qui se passe lorsque la journée commence, et que les arrêts se remplissent progressivement.
Il considère donc toujours deux bus, un démarrant au temps \( t = 0 \), et un démarrant au temps \( t = 1 \). Il considère donc toujours deux bus, un démarrant au temps \( t = 0 \), et le suivant démarrant quand le premier arrive au premier arrêt.
Au temps \( t = 0 \), les arrêts sont tous vides, et se remplissent à un taux constant de \( \rho \) passagers par unité de temps. Au temps \( t = 0 \), les arrêts sont tous vides, et se remplissent à un taux constant de \( \rho \) passagers par unité de temps.
Lorsqu'un bus arrive à un arrêt, il récupère tous les passagers qui y sont arrivés depuis le passage du bus précédent, soit \( \rho \) multiplié par le temps écoulé (on permet un nombre non entier de passagers, pour simplifier la modélisation). Lorsqu'un bus arrive à un arrêt, il récupère tous les passagers qui y sont arrivés depuis le passage du bus précédent, soit \( \rho \) multiplié par le temps écoulé (on permet un nombre non entier de passagers, pour simplifier la modélisation).
Reprendre la question précédente dans ce cadre, et considérer également le cas où on fait démarrer \( m \) bus, le premier au temps \( t = 0 \), et ensuite un par unité de temps. \begin{enumerate}
\item Les deux bus finissent-ils par se rattraper ?
\item Que se passe-t-il dans le cas où on fait démarrer \( m \) bus, le premier au temps \( t = 0 \), chaque bus suivant démarrant lorsque celui qui est parti juste avant lui a atteint le premier arrêt ?
\end{enumerate}
\q \q
Antoine étant bien conscient que la modélisation qui précède ne tient pas compte des petits aléas de la circulation ou des afflux imprévus de passagers, il souhaite désormais les inclure. Antoine étant bien conscient que la modélisation qui précède ne tient pas compte des petits aléas de la circulation ou des afflux imprévus de passagers, il souhaite désormais les inclure.
@ -50,20 +55,22 @@ Toujours dans le cas de deux bus séparés d'une unité de temps, évaluer l'imp
Antoine souhaite à présent concevoir une stratégie pour retenir les bus aux heures de pointe, afin d'éviter qu'ils ne se rattrapent. Antoine souhaite à présent concevoir une stratégie pour retenir les bus aux heures de pointe, afin d'éviter qu'ils ne se rattrapent.
On suppose donc à présent que, lorsqu'ils arrivent aux arrêts (et uniquement à ce moment), les bus peuvent s'arrêter et attendre un temps arbitraire avant de repartir à leur vitesse normale. On suppose donc à présent que, lorsqu'ils arrivent aux arrêts (et uniquement à ce moment), les bus peuvent s'arrêter et attendre un temps arbitraire avant de repartir à leur vitesse normale.
Une \emph{stratégie} est une façon pour les bus de décider, en connaissance de la position de tous les bus et du nombre de passagers qu'ils transportent, du temps à attendre lorsqu'ils arrivent à un arrêt. Une \emph{stratégie} est une façon pour les bus de décider, en connaissance de la position de tous les bus et du nombre de passagers qu'ils transportent, du temps à attendre lorsqu'ils arrivent à un arrêt.
Dans le cadre de la question 1a), existe-t-il une stratégie pour retenir les bus de façon à ce que le second ne rattrape jamais le premier ? %Dans le cadre de la question 1a), existe-t-il une stratégie pour retenir les bus de façon à ce que le second ne rattrape jamais le premier ?
Le cas échéant, une telle stratégie peut-elle être choisie de façon à améliorer le temps de parcours voyageur (c'est-à-dire que certains passagers iraient de l'arrêt où ils sont montés à un arrêt ultérieur plus vite que si cette stratégie n'était pas mise en \oe uvre) ? %Le cas échéant, une telle stratégie peut-elle être choisie de façon à améliorer le temps de parcours voyageur (c'est-à-dire que certains passagers iraient de l'arrêt où ils sont montés à un arrêt ultérieur plus vite que si cette stratégie n'était pas mise en \oe uvre) ?
%
\q %\q
Antoine souhaite ajouter encore davantage de réalisme à son modèle, et tenir compte du fait que les bus font plusieurs rotations sur le même trajet. Pour ajouter davantage de réalisme à son modèle, Antoine souhaite également tenir compte du fait que les bus font plusieurs rotations sur le même trajet.
Il considère donc que la ligne se termine à l'arrêt \( n = 20 \), considéré comme le dépôt de fin de ligne. Il considère donc que la ligne se termine à l'arrêt \( n = 20 \), considéré comme le dépôt de fin de ligne.
Il n'y a aucun passager à cet arrêt, lorsqu'un bus l'atteint, il se vide de tous ses passagers, et repart dans l'autre sens. Il n'y a aucun passager à cet arrêt, lorsqu'un bus l'atteint, il se vide de tous ses passagers, et repart dans l'autre sens.
Il effectue ensuite des allers et retours sur le trajet, et à chaque fois qu'il atteint le dépôt en \( n = 0 \) ou en \( n = 20 \), il dépose tous ses passagers et repart dans l'autre sens. Il effectue ensuite des allers et retours sur le trajet, et à chaque fois qu'il atteint le dépôt en \( n = 0 \) ou en \( n = 20 \), il dépose tous ses passagers et repart dans l'autre sens.
Il considère également qu'au temps \( t = 0 \), il y a \( N \) passagers à chaque arrêt et dans chaque sens, et qu'ensuite, les arrêts continuent à se remplir à un taux de \( \rho \) passagers par unité de temps. Il considère également qu'au temps \( t = 0 \), il y a \( N \) passagers à chaque arrêt et dans chaque sens, et qu'ensuite, les arrêts continuent à se remplir à un taux de \( \rho \) passagers par unité de temps.
On suppose que deux bus circulent sur la ligne, partant tous deux du dépôt en \( n = 0 \), le premier au temps \( t = 0 \), le second au temps \( t = 1 \). On suppose que deux bus circulent sur la ligne, partant tous deux du dépôt en \( n = 0 \), le premier au temps \( t = 0 \), le second lorsque le précédent atteint le premier arrêt.
Existe-il une stratégie pour retenir les bus aux arrêts de façon à éviter qu'ils ne se rattrapent ? \begin{enumerate}
Que se passe-t-il dans le cas de \( m \) bus ? \item Existe-il une stratégie pour retenir les bus aux arrêts de façon à éviter qu'ils ne se rattrapent ?
Discuter de l'optimalité d'une éventuelle stratégie par rapport au temps de parcours voyageur. \item Que se passe-t-il dans le cas de \( m \) bus, chaque bus après le premier partant lorsque le précédent a atteint le premier arrêt ?
\end{enumerate}
Discuter de l'optimalité d'une éventuelle stratégie par rapport au temps de parcours voyageur (c’est-à-dire qu'on cherche à maximiser le temps écoulé entre l'arrivée d'un passager à un arrêt, et le moment où le bus le dépose au terminus).
\q \q
Antoine cherche à explorer une dernière idée pour améliorer le temps de parcours voyageur. Antoine cherche à explorer une dernière idée pour améliorer le temps de parcours voyageur.

2
src/toboggan.tex
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@ -80,7 +80,7 @@ On trouvera un exemple sur la figure~\ref{fig:ToboggansSansY}.
\q Emmy souhaite que de l'eau sorte par toutes les sorties en même temps. Pour quelle(s) valeur(s) de $N$ et $H$ cela est-il possible si \q Emmy souhaite que de l'eau sorte par toutes les sorties en même temps. Pour quelle(s) valeur(s) de $N$ et $H$ cela est-il possible si
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item elle peut choisir où rentre l’eau ; \item toute l'eau rentre dans un seul tuyau, et Emmy peut choisir lequel ;
\item elle fait rentrer la même quantité d’eau dans tous les tuyaux ; \item elle fait rentrer la même quantité d’eau dans tous les tuyaux ;
\item l’eau rentre dans le tuyau en position 1 ; \item l’eau rentre dans le tuyau en position 1 ;
\item $1/2$ litre d’eau rentre dans le tuyau 1 et $1/2$ litre d’eau rentre dans le tuyau $N$. \item $1/2$ litre d’eau rentre dans le tuyau 1 et $1/2$ litre d’eau rentre dans le tuyau $N$.