Complétion fiche p7

Ajout de quelques résultat quantitatifs

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@@ -2,21 +2,43 @@
 
 \q (facile) Le maximum est 14, le minimum 13. Modulo symétries, il n'y a que 3 configurations.
 
-\q a) (facile/moyen) Toutes les configurations s'équivalent. Le résultat est $N(N-1)+(N-1)(N-2)+(N-2)(N-3)+...+2*1 = (N-1)N(N+1)/3$.
+\medskip
 
-b) (facile) Le max est $2N+(2N-1)+...+(N+1)=N(3N+1)/2$. Le min est $2N+(2N-2)+(2N-4)+...+2=N(N+1)$.
+\q a) (facile/moyen) Toutes les configurations s'équivalent. Le résultat est $N(N-1)+(N-1)(N-2)+(N-2)(N-3)+...+2 \times 1 = (N-1)N(N+1)/3$.
 
-c) (moyen) Pour $N=2n$ pair, le max est $2(2n+(2n-1)+...+(n+1))=n(3n+1)$. 
+\smallskip
-Pour $N=2n+1$ impair, le max est $2(2n+1+2n+...+n+2)+n+1=(n+1)(3n+1)$.
-Le min est toujours $2*N+N-1+N-2+...+2=(N^2+3N-2)/2$.
 
-d) (moyen) ?
+b) (facile) Max : $2N+(2N-1)+...+(N+1)=N(3N+1)/2$.
 
-\q (moyen?) L'optimum semble être un algo glouton, mais pas tous les algos gloutons marchent.
+Min : $2N+(2N-2)+(2N-4)+...+2=N(N+1)$.
-Algorithme glouton pour maximiser le coût total: mettre $N$ au sommet de degré maximal, puis le retirer avec ses arêtes, puis itérer. 
-De même, algo glouton pour minimiser le coût : mettre $N$ au sommet de degré minimal, puis le retirer avec ses arêtes, puis itérer.
 
-\q (faisable?) Utiliser l'algo précédent pour trouver les stratégies.
+\smallskip
+
+c) (moyen) Max, $N=2n$ pair : $2(2n+(2n-1)+...+(n+1))=n(3n+1)$. 
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+Max, $N=2n+1$ impair : $2(2n+1+2n+...+n+2)+n+1=(n+1)(3n+1)$.
+
+Min : $2N+(N-1)+(N-2)+...+2=(N^2+3N-2)/2$.
+
+\smallskip
+
+d) (moyen à difficile) Max, $k$ pair : $\frac{3}{2}k^4 - k^3 - k^2 + 3k - 4$. 
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+Max, $k$ impair : $\frac{3}{2}k^4 - k^3 - k^2 + f(k)$. où $f(x) = \max(4k-\frac{19}{2},2k-\frac{3}{2})$
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+Min : $k^4 - \frac{2}{3}k^3 + \frac{3}{2}k^2 - \frac{11}{6}k$.
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+\medskip
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+\q (ouvert) Pour le max, tout algorithme optimal est glouton, à savoir que le sommet $n$ doit avoir un degré maximal, puis en le retirant et ses voisins le sommet $n-1$ doit avoir un degré maximal, etc. Mais ce n'est pas une condition suffisante (contre-exemple : ligne avec $n=5$).
+
+Idem pour le min (contre-exemple : $n=5$, une ligne de 2 et une ligne de 3 disjointes).
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+\medskip
+
+\q a) Facile, b) Facile c) Faisable ? (avec l'idée de la question précédente) d) Ouvert
+
+\medskip
 
 \q Question principale du problème
 
@@ -28,13 +50,15 @@ Q2b (moyen) Pour le graphe des pairs $P_n$, c'est l'inégalité du réordonnemen
 
 Q2c (moyen/difficile) Pour l'anneau, on peut judicieusement utiliser l'inégalité du réordonnement. 
 Premier lemme : pour le poids maximal, les deux chemins entre 1 et $n$ sont formés de nombres croissants. Sinon un échange rend le poids meilleur.
-Deuxième lemme : pour le poids maximal, chaque découpage de l'anneau en deux chaînes d'extremités $a, b$ et $c, d$ vérifie: si $a<b$ alors $c<d$ (si $a$ et $c$ sont collés).
+Deuxième lemme : pour le poids maximal, chaque découpage de l'anneau en deux chaînes d'extrémités $a, b$ et $c, d$ vérifie: si $a<b$ alors $c<d$ (si $a$ et $c$ sont collés).
 Le deuxième lemme permet de conclure que le max est atteint par la numérotation où les des suites entre 1 et $n$ sont $1,2,4,6,8,..., n$ et $1,3,5,7,...,n$.
-La valeur du poids maximal se calcule. Si $n=2k$ est pair, le poids maximal vaut $\frac{4}{3}k(2k^2+1)+2k^2-5k+3$.
+La valeur du poids maximal se calcule. Si $n=2k$ est pair, le poids maximal vaut $\frac{8}{3}k^3+2k^2-\frac{11}{3}k+3$.
 Un raisonnement similaire montre que le minimum est atteint par $..., n-4,4,n-2,2,n,1,n-1,3,n-3,...$.
 
 Q2d (difficile) Pour la grille, on peut probablement tout calculer.
 
 Q3 et Q4 (ouvert) Probablement on peut trouver des estimations.
 
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 \q (ouvert)