From 8351f91467aaf233bdea19e067daa368571643d3 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alexander_Thomas Date: Mon, 9 Dec 2024 19:37:34 +0100 Subject: [PATCH] Actualiser src/inegalites-graphe.tex MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit Mise du problème. --- src/inegalites-graphe.tex | 146 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++-- 1 file changed, 141 insertions(+), 5 deletions(-) diff --git a/src/inegalites-graphe.tex b/src/inegalites-graphe.tex index 77df04a..2288061 100644 --- a/src/inegalites-graphe.tex +++ b/src/inegalites-graphe.tex @@ -1,9 +1,145 @@ -\section{Titre} +\section{Inégalités graphiques} -Énoncé +Alexandra et Guillaume jouent avec des graphes. Un \textbf{graphe} est un ensemble de sommets avec un ensemble d'arêtes, c'est-à-dire que certains pairs de sommets sont liées. -\q Première question +Étant donné un graphe $G$ à $n$ sommets, ils numérotent les sommets de 1 à $n$. Le \textbf{poids d'une arête} est le produit des deux nombres écrits aux sommets de l'arête. Le \textbf{poids d'une numérotation} est la somme de tous les poids des arêtes. Figure \ref{Fig1} montre deux exemples. -\q Deuxième question +\begin{figure}[!ht] +\centering +\begin{tikzpicture} +\draw (0,0) -- (1.6,0); +\draw (0,0) -- (0,1.6); +\draw (1.6,0) -- (0,1.6); +\draw (1.6,1.6) -- (1.6,0); +\draw[fill=white] (0,0) circle (0.35); +\draw[fill=white] (1.6,0) circle (0.35); +\draw[fill=white] (0,1.6) circle (0.35); +\draw[fill=white] (1.6,1.6) circle (0.35); -\q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche. \ No newline at end of file +\draw (0,0) node {1}; +\draw (1.6,0) node {2}; +\draw (0,1.6) node {3}; +\draw (1.6,1.6) node {4}; + +\begin{scope}[xshift=4cm] +\draw (0,0) -- (1.6,0); +\draw (0,0) -- (0,1.6); +\draw (1.6,0) -- (0,1.6); +\draw (1.6,1.6) -- (1.6,0); +\draw[fill=white] (0,0) circle (0.35); +\draw[fill=white] (1.6,0) circle (0.35); +\draw[fill=white] (0,1.6) circle (0.35); +\draw[fill=white] (1.6,1.6) circle (0.35); + +\draw (0,0) node {4}; +\draw (1.6,0) node {3}; +\draw (0,1.6) node {2}; +\draw (1.6,1.6) node {1}; +\end{scope} +\end{tikzpicture} +\caption{A gauche, un exemple de poids 19. A droite un exemple de poids 29.}\label{Fig1} +\end{figure} + +Alexandra cherche les numérotations qui maximisent le poids, tandis que Guillaume cherche à le minimiser. + +\q Quelle est la valeur maximale et minimale pour le graphe du carré, illustré dans la Figure \ref{Fig2}? + +\begin{figure}[!ht] +\centering +\begin{tikzpicture} +\draw (0,0) -- (1.6,0); +\draw (0,0) -- (0,1.6); +\draw (1.6,1.6) -- (0,1.6); +\draw (1.6,1.6) -- (1.6,0); +\draw[fill=white] (0,0) circle (0.35); +\draw[fill=white] (1.6,0) circle (0.35); +\draw[fill=white] (0,1.6) circle (0.35); +\draw[fill=white] (1.6,1.6) circle (0.35); +\end{tikzpicture} +\caption{Le graphe du carré.}\label{Fig2} +\end{figure} + +\q Quelle est la valeur maximale et minimale dans les cas suivants (voir aussi Figure \ref{Fig3}) : + +\noindent\textbf{a)} le graphe complet $K_n$, où toutes les pairs de sommets sont reliées par une arête. + +\noindent\textbf{b)} le graphe des pairs $P_n$ avec $2n$ sommets, regroupés par pairs. + +\noindent\textbf{c)} le graphe $A_n$ à $n$ sommets, formant un anneau. + +\begin{figure}[!ht] +\centering +\begin{tikzpicture} +\draw (0,0) -- (1.6,0) -- (2.4,1.39) -- (1.6,2.77) -- (0,2.77) -- (-0.8,1.39) -- (0,0); +\draw (1.6,0) -- (1.6,2.77) -- (0,0) -- (0,2.77) -- (1.6,0); +\draw (-0.8,1.39) -- (2.4,1.39) -- (0,0) -- (1.6,2.77) -- (-0.8,1.39); +\draw (1.6,0)--(-0.8,1.39); +\draw (0,2.77)--(2.4,1.39); +\draw[fill=white] (0,0) circle (0.35); +\draw[fill=white] (1.6,0) circle (0.35); +\draw[fill=white] (2.4,1.39) circle (0.35); +\draw[fill=white] (1.6,2.77) circle (0.35); +\draw[fill=white] (0,2.77) circle (0.35); +\draw[fill=white] (-0.8,1.39) circle (0.35); + +\begin{scope}[xshift = 4.4cm, yshift=0.64cm] +\draw (0,0)--(0,1.6); +\draw (1.4,0) -- (1.4,1.6); +\draw (2.8,0) -- (2.8,1.6); +\draw[fill=white] (0,0) circle (0.35); +\draw[fill=white] (1.4,0) circle (0.35); +\draw[fill=white] (0,1.6) circle (0.35); +\draw[fill=white] (1.4,1.6) circle (0.35); +\draw[fill=white] (2.8,0) circle (0.35); +\draw[fill=white] (2.8,1.6) circle (0.35); +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift = 10cm] +\draw (0,0) -- (1.6,0) -- (2.4,1.39) -- (1.6,2.77) -- (0,2.77) -- (-0.8,1.39) -- (0,0); +\draw[fill=white] (0,0) circle (0.35); +\draw[fill=white] (1.6,0) circle (0.35); +\draw[fill=white] (2.4,1.39) circle (0.35); +\draw[fill=white] (1.6,2.77) circle (0.35); +\draw[fill=white] (0,2.77) circle (0.35); +\draw[fill=white] (-0.8,1.39) circle (0.35); +\end{scope} +\end{tikzpicture} +\caption{Les graphes $K_6$ (à gauche), $P_3$ (au milieu) et $A_6$ (à droite).}\label{Fig3} +\end{figure} + +\q Que se passe-t-il pour le graphe $G_n$ à $n^2$ sommets, formant une grille d'un carré de côté $n$ (voir Figure \ref{Fig4}) ? + +\begin{figure}[!ht] +\centering +\begin{tikzpicture} +\draw (0,0) -- (1.6,0) -- (3.2,0); +\draw (0,1.6) -- (1.6,0) -- (3.2,1.6); +\draw (0,3.2) -- (1.6,3.2) -- (3.2,3.2); +\draw (0,0) -- (0,1.6) -- (0,3.2); +\draw (1.6,0) -- (1.6,1.6) -- (1.6,3.2); +\draw (3.2,0) -- (3.2,1.6) -- (3.2,3.2); +\draw[fill=white] (0,0) circle (0.35); +\draw[fill=white] (1.6,0) circle (0.35); +\draw[fill=white] (0,1.6) circle (0.35); +\draw[fill=white] (1.6,1.6) circle (0.35); +\draw[fill=white] (1.6,3.2) circle (0.35); +\draw[fill=white] (3.2,1.6) circle (0.35); +\draw[fill=white] (0,3.2) circle (0.35); +\draw[fill=white] (3.2,0) circle (0.35); +\draw[fill=white] (3.2,3.2) circle (0.35); +\end{tikzpicture} +\caption{Le graphe $G_3$.}\label{Fig4} +\end{figure} + +\q Trouver des formules ou estimations pour le poids maximal et minimal d'un graphe quelconque. + +\medskip +Alexandra et Guillaume décident de changer la définition du poids d'une arête. Au lieu d'utiliser le produit des deux numéros aux sommets extrémaux, ils utilisent une fonction $f$. Le poids d'une numérotation reste la somme des poids de toutes les arêtes. + +\q Reprendre les questions précédentes où on utilise pour la fonction $f$ le maximum. + +\q Reprendre les questions précédentes où on utilise pour la fonction $f$ le plus grand commun diviseur (pgcd). + +\q Reprendre les questions précédentes où on utilise pour la fonction $f$ le plus petit commun multiple (ppcm). + +\q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche.