Actualiser src/tarte.tex

Correction suivant les remarques de la réunion du CP.

src/tarte.tex

@@ -8,9 +8,12 @@ On peut identifier le moule à tarte à un cercle (car on ne veut faire que des
 
 Par exemple, le plat à tarte de graduations $S=\{1,2,3,4,6\}$ peut être gradué en 
 
-\definecolor{ffxfqq}{rgb}{1,0.4980392156862745,0}
+\definecolor{ffxfqq}{rgb}{1,0.5,0}
 \definecolor{qqqqff}{rgb}{0,0,1}
-%\begin{figure}\label{Tarte2346}
+
+\begin{figure}[ht]\label{Tarte2346}
+\vspace{-2em}
+\begin{center}
 \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm]
 \clip(-7.1887117772063505,-5.214334927330245) rectangle (4.709645495055514,4.454700503069911);
 \fill[line width=1.2pt,dotted,color=ffxfqq,fill=ffxfqq,fill opacity=0.1] (0,3) -- (-2.5921263903390326,1.510258513138707) -- (-2.5980356128150675,-1.4794595341455998) -- (-0.011818444952069662,-2.979436094568614) -- (2.580307945386963,-1.4896946077073219) -- (2.5862171678629995,1.5000234395769845) -- cycle;
@@ -29,6 +32,8 @@ Par exemple, le plat à tarte de graduations $S=\{1,2,3,4,6\}$ peut être gradu
 \draw [line width=1.2pt,dotted,color=ffxfqq] (3,0)-- (-1.5112146539727318,2.591569074830551);
 \draw [line width=1.2pt,dotted,color=ffxfqq] (-1.5112146539727318,2.591569074830551)-- (-1.4999719814517594,-2.611041954849736);
 \draw [line width=1.2pt,dotted,color=ffxfqq] (-1.4999719814517594,-2.611041954849736)-- (3,0);
+\draw [line width=1.2pt,dotted,color=ffxfqq]
+(0,3) -- (-2.5921263903390326,1.510258513138707);
 \draw [line width=2pt,dash pattern=on 1pt off 1pt] (-1.5112146539727318,2.591569074830551)-- (0,0);
 \draw [line width=2pt,dash pattern=on 1pt off 1pt] (0,3)-- (0,0);
 \draw [line width=2pt,dash pattern=on 1pt off 1pt] (0,0)-- (-2.5921263903390326,1.510258513138707);
@@ -41,7 +46,7 @@ Par exemple, le plat à tarte de graduations $S=\{1,2,3,4,6\}$ peut être gradu
 \draw [line width=2pt,dash pattern=on 1pt off 1pt] (0,0)-- (2.5862171678629995,1.5000234395769845);
 \begin{scriptsize}
 \draw [fill=qqqqff] (0,0) circle (2pt);
-\draw[color=qqqqff] (0.06954538234337101,0.2617608760800316) node {centre};
+\draw[color=qqqqff] (0.06954538234337101,0.2617608760800316) node[above right] {centre};
 \draw [fill=qqqqff] (0,3) circle (2pt);
 \draw[color=qqqqff] (0.1991571173353303,3.5150154243782072) node {$4\ 6$};
 \draw [fill=qqqqff] (-2.5921263903390326,1.510258513138707) circle (2pt);
@@ -64,7 +69,10 @@ Par exemple, le plat à tarte de graduations $S=\{1,2,3,4,6\}$ peut être gradu
 \draw[color=qqqqff] (-1.7579800810432553,-3.0044548457173397) node {$3$};
 \end{scriptsize}
 \end{tikzpicture}
-%\end{figure}
+\end{center}
+\vspace{-5em}
+\caption{Cercle en bleu, le bord du plat à tarte et ses graduations\\En noir, les endroits où il faudra couper en fonction du nombre de parts\\En orange, les $u$-gones réguliers pour placer les graduations.}
+\end{figure}
 
 Il y a donc $10$ graduations sur le plat à tarte
 % de la Figure~\ref{Tarte2346}
@@ -95,28 +103,41 @@ Par exemple, si $N=6$, on a:
     \item $S^d_6 = \{1,2,3,4,6,12\}$ car $\alpha_6 = 12$.
 \end{itemize}
 
-\q Les familles choisissent qu'il existe un point d'origine du cercle sur lequelle toutes les graduations apparaissent, combien y aura-t-il alors $G^p_N$ (resp. $G^g_N,G^c_N,G^d_N$) de graduations, pour la famille Première (resp. Géométrique, Complète, Divisée), sur le plat à tartes.
-Donner un encadrement le plus précis possible pour $G^p$ (resp. $G^g,G^c,G^d$).
+\q Les familles choisissent qu'il existe un point d'origine du cercle sur lequelle toutes les graduations de  apparaissent. La famille Première (resp. Géométrique, Complète, Divisée) compte alors le nombre de graduations $G^p_N$ (resp.~$G^g_N$, $G^c_N$, $G^d_N$) qui apparaissent sur tout le tour du plat à tarte avec les nombres de $S^p_N$ (resp. $S^g_N$, $S^c_N$, $S^d_N$). Combien y aura-t-il alors de graduations:
+
+a) $G^p_N$ pour la famille Première;
+
+b) $G^g_N$ pour la famille Géométrique;
+
+c) $G^c_N$ pour la famille Complète;
+
+d) $G^d_N$ pour la famille Divisée.
 % en fonction des éléments de $S_N^p$ (resp. $S^g_N, S^c_N, S^d_N$).
 
+Donner une valeur exacte ou un encadrement aussi précis que possible des valeurs $G^*_N$ pour ces quatre familles.
+
+
 \medskip
 
 Les épaisseurs des traits de graduation posent des problèmes de lecture. Les familles veulent donc mettre le moins possible de graduations sur le plat à tartes. Elles se demandent si toutes les faire démarrer à la même origine est vraiment le plus efficace.
 
 \q Peut-on trouver un exemple d'une famille $S_N^u = \{u_1,\cdots,u_N\}$ pour lequel il est possible de faire mieux quand les graduations ne démarrent pas toutes au même endroit
-si $N=3$?
-si $N=4$?
-pour un $N$ assez grand? 
 
-Dans ce cas, estimer aussi précisément que possible le nombre $\widehat{G}^u_N$ de graduations qu'on peut mettre en fonction de $N$ et de $S=\{u_1,\dots,u_N\}$.
+a) si $N=3$?
+
+b) si $N=4$?
+
+c) pour un $N$ assez grand? 
+
+d) Dans ce cas, estimer aussi précisément que possible le nombre $\widehat{G}^u_N$ de graduations qu'on peut mettre en fonction de $N$ et de $S=\{u_1,\dots,u_N\}$.
 
 %\q Est-il possible que $S_N^u$ soit l'une des quatre familles décrites précédemment? Estimer aussi précisément que possible le nombre minimal de graduations $\widehat{G}^p$ (resp. $\widehat{G}^g, \widehat{G}^c, \widehat{G}^d$) dans ce cas.
 
 \q Lorsque ce minimum est atteint, pour chacune des quatre familles précédemment décrite, combien doit-on mettre de graduations au même endroit au minimum?
 
-\q Existe-t-il un entier $N$ tel que pour $n > N$, l'ordre entre les $\widehat{G}^p$ (resp. $\widehat{G}^g, \widehat{G}^c, \widehat{G}^d$ fini par être toujours le même. Si oui, quel est cet ordre?
+\q Existe-t-il un entier $N$ tel que pour $n > N$, l'ordre entre les nombres optimaux de graduations que peuvent mettre les quatre familles $\widehat{G}^p_n, \widehat{G}^g_n, \widehat{G}^c_n, \widehat{G}^d_n$ fini par être toujours le même. Si oui, quel est cet ordre?
 
 
-\q Existe-t-il une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ telle que pour tout $N \in \mathbb{N}^*$, on a $S_N^u \leqslant \min(S^p_N,S^g_N,S^c_N,S^d_N)$?
+\q Existe-t-il une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ telle que pour tout $N \in \mathbb{N}^*$, on a $\widehat{G}_N^u \leqslant \min(\widehat{G}^p_N,\widehat{G}^g_N,\widehat{G}^c_N,\widehat{G}^d_N)$?
 
 \q Proposer et explorer d'autres pistes de recherche.