enrobage

Enrobage avec système routier et taxes.

src/inegalites-graphe.tex

@@ -1,8 +1,9 @@
-\section{Le poids des graphes}
+\section{Taxes routières}
 
-Alexandra et Guillaume s'intéressent aux graphes. Un \textbf{graphe} est un ensemble de sommets avec un ensemble d'arêtes, c'est-à-dire que certaines paires de sommets sont liées.
+Dans un pays lointain, le roi Louis XLIX-III veut taxer les routes pour maximiser ses revenus. L'association et syndicat des mécontents routiers (ASMR) essaie de réduire au minimum les frais pour le peuple.
 
-Étant donné un graphe $G$ à $n$ sommets, ils numérotent les sommets de 1 à $n$. Le \textbf{poids d'une arête} est le maximum des deux nombres écrits aux sommets de l'arête. Le \textbf{poids d'une numérotation} est la somme de tous les poids des arêtes. Figure \ref{Fig1} montre deux exemples. 
+Dans ce pays, il y a $n$ villes ($n\in \mathbb{N}^*$). Certaines villes sont reliées par une route, formant ainsi le \emph{système routier}. Le système des taxes est le suivant : toutes les villes se voient attribuer un numéro de 1 à $n$ (chaque numéro est utilisé exactement une fois). La \emph{taxe} à payer pour une route reliant une ville de numéro $i$ à une ville de numéro $j$ est la maximum entre $i$ et $j$.
+Le \emph{coût total} du système routier est la somme de toutes les taxes à payer pour chacune des routes. Ce coût total dépend de la manière à numéroter les villes. Figure \ref{Fig1} montre deux exemples.
 
 \begin{figure}[!ht]
 \centering
@@ -37,11 +38,11 @@ Alexandra et Guillaume s'intéressent aux graphes. Un \textbf{graphe} est un ens
 \draw (1.6,1.6) node {1};
 \end{scope}
 \end{tikzpicture}
-\caption{À gauche, un exemple de poids 12. À droite un exemple de poids 14.}\label{Fig1}
+\caption{À gauche, un exemple de coût total 12. À droite un exemple de coût total 14.}\label{Fig1}
 \end{figure}
 
 
-\q Quelle est la valeur maximale et minimale du poids pour le graphe du carré, illustré dans la Figure \ref{Fig2} ?
+\q Quelle est la valeur maximale et minimale du coût total s'il y a 4 villes formant un carré, illustré dans la Figure \ref{Fig2} ?
 
 \begin{figure}[!ht]
 \centering
@@ -55,18 +56,18 @@ Alexandra et Guillaume s'intéressent aux graphes. Un \textbf{graphe} est un ens
 \draw[fill=white] (0,1.6) circle (0.35);
 \draw[fill=white] (1.6,1.6) circle (0.35);
 \end{tikzpicture}
-\caption{Le graphe du carré.}\label{Fig2}
+\caption{Le système routier carré.}\label{Fig2}
 \end{figure}
 
-\q Quelle est la valeur maximale et minimale du poids dans les cas suivants (voir aussi Figures \ref{Fig3} et \ref{Fig4}) :
+\q Quelle est la valeur maximale et minimale du coût total pour les cas suivants (voir aussi Figures \ref{Fig3} et \ref{Fig4}) :
 
-\noindent\textbf{a)} le graphe complet $K_n$ à $n$ sommets (où $n\geq 2$), pour lequel toutes les paires de sommets sont reliées par une arête.
+\noindent\textbf{a)} Système routier complet : pour chaque paire de villes, il y a exactement une route.
 
-\noindent\textbf{b)} le graphe des paires $P_n$ avec $2n$ sommets (où $n\geq 2$), regroupés par paires.
+\noindent\textbf{b)} Système routier par paires : il y a $n=2m$ villes qui sont reliées par paires.
 
-\noindent\textbf{c)} le graphe $A_n$ à $n$ sommets (où $n\geq 3$), formant un anneau.
+\noindent\textbf{c)} Système routier en anneau : les $n$ villes forment un anneau avec $n\geq 3$.
 
-\noindent\textbf{d)} le graphe $G_n$ à $n^2$ sommets (où $n\geq 3$), formant une grille.
+\noindent\textbf{d)} Système routier en grille : il y a $n=k^2$ villes formant une grille.
 
 \begin{figure}[!ht]
 \centering
@@ -105,7 +106,7 @@ Alexandra et Guillaume s'intéressent aux graphes. Un \textbf{graphe} est un ens
 \draw[fill=white] (-0.8,1.39) circle (0.35);
 \end{scope}
 \end{tikzpicture}
-\caption{Les graphes $K_6$ (à gauche), $P_3$ (au milieu) et $A_6$ (à droite).}\label{Fig3}
+\caption{Système routier complet avec $n=6$ (à gauche), par paires avec $m=3$ (au milieu) et en anneau avec $n=6$ (à droite).}\label{Fig3}
 \end{figure}
 
 \begin{figure}[!ht]
@@ -127,22 +128,22 @@ Alexandra et Guillaume s'intéressent aux graphes. Un \textbf{graphe} est un ens
 \draw[fill=white] (3.2,0) circle (0.35);
 \draw[fill=white] (3.2,3.2) circle (0.35);
 \end{tikzpicture}
-\caption{Le graphe $G_3$.}\label{Fig4}
+\caption{Système routier en grille avec $k=3$.}\label{Fig4}
 \end{figure}
 
-\q Trouver des formules ou estimations pour le poids maximal et minimal d'un graphe quelconque.
+\q Trouver des formules ou estimations pour le coût total maximal et minimal d'un système routier quelconque.
 
 \medskip
-Maintenant, Alexandra et Guillaume jouent au jeu suivant : étant donné un graphe à $n$ sommets, à tour de rôle ils vont attribuer un numéro entre 1 et $n$ à un sommet. Ils n'ont pas le droit de réattribuer un nombre qui a déjà été joué, et ils ne peuvent pas attribuer un nombre à un sommet qui ait déjà un numéro. 
-Alexandra commence. Le but pour Alexandra est d'obtenir le poids le plus grand possible, tandis que Guillaume cherche à obtenir le poids le plus petit possible.
+Après de moultes grèves, le roi et l'ASMR s'accordent sur la manière suivante pour attribuer les numéros aux villes : à tour de rôle ils vont attribuer un numéro entre 1 et $n$ à une ville. Ils n'ont pas le droit de réattribuer un nombre qui a déjà été utilisé, et ils ne peuvent pas attribuer un nombre à une ville qui ait déjà un numéro. 
+Le roi commence. Le but pour le roi est d'obtenir le coût total le plus grand possible, tandis que l'ASMR cherche à obtenir le coût total le plus petit possible.
 
-\q En reprenant les graphes des questions précédentes, décrire les stratégies d'Alexan\-dra et de Guillaume. Quel est le poids du graphe quand les deux jouent d'une manière optimale ?
+\q En reprenant les systèmes routiers des questions précédentes, décrire les stratégies du roi et de l'ASMR. Quel est le coût total du système routier quand les deux attribuent les numéros d'une manière optimale ?
 
 \medskip
-Alexandra et Guillaume décident de changer la définition du poids d'une arête. Au lieu d'utiliser le maximum des deux numéros aux sommets extrémaux, ils utilisent une fonction $f$. Le poids d'une numérotation reste la somme des poids de toutes les arêtes.
+Mécontent de ses revenus routiers, le roi décide de changer la taxe d'une route. Au lieu d'utiliser le maximum des deux numéros aux villes extrémales, il utilise une fonction $f$. Le coût total du système routier reste la somme des taxes de toutes les routes.
 
-\q Reprendre les questions précédentes où on utilise pour la fonction $f$ le produit.
+\q Reprendre les questions précédentes où le roi utilise pour la fonction $f$ le produit.
 
-\q Reprendre les questions précédentes où on utilise pour la fonction $f$ le plus petit commun multiple (ppcm).
+\q Reprendre les questions précédentes où le roi utilise pour la fonction $f$ le plus petit commun multiple (ppcm).
 
 \q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche.