Rédaction du problème de tartes

Première version (illustrations manquantes)

Signed-off-by: Benoit <benoit.loisel@math.univ-poitiers.fr>

src/tarte.tex

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 \section{Titre}
 
-Énoncé
+Lors d'un tournoi de tartes, différentes familles veulent faire des découpages en parts égales.
+Chaque famille va fabriquer son propre moule à tarte sur lequel elle va indiquer des graduations qui correspondent aux endroits où il faut découper entre le centre et la graduation pour former des parts égales. C'est à dire que pour un nombre $u \in \mathbb{N}^*$, on va faire apparaître $u$ fois un trait avec le numéro $u$ indiqué sur le bord du moule à tarte formant un $u$-gone régulier inscrit dans le cercle.
 
-\q Première question
+Bien sûr, un même moule doit pouvoir avoir plusieurs graduations parce que le nombre $u$ de parts de tarte qu'on voudra faire n'est pas toujours le même suivant le nombre de convives. On note alors $N$ le nombre de numéros de graduations différentes qu'on veut faire apparaître et $S=\{u_1,\cdots,u_n\}$ l'ensemble des numéros qu'on veut faire apparaître.
+On peut identifier le moule à tarte à un cercle (car on ne veut faire que des tartes rondes) et les graduations à des points de ce cercle.
+Le centre de la tarte est supposé connu sans qu'il soit nécessaire de le graduer et on donnera un coup de couteau entre le centre et chacun des $u$ traits numérotés $u$ pour former les $u$ parts égales de la tarte.
 
-\q Deuxième question
+Par exemple, le plat à tarte de graduation $S=\{4, 6\}$ peut être gradué en 
 
-\q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche.
+\q Soit $a$ et $b$ deux entiers naturels distincts. On prend $N=2$, $u_1 = a$ et $u_2 = b$ de sorte que $S = \{a,b\}$. Quel est le nombre minimal de graduation à mettre sur le moule à tarte afin d'être capable de couper la tarte à la fois en $a$ parts égales ou en $b$ parts égales?
+
+\q On veut maintenant $N=3$ graduations, c'est-à-dire que $S=\{a,b,c\}$ avec $a,b,c \in \mathbb{N}^*$ deux à deux distincts. Quel est le nombre minimal de graduation à mettre sur le plat à tarte afin d'être capable de couper la tarte à la fois en $a$ parts égales, $b$ parts égales ou $c$ parts égales?
+
+\q Par manque de place, on veut mettre au plus deux fois la même graduation en un point donné. Quelle est alors le nombre minimal de graduations à mettre sur le plat à tarte pour permettre les découpages $S =\{a,b,c\}$?
+
+Désormais, il y a différentes familles qui s'affrontent dans un tournoi de graduations de moules à tarte. Chacun famille doit choisir $N$ valeurs distinctes à graduer $S =\{u_1,\dots,u_N\}$.
+\begin{itemize}
+\item La famille \textbf{Première} choisit de graduer les $N$ premiers nombres premiers, soit $S^{p}_N = \{p_1,p_2,\cdots,p_N\}$.
+\item La famille \textbf{Géométrique} choisit un entier $a \geqslant 2$ et de graduer les puissances de $a$, soit $S^g_N = \{1,a,a^2,\cdots,a^{N-1}\} $.
+\item La famille \textbf{Complète} choisit de graduer les $N$ premiers nombres entiers naturels, soit $S^c_N = \{1,2,\cdots,N\}$.
+\item La famille \textbf{Divisée} choisit le plus petit entier $\alpha_n$ qui admet exactement $N$ diviseurs $\delta_{1,\alpha_n}, \dots, \delta_{N,\alpha_N}$ et choisit de graduer les $N$ diviseurs de $\alpha_n$, soit $S^d_N = \{\delta_{1,\alpha_n},\cdots,\delta_{N,\alpha_N}\}$.
+\end{itemize}
+
+Par exemple, si $N=6$, on a:
+\begin{itemize}
+    \item $S^p_6 = \{2,3,5,7,11,13\}$.
+    \item $S^g_6 = \{1,2,4,8,16,32\}$ pour $a = 2$.
+    \item $S^c_6 = \{1,2,3,4,5,6\}$.
+    \item $S^d_6 = \{1,2,3,4,6,12\}$ car $\alpha_6 = 12$.
+\end{itemize}
+
+\q Les familles choisissent qu'il existe un point d'origine du cercle sur lequelle toutes les graduations apparaissent, combien y aura-t-il alors $G^p_N$ (resp. $G^g_N,G^c_N,G^d_N$) de graduations, pour la famille Première (resp. Géométrique, Complète, Divisée), sur le plat à tartes. Trouver une formule aussi simple que possible pour $G^p$ (resp. $G^g,G^c,G^d$) en fonction des éléments de $S_N^p$ (resp. $S^g_N, S^c_N, S^d_N$).
+
+\q Les épaisseurs des traits de graduation posent des problèmes de lecture. Les familles veulent donc mettre le moins possible de graduations sur le plat à tartes. Elles se demandent si toutes les faire démarrer à la même origine est vraiment le plus efficace.
+Peut-on trouver un exemple d'une famille $S_N^u = \{u_1,\cdots,u_N\}$ pour lequel il est possible de faire mieux quand les graduations ne démarrent pas toutes au même endroit
+\sousq si $N=3$?
+\sousq si $N=4$?
+\sousq pour un $N$ assez grand?
+
+\q Est-il possible que $S_N^u$ soit l'une des quatre familles décrites précédemment? Estimer aussi précisément que possible le nombre minimal de graduations $\widehat{G}^p$ (resp. $\widehat{G}^g, \widehat{G}^c, \widehat{G}^d$) dans ce cas.
+
+\q Lorsque ce minimum est atteint, pour chacune des quatre familles précédemment décrite, combien doit-on mettre de graduations au même endroit au minimum?
+
+\q Existe-t-il un entier $N$ tel que pour $n > N$, l'ordre entre les $\widehat{G}^p$ (resp. $\widehat{G}^g, \widehat{G}^c, \widehat{G}^d$ fini par être toujours le même. Si oui, quel est cet ordre?
+
+\q Proposer et explorer d'autres pistes de recherche.