\section{Transformation de papillons}

Pour embellir les différents tournois du \tfjm, le comité national d'organisation décide de faire un élevage de $N$ papillons ($N$ impair). À l’origine, le papillon numéro $i$ a une envergure égale à $x_i$ cm. Chaque jour, certains papillons subissent une transformation qui modifie leur envergure. La manière de choisir le papillon qui subit la transformation peut varier (par exemple, le plus petit, le plus grand, un choix aléatoire, ou le papillon avec l’envergure médiane).


\q Dans cette question seulement, on suppose que tous les papillons ont une envergure de $1$ cm. Chaque jour, seul l'un des papillons les plus grands voit son envergure être divisée par deux. Combien de temps faudra-t-il pour que tous les papillons aient une envergure inférieure à $0.5$ cm ? Et pour $0.1$ cm ? Que se passe il si la transformation réduit l'envergure d'un des papillon de taille médiane ? 

\q Désormais, on suppose que les transformations alternent : 
\begin{itemize}
    \item La première transformation choisi l'un des papillons de taille médiane puis lui fait perdre la moitié de son envergure. 
    \item La seconde transformation choisi l'un des papillons de taille médiane puis lui fait gagner la moitié de son envergure. 
\end{itemize}
Est-il possible que l'un des papillons atteigne une taille arbitrairement grande ? 

\q  Que devient la question précédente si la seconde transformation multiplie la taille du papillon par $2$ à la place ?

\medskip

Nous faisons désormais l'hypothèse que tous les papillons se transforment en même temps.

\q Chaque jour, chaque papillon se transforme en deux papillons: Le premier hérite de 80\% de l'envergure du parent, et le second de 120\%.
Soit $x \in [0, \infty[$. Quelle est la proportion de papillons ayant une taille supérieure à $x$ le $n$-ème jour ? Et la proportion de papillons ayant une taille inférieure à $x$ ? (\textit{On pourra commencer par regarder des valeurs particulières de $x$})



\q Chaque jour, chaque papillon se transforme en deux papillons. Le premier hérite de 80\% de l'envergure de son parent, et le second de 120\% de l'envergure de son grand-parent.
Soit $x \in [0, \infty[$. Quelle est la proportion de papillons ayant une taille supérieure à $x$ le $n$-ème jour ? Et la proportion de papillons ayant une taille inférieure à $x$ ? (\textit{On pourra commencer par regarder des valeurs particulières de $x$})

\q Chaque jour, chaque papillon se transforme en deux papillons. La taille des nouveaux papillons est tirée aléatoirement selon une loi de probabilité. Peut-on retrouver cette loi de probabilité en observant assez longtemps l'évolution des papillons ?


\q Supposons que chaque papillon

\q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche.
