\section*{Eléments de réponse} 


\q a) (facile) Il n'y a alors qu'une seule manière possible de propager: $A_1(M,\ell)=\{a+b-2\}$.\\
b) (assez facile) Il y a plusieurs manières de propager mais en fait elles sont toutes aussi rapides: $A_1(M,\ell)$ est réduit à la distance entre le lutin de départ et le lutin le plus éloigné. Remarquer qu'après le jour 1, on a coupé le réseau en 2 et on peut se ramener au cas a) pour au moins l'une des deux moitiés.\\
c) (moyen) Le lutin initial est quelque part au milieu. On a le choix entre 2 valeurs: la distance entre le lutin de départ et le lutin le plus éloigné; la même distance + 1.
Pour le justifier, il suffit de regarder ce qui s'est passé le premier jour: soit on a perdu un temps en ne propageant pas vers le côté le plus éloigné; dans ce cas on coupe le réseau en 4 et la durée de la propagation est déterminée par la plus grande des 4 parties, qui est dans la situation a; soit on n'a pas perdu de temps (propagation vers le côté le plus loin) et c'est la même chose sauf qu'on a gagné un jour.
%\q (facile)

\q (moyen/difficile)
    Par récurrence (non trivial mais très raisonnable), on démontre qu’on ne peut faire que des intervalles.
    Pour des raisons combinatoires (quelques technicités pénibles), les intervalles doivent être inclus dans un intervalle type $[k,(3^k-1)/2]$, avec $k = \log_3(\text{nb de lutins})$.
    L’intervalle $[k,(3^k-1)/2]$ est atteint par le graphe complet, et c’est plus généralement le cas des $[k,l]$ avec $l$ compris entre $(3^{k-1}+1)/2$ et $(3^k-1)/2$.
    Pour conclure, il suffit de remarquer que, si on a un intervalle type $[a,b]$, on a facilement $[a+1,b+1]$ en ajoutant un lutin en plus relié uniquement au lutin qu’on veut être celui de départ.

\q  (à voir) On ne peut encore faire que des intervalles, pour des raisons similaires.
    Difficile de dire a priori si on est plus ou moins limité que dans la question précédente, à réfléchir.


\q  (à voir)  Pour la 1, avec la plupart des graphes, $E = \{\infty\}$ (sauf quand $a\leq2$ ou $b\leq2$).\\
    Pour la 2, les graphes qui donnent autre-chose sont extrêmement contraints. Je n’ai pas terminé l’étude de cas, elle est un peu longue, mais c’est très probablement une question fermée, et le cardinal de $E$ ne peut pas dépasser un truc comme 3 ou peut-être 4.
    %Pour ce qui est de reprendre la 3, en fait ça ressemblera plutôt à reprendre la 2. J’ai peur que ce soit juste similaire et laborieux pour pas grand-chose de plus, donc ça se défendrait de ne pas la faire reprendre.

\q a. (facile) Majoration très large: $E[\tau]\leq \frac{n-1}{p}$ (en supposant que seul le lutin de départ a le droit de sourire a un autre lutin à la fois: dans ce cas $\tau$ est (nb de lutins) $\times$ (espérance d'une loi géométrique de proba de réussite $p$)\\
(difficile) Heuristique pour une approximation: plaçons-nous en temps continu: chaque paire amie de lutin se sourit au bout d'une loi exponentielle de moyenne $1/p$. Quand $k$ lutins sont de bonne humeur, chacun des $n-k$ restants reçoit donc un sourire au bout d'une loi exponentielle de moyenne $1/(kp)$. Le temps moyen de passage de $k$ à $k+1$ lutins de bonne humeur et donc $\frac{1}{kp(n-k)}$. Ainsi, je m'attends à ce que
\[E[\tau]\simeq \frac{1}{p}\sum_{k=1}^n\frac{1}{k(n-k)}.\]\\
b. (moyen) On peut compter le nombre $M_t$ de lutins de bonne humeur: à chaque demi-journée, $M_t$ devient $M_t-1$ avec proba $p$ (on compte en demi-journée car il y a deux extrémités à la chaînes des lutins de mauvaise humeur). On a $M_0=n-1$. Donc $E[2\tau]=\frac{n-1}{p}$ (somme de $n-1$ lois géométriques de proba de réussite $p$); donc $E[\tau]=\frac{n-1}{2p}$.\\
c. (moyen/difficile) des choses similaires à la a) semblent faisables; \\
(ouvert) cas général
d. (ouvert)

\q a. (facile) Ici, $\tau$ est déterministe; $E[\tau]=\tau\leq n$, et $E[\tau]=\tau=n$ est atteint avec le graphe linéaire, avec comme lutin de départ une extrémité\\
b. (intuition facile) maximisé pour le segment. Justification ?\\ c. (ouvert)

\q a. (facile) \\
b. (intuition facile) minimisé pour l'étoile \\
c. (ouvert)


\q (ouvert)