\section*{Eléments de réponse} 

\q 
\begin{enumerate}
    \item (Facile) Calcul simple. $N$ jours pour 0.5 et $4N$ pour 0.1.
    \item (Facile) On a une séparation en deux partie. Donc il y aura toujours un papillon à 1cm. 
    En fait, la moitié des papillons ont une taille qui tends vers 0 et l'autre qui reste à 1. 
\end{enumerate}

\q (Moyen) Réponse : non ! Car le terme maximal ne dépassera jamais $\max(x_{2n+1}, 1.5x_n)$ \\
\textit{Quelques éléments d'argumentation :}\\

 Supposons que l'on a les tailles $x_1, \ldots, x_n, x_{n+1}, x_{n+2}, \ldots, x_{2n+1}$ écrite dans l'ordre croissant. 
Après la première transformation, on a $x_{n+1}$ qui devient $x_{n+1}/2$. 
\begin{itemize}
    \item 1er cas : Si $x_{n+1}/2 \geq x_n$, alors $x_{n+1}/2$ reste le point médian et après la second transformation $x_{n+1}/2$ devient $1.5 x_{n+1}/2 = 0.75 x_{n+1}$. \\
    On a donc les tailles $x_1, \ldots, x_n, 0.75 x_{n+1}, x_{n+2}, \ldots, x_{2n+1}$ dans cet ordre et donc les $n+1$ premiers termes ne pourront pas dépasser $x_{n+2}$ en étant multiplié successivement par des $0.5$ et des $1.5$. 
    \item 2nd cas : Si $x_{n+1}/2 <  x_n$, alors $x_n$ devient le nouveau point médian. Dans ce cas on a deux sous cas : 
    \begin{itemize}
        \item Si $1.5x_n < x_{n+2}$. \\
        Dans ce cas, c'est bon. Car le point médian est $1.5x_n$.
        On a donc les $n + 1$ petites tailles  :
        $$x_1, \ldots, x_{n-2}, \frac{x_{n+1}}{2},1.5 x_n$$ avant $x_{n+2},\ldots, x_{2n+1}$. 
        où $1.5 x_n$ est le plus grand d'entre eux. Ainsi les $n+1$ premiers termes ne pourront pas dépasser $x_{n+2}$ en étant multiplié successivement par des $0.5$ et des $1.5$. 
        \item Si $1.5x_n > x_{n+2}$ Dans ce cas on a : 
         $$x_1, \ldots, x_{n+1}/2, x_{n+2}, 1.5x_n \ldots, x_{2n+1}$$
         Mais alors $x_{n+2}$ devient $x_{n+2}/2$ et donc on a la suite 
         $$x_1, \ldots, x_{n+1}/2, x_{n+2}/2, 1.5x_n \ldots, x_{2n+1}$$
         ce qui se ramènera au cas précédent car en multipliant par $1.5$ le nouveau point médiant, on sera plus petit que $1.5 x_n$.  
    \end{itemize}
\end{itemize} Et on recommence \\

\q (Moyen +) Un $raisonnement$ un peu analogue devrait montrer que le terme maximal ne dépassera jamais $\max(x_{2n+1}, 2x_n)$. 

\q (Difficile) On peut essayer d'estimer la proportion avec des coefficients binomiaux. 
Si on part d'un seul papillon de taille $x$, on peut calculer la taille de tous les papillons à la génération $n$. \\
En effet considérons la quantité $(a+b)^n$. Le coefficient $a^ib^{n-i}$ représente le nombre de papillons de taille $0.8^i \times 1.25^{n-i}$.
De plus, en remarquant que $0.8 \times 1.25 = 1$ on peut estimer la quantité de papillon en fonction des papillons initiaux car les différentes tailles possibles sont de la forme : $0.8^i$ et $1.25^i$ pour $i$ allant de $0$ à $n$. 

\q (Très difficile ? voir ouvert ?) Peut-être un raisonnement analogue, mais plus compliqué. 

\q (Ouvert)