\section{Une bonne humeur contagieuse}

Au pays des Merveilles, les lutins sont de mauvaise humeur. Un seul lutin parviendra-t-il à tous leur redonner le sourire ?

Le Pays des Merveilles, noté $M$, est constitué de $n \ge 3$ lutins, qui peuvent chacun être de bonne ou mauvaise humeur. Chaque paire de lutins est soit amie, soit inconnue.
Chaque jour, chaque lutin de bonne humeur sourit simultanément à un certain nombre de ses amis (ce nombre sera précisé dans la suite). Un lutin de mauvaise humeur qui reçoit au moins un sourire devient de bonne humeur, et pourra se mettre à sourire à partir du jour suivant.

En partant d'un lutin $\ell$ donné, on dit qu'un nombre $j \in N$ est \emph{réalisable} s'il est possible que tous les lutins deviennent de bonne humeur à partir du $j$-ième jour si, initialement, le lutin $\ell$ est le seul à être de bonne humeur. 
Par ailleurs, on dit que le nombre $\infty$ est réalisable s'il est possible qu'une situation où tous les lutins sont de bonne humeur n'arrive jamais.


Par exemple, si on suppose que chaque lutin sourit à exactement 1 de ses amis (n'importe lequel), que le pays des Merveilles $M$ est constitué de $3$ lutins, où un lutin est ami aux deux autres, et qu'on part du lutin ami aux deux autres, alors tous les nombres entiers supérieurs ou égaux à 2 sont réalisables. Voir Figure \ref{fig:lutins}.

\begin{figure}
    \centering
\begin{tikzpicture}
    % Les nœuds avec des sourires
    \node[circle, draw, fill=white] (A) at (0,0) {};
    \node[circle, draw, fill=black] (B) at (2,0) {};
    \node[circle, draw, fill=white] (C) at (4,0) {};
    
    % Les arêtes
    \draw (A) -- (B);
    \draw (B) -- (C);
    
    % Les propagations
    \draw[-stealth] (B) edge[bend right] node [left] {} (A);

    \node at (6, 0) {\Large Jour 0};
\end{tikzpicture}

\begin{tikzpicture}
    % Les nœuds avec des sourires
    \node[circle, draw, fill=black] (A) at (0,0) {};
    \node[circle, draw, fill=black] (B) at (2,0) {};
    \node[circle, draw, fill=white] (C) at (4,0) {};
    
    % Les arêtes
    \draw (A) -- (B);
    \draw (B) -- (C);
    
    % Les propagations
    \draw[-stealth] (B) edge[bend right] node [left] {} (A);
    \draw[-stealth] (A) edge[bend right] node [left] {} (B);

    \node at (6, 0) {\Large Jour 1};
\end{tikzpicture}  

\begin{tikzpicture}
    % Les nœuds avec des sourires
    \node[circle, draw, fill=black] (A) at (0,0) {};
    \node[circle, draw, fill=black] (B) at (2,0) {};
    \node[circle, draw, fill=white] (C) at (4,0) {};
    
    % Les arêtes
    \draw (A) -- (B);
    \draw (B) -- (C);
    
    % Les propagations
    \draw[-stealth] (B) edge[bend left] node [left] {} (C);
    \draw[-stealth] (A) edge[bend right] node [left] {} (B);

    \node at (6, 0) {\Large Jour 2};
\end{tikzpicture}    

\begin{tikzpicture}
    % Les nœuds avec des sourires
    \node[circle, draw, fill=black] (A) at (0,0) {};
    \node[circle, draw, fill=black] (B) at (2,0) {};
    \node[circle, draw, fill=black] (C) at (4,0) {};
    
    % Les arêtes
    \draw (A) -- (B);
    \draw (B) -- (C);

    \node at (6, 0) {\Large Jour 3};
\end{tikzpicture}    


\caption{Un exemple de propagation, qui montre que le nombre 3 est réalisable.
Les disques correspondent aux lutins, ils sont remplis pour les lutins de bonne humeur. Les flèches indiquent à quel lutin chacun sourit.}
    \label{fig:lutins}
\end{figure}


On note $A(M,\ell)$ l'ensemble des nombres réalisables. Dans l'exemple précédent, on a donc $A(M,\ell) = \{\infty,2,3,4,...\}$.

\medskip

\q  Dans un premier temps, un lutin sourit à exactement deux de ses amis, en priorité aux lutins de mauvaise humeur (c'est-à-dire qu'il ne peut pas sourire à un lutin de bonne humeur s'il ne sourit pas à tous ses amis de mauvaise humeur). Déterminer $A(M,\ell)$ (qu'on notera $A_1(M,\ell)$ pour éviter les ambiguités) si le pays des Merveilles est un réseau avec $a\in\N$ lignes et $b\in\N$ colonnes, avec $a,b \ge 2$, comme dans la Figure~\ref{fig:reseau_lutin}. On pourra distinguer les cas suivants :
\begin{enumerate}
\item Si le lutin initial $\ell$ a 2 amis (c'est-à-dire, dans un coin);
\item Si le lutin initial $\ell$ a 3 amis (c'est-à-dire, sur un côté);
\item Si le lutin initial $\ell$ a 4 amis (c'est-à-dire, ni sur un coin ni sur un côté).
\end{enumerate}


\begin{figure}[h]
\begin{tikzpicture}
    % Dimensions du réseau
    \def\rows{3} % Nombre de rangées
    \def\cols{6} % Nombre de colonnes
    \def\disth{2cm} % Distance entre les nœuds 
    \def\distv{1cm} % Distance entre les nœuds 

    % Création des nœuds
    \foreach \i in {1,...,\rows} {
        \foreach \j in {1,...,\cols} {
            \node[circle, draw, fill=white] (N-\i-\j) at ({\j*\disth}, {-\i*\distv}) {\Large };
        }
    }

    % Connexions horizontales
    \foreach \i in {1,...,\rows} {
        \foreach \j [evaluate=\j as \next using int(\j+1)] in {1,...,\numexpr\cols-1\relax} {
            \draw (N-\i-\j) -- (N-\i-\next);
        }
    }

    % Connexions verticales
    \foreach \j in {1,...,\cols} {
        \foreach \i [evaluate=\i as \next using int(\i+1)] in {1,...,\numexpr\rows-1\relax} {
            \draw (N-\i-\j) -- (N-\next-\j);
        }
    }
\end{tikzpicture}
\caption{\label{fig:reseau_lutin}Le pays des Merveilles pour la question 1, avec $a=3$ et $b=6$.}
\end{figure}

\q Quels sont les ensembles $E$ tels qu’il existe une disposition des lutins $M$ et un lutin de départ $\ell\in M$ tel que $A_1(M,\ell)=E$ ?

\q Quels sont les ensembles $E$ tels qu’il existe une disposition des lutins $M$ telle que l'union sur tous les $\ell\in M$ de $A_1(M,\ell)$ soit égale à $E$ ?

\q Pour cette question, on remplace la règle de la question 1. par la suivante : un lutin sourit à exactement deux de ses amis, en priorité aux lutins de bonne humeur. On note alors $A_2(M,\ell)$. Reprendre les questions 1. et 2.

\medskip

Dorénavant, on supprime les règles de la question 1. et de la question 4. On fixe $p\in]0,1]$. Si $\ell\in M$ est un lutin de bonne humeur, alors, pour chaque $\ell'\in M$ tel que $\ell$ et $\ell'$ sont amis, $\ell$ fait un sourire à $\ell'$ avec une probabilité $p$.
On note~$\tau$ la variable aléatoire correspondant au numéro du premier jour où tous les lutins sont de bonne humeur (et $\tau=+\infty$ si ce jour n'existe pas).

\medskip

\q  Calculer, en fonction de $n$ et $p$, l’espérance de $\tau$ :
\begin{enumerate}
\item Si chaque lutin est ami avec tous les autres;
\item Si les lutin sont numérotés de $1$ à $n$, et que chaque lutin $\ell_k$ a deux amis : les lutins $\ell_{k-1}$ et $\ell_{k+1}$ (les lutins $\ell_1$ et $\ell_n$ sont également amis).
\item Si $n$ est pair et la population des lutins est séparée en deux clans de taille $n/2$, tels qu'un lutin d'un clan est ami avec tous les lutins de l'autre clan, et seulement avec ceux-là. Pour cette question, déterminer également, à $p$ fixé, la limite quand $n \to \infty$ ;
\item Si $M$ est le pays décrit dans la question 1, en fonction de $a$ et $b$ et du lutin de départ.
\end{enumerate}

\q On fixe $p \in ]0,1]$, $n \ge 3$ et $k \ge n-1$.
On considère les pays des Merveilles $M$ avec $n$ lutins, $k$ paires d'amis, et tels que, pour tous lutins $\ell$ et $\ell'$, il existe une chaîne d'amitié qui les relie.
Parmi ces pays, que peut valoir, au maximum, l’espérance de $\tau$:
\begin{enumerate}
\item Si $p=1$ ? 
\item Si $0<p<1$ et $k=n-1$ ? 
\item Dans le cas général ? 
\end{enumerate}

\q Reprendre la question 6. en remplaçant <<~maximum~>> par <<~minimum~>>.
%\medskip

\q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche.