\section*{Eléments de réponse} 

\q (facile) Le maximum est 14, le minimum 13. Modulo symétries, il n'y a que 3 configurations.

\q a) (facile/moyen) Toutes les configurations s'équivalent. Le résultat est $N(N-1)+(N-1)(N-2)+(N-2)(N-3)+...+2*1 = (N-1)N(N+1)/3$.

b) (facile) Le max est $2N+(2N-1)+...+(N+1)=N(3N+1)/2$. Le min est $2N+(2N-2)+(2N-4)+...+2=N(N+1)$.

c) (moyen) Pour $N=2n$ pair, le max est $2(2n+(2n-1)+...+(n+1))=n(3n+1)$. 
Pour $N=2n+1$ impair, le max est $2(2n+1+2n+...+n+2)+n+1=(n+1)(3n+1)$.
Le min est toujours $2*N+N-1+N-2+...+2=(N^2+3N-2)/2$.

d) (moyen) ?

\q (moyen) Algorithme général pour maximiser le coût total: mettre $N$ au sommet de degré maximal, puis le retirer avec ses arêtes, puis itérer. 

\q (faisable?) Utiliser l'algo précédent pour trouver les stratégies.

\q Question principale du problème

Q1 (facile) max vaut 25, min vaut 21

Q2a (moyen) Pour le graphe complet $K_n$, toutes les numérotations ont le même poids. Ce poids vaut $\sum_{1\leq i\leq j\leq n} ij = \frac{1}{24}n(n-1)(n+1)(3n+2)$.

Q2b (moyen) Pour le graphe des pairs $P_n$, c'est l'inégalité du réordonnement qui conclut.

Q2c (moyen/difficile) Pour l'anneau, on peut judicieusement utiliser l'inégalité du réordonnement. 
Premier lemme : pour le poids maximal, les deux chemins entre 1 et $n$ sont formés de nombres croissants. Sinon un échange rend le poids meilleur.
Deuxième lemme : pour le poids maximal, chaque découpage de l'anneau en deux chaînes d'extremités $a, b$ et $c, d$ vérifie: si $a<b$ alors $c<d$ (si $a$ et $c$ sont collés).
Le deuxième lemme permet de conclure que le max est atteint par la numérotation où les des suites entre 1 et $n$ sont $1,2,4,6,8,..., n$ et $1,3,5,7,...,n$.
La valeur du poids maximal se calcule. Si $n=2k$ est pair, le poids maximal vaut $\frac{4}{3}k(2k^2+1)+2k^2-5k+3$.
Un raisonnement similaire montre que le minimum est atteint par $..., n-4,4,n-2,2,n,1,n-1,3,n-3,...$.

Q2d (difficile) Pour la grille, on peut probablement tout calculer.

Q3 et Q4 (ouvert) Probablement on peut trouver des estimations.

\q (ouvert)