\section{Inégalités graphiques}

Alexandra et Guillaume jouent avec des graphes. Un \textbf{graphe} est un ensemble de sommets avec un ensemble d'arêtes, c'est-à-dire que certains pairs de sommets sont liées.

Étant donné un graphe $G$ à $n$ sommets, ils numérotent les sommets de 1 à $n$. Le \textbf{poids d'une arête} est le produit des deux nombres écrits aux sommets de l'arête. Le \textbf{poids d'une numérotation} est la somme de tous les poids des arêtes. Figure \ref{Fig1} montre deux exemples. 

\begin{figure}[!ht]
\centering
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) -- (1.6,0);
\draw (0,0) -- (0,1.6);
\draw (1.6,0) -- (0,1.6);
\draw (1.6,1.6) -- (1.6,0);
\draw[fill=white] (0,0) circle (0.35);
\draw[fill=white] (1.6,0) circle (0.35);
\draw[fill=white] (0,1.6) circle (0.35);
\draw[fill=white] (1.6,1.6) circle (0.35);

\draw (0,0) node {1};
\draw (1.6,0) node {2};
\draw (0,1.6) node {3};
\draw (1.6,1.6) node {4};

\begin{scope}[xshift=4cm]
\draw (0,0) -- (1.6,0);
\draw (0,0) -- (0,1.6);
\draw (1.6,0) -- (0,1.6);
\draw (1.6,1.6) -- (1.6,0);
\draw[fill=white] (0,0) circle (0.35);
\draw[fill=white] (1.6,0) circle (0.35);
\draw[fill=white] (0,1.6) circle (0.35);
\draw[fill=white] (1.6,1.6) circle (0.35);

\draw (0,0) node {4};
\draw (1.6,0) node {3};
\draw (0,1.6) node {2};
\draw (1.6,1.6) node {1};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\caption{A gauche, un exemple de poids 19. A droite un exemple de poids 29.}\label{Fig1}
\end{figure}

Alexandra cherche les numérotations qui maximisent le poids, tandis que Guillaume cherche à le minimiser.

\q Quelle est la valeur maximale et minimale pour le graphe du carré, illustré dans la Figure \ref{Fig2}?

\begin{figure}[!ht]
\centering
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) -- (1.6,0);
\draw (0,0) -- (0,1.6);
\draw (1.6,1.6) -- (0,1.6);
\draw (1.6,1.6) -- (1.6,0);
\draw[fill=white] (0,0) circle (0.35);
\draw[fill=white] (1.6,0) circle (0.35);
\draw[fill=white] (0,1.6) circle (0.35);
\draw[fill=white] (1.6,1.6) circle (0.35);
\end{tikzpicture}
\caption{Le graphe du carré.}\label{Fig2}
\end{figure}

\q Quelle est la valeur maximale et minimale dans les cas suivants (voir aussi Figure \ref{Fig3}) :

\noindent\textbf{a)} le graphe complet $K_n$, où toutes les pairs de sommets sont reliées par une arête.

\noindent\textbf{b)} le graphe des pairs $P_n$ avec $2n$ sommets, regroupés par pairs.

\noindent\textbf{c)} le graphe $A_n$ à $n$ sommets, formant un anneau.

\begin{figure}[!ht]
\centering
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) -- (1.6,0) -- (2.4,1.39) -- (1.6,2.77) -- (0,2.77) -- (-0.8,1.39) -- (0,0);
\draw (1.6,0) -- (1.6,2.77) -- (0,0) -- (0,2.77) -- (1.6,0);
\draw (-0.8,1.39) -- (2.4,1.39) -- (0,0) -- (1.6,2.77) -- (-0.8,1.39);
\draw (1.6,0)--(-0.8,1.39);
\draw (0,2.77)--(2.4,1.39);
\draw[fill=white] (0,0) circle (0.35);
\draw[fill=white] (1.6,0) circle (0.35);
\draw[fill=white] (2.4,1.39) circle (0.35);
\draw[fill=white] (1.6,2.77) circle (0.35);
\draw[fill=white] (0,2.77) circle (0.35);
\draw[fill=white] (-0.8,1.39) circle (0.35);

\begin{scope}[xshift = 4.4cm, yshift=0.64cm]
\draw (0,0)--(0,1.6);
\draw (1.4,0) -- (1.4,1.6);
\draw (2.8,0) -- (2.8,1.6);
\draw[fill=white] (0,0) circle (0.35);
\draw[fill=white] (1.4,0) circle (0.35);
\draw[fill=white] (0,1.6) circle (0.35);
\draw[fill=white] (1.4,1.6) circle (0.35);
\draw[fill=white] (2.8,0) circle (0.35);
\draw[fill=white] (2.8,1.6) circle (0.35);
\end{scope}

\begin{scope}[xshift = 10cm]
\draw (0,0) -- (1.6,0) -- (2.4,1.39) -- (1.6,2.77) -- (0,2.77) -- (-0.8,1.39) -- (0,0);
\draw[fill=white] (0,0) circle (0.35);
\draw[fill=white] (1.6,0) circle (0.35);
\draw[fill=white] (2.4,1.39) circle (0.35);
\draw[fill=white] (1.6,2.77) circle (0.35);
\draw[fill=white] (0,2.77) circle (0.35);
\draw[fill=white] (-0.8,1.39) circle (0.35);
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\caption{Les graphes $K_6$ (à gauche), $P_3$ (au milieu) et $A_6$ (à droite).}\label{Fig3}
\end{figure}

\q Que se passe-t-il pour le graphe $G_n$ à $n^2$ sommets, formant une grille d'un carré de côté $n$ (voir Figure \ref{Fig4}) ?

\begin{figure}[!ht]
\centering
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) -- (1.6,0) -- (3.2,0);
\draw (0,1.6) -- (1.6,0) -- (3.2,1.6);
\draw (0,3.2) -- (1.6,3.2) -- (3.2,3.2);
\draw (0,0) -- (0,1.6) -- (0,3.2);
\draw (1.6,0) -- (1.6,1.6) -- (1.6,3.2);
\draw (3.2,0) -- (3.2,1.6) -- (3.2,3.2);
\draw[fill=white] (0,0) circle (0.35);
\draw[fill=white] (1.6,0) circle (0.35);
\draw[fill=white] (0,1.6) circle (0.35);
\draw[fill=white] (1.6,1.6) circle (0.35);
\draw[fill=white] (1.6,3.2) circle (0.35);
\draw[fill=white] (3.2,1.6) circle (0.35);
\draw[fill=white] (0,3.2) circle (0.35);
\draw[fill=white] (3.2,0) circle (0.35);
\draw[fill=white] (3.2,3.2) circle (0.35);
\end{tikzpicture}
\caption{Le graphe $G_3$.}\label{Fig4}
\end{figure}

\q Trouver des formules ou estimations pour le poids maximal et minimal d'un graphe quelconque.

\medskip
Alexandra et Guillaume décident de changer la définition du poids d'une arête. Au lieu d'utiliser le produit des deux numéros aux sommets extrémaux, ils utilisent une fonction $f$. Le poids d'une numérotation reste la somme des poids de toutes les arêtes.

\q Reprendre les questions précédentes où on utilise pour la fonction $f$ le maximum.

\q Reprendre les questions précédentes où on utilise pour la fonction $f$ le plus grand commun diviseur (pgcd).

\q Reprendre les questions précédentes où on utilise pour la fonction $f$ le plus petit commun multiple (ppcm).

\q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche.
