\section*{Eléments de réponse} 

À un tour fixé $n$, on note $d^n_k$ le nombre de dés montrant la valeur $k$. A un tour fixé, si Clémentine choisir un groupe de valeur $\kappa$, alors son gain augmente de : 
$$ G_n = G_{n-1} + \kappa\times d^n_\kappa$$

Le nombre de dé à un tour $n$ vaut $d^n=\sum_{k\leq f} d^n_k$. (c'est déterminé sachant les tours précédents) 

$d^n_k \sim \mathcal B(1/f,d^n)$ au début du tour (i.e. sachant $d^n$) (on peut aussi considérer que les variables $(d^n_k)_{k\leq f}$ suivent une loi multinomiale de parmaètre $d^n$ et $(1/f,1/f,...,1/f)$ (tjrs sachant $d^n$)

\q (Facile) Clémentine a $p$ pièces. Soit elle obtient $p$ "pile" et dans ces cas là, elle obtient $G_1=p$. Soit elle obtient entre $1$ et $p$ "face" et dans ces cas là elle obtient $G_1=2,4,...,2p$
Donc $G_1\in\{2,4,...,2p\}\cup\{p\}$

\q (Facile) c'est la proba que $d^1_1=p$ ou $d^1_2=p$ donc que toutes les pièces soient sur pile ou sur face. $2\times (1/2)^p$.

\q (cas $p=1, 2$ facile ; cas $p=3$ difficile ; cas + très dur/ouvert ?) Déjà remarque, peu importe $p$, le jeu termine en max $p$ tours. Pour $p=1$, bah $1$ du coup. Pour $p=2$ le jeu termine forcément en max 2 tours et la probabilité qu'il termine au tour 1 est de 1/2 (FF ou PP) et donc en 2 tours en 1/2. Donc en moyenne 1.5 tours. \\
$p=3$, (PPP PPF PFP PFF FPP FPF FFP FFF) donc 1/4 de finir tour 1 
Puis il reste 1 dé avec pb 3/8 et 2 dé avec proba 3/8. 
S'il reste 1 dé, ça finit à coup sûre, s'il reste 2 dé on se rapporte au cas précédent et en moyenne 1.5 tours de plus 
donc ça finit en 1 coup en 1/4, en 2 coup en 3/8*(1+1/2) et 3 coup 3/8*1/2.
J'ai l'impression qu'on pourrait itérér ? En mode soit on termine tout de suite, soit ont termine pas direct et on se rapproche à un cas précédent x la proba du nbr de dé restant mais ça l'air technique ptdr 

Pour $p$ qqconque, on a $P(n=1)=1/2^{p-1}$ et  
\begin{align*}
    \mathbb P(n=2) &= \sum_{l\leq p-1} \mathbb P(\textit{obtenir l face ou l pile}|d^2=l)\mathbb P(d^2=l) \\
    &= \sum_{l=1}^{p-1} \frac{1}{2^{l-1}}\times \binom{p}{l}\frac{1}{2^p} \\
    &= \frac{1}{2^{p-1}}\times \sum_{l=1}^{p-1} \binom{p}{l}\frac{1}{2^l} \\
    &= \frac{1}{2^{p-1}}\times ((1+0.5)^p-0.5^p-0.5^0) \\
    &= \frac{1}{2^{p-1}}\times \frac{3^p}{2^p}-\frac{1}{2^{2p-1}}-\frac{1}{2^{p-1}} \\
    &= \frac{3^p-1}{2^{2p-1}}-\frac{1}{2^{p-1}}
\end{align*}
....

\q (facile/moyen) Non, on peut imaginer des configurations de tours où elles ne le sont pas. a) si on a un groupe de 1 $f$, et le reste de la plus petite valeur 1 ; b) la situation inverse ; c) si on un groupe de 1 f, et un groupe de $f+1$ 1 ; d) Si on a 1 "1" et le reste de "2", mieux vaut relancer le seul "1".  La manière de justifier peut être dur ? 

\q (moyen) On avait précédemment noté $d^n$ le nombre de dés au début du tour $n$, on suppose $d^n$ connu.
Si pas de "face", proba $\frac{1}{2^{d^n}}$ pour le gain $d^n$. 
Sinon, proba $\binom{d^n}{k}\frac{1}{2^{d^n}}$ d'avoir le gain $2k$
Donc gain moyen 
\begin{align*}
    \frac{1}{2^{d^n}}\times d^n + \sum_{k=1}^{d^n}\binom{d^n}{k}\frac{1}{2^{d^n}}\times 2k &= \frac{1}{2^{d^n}}\times \left(d^n +2\sum_{k=1}^{d^n} \binom{d^n-1}{k-1}(d^n-1)\right) \\
    &= \frac{1}{d^n}\left(d^n + 2\times d^n\times 2^{d^n-1}\right) \\
    &= \frac{d^n}{2^{d^n}}(1+2^{d^n})
\end{align*}