\section{À vos dés, prêt, jouez !}

Soit $p \geq 2$, $f \geq 2$ et $n \geq 1$. Clémentine joue avec $p$ dés à 6 faces dans un jeu en plusieurs tours, où l'objectif est de maximiser un gain $G$. Au premier tour ($n=1$) de sa partie, elle lance tous les dés et les regroupe ensuite par valeur (tous les dés montrant "1", tous les dés montrant "2", etc.). Elle sélectionne ensuite un groupe de dés, dont elle additionne les valeurs pour les ajouter à son gain, puis recommence avec les dés restants.

% \textcolor{red}{OU ? }

% Au début de chaque tour $n$, Clémentine lance tous les dés restants et les regroupe par valeurs identiques (tous les dés montrant "1", tous les dés montrant "2", etc.). Elle choisit ensuite un groupe de dés, dont elle additionne les valeurs pour les ajouter à son gain. Ces dés sont ensuite retirés, et le tour suivant commence avec les dés restants. Le jeu se poursuit jusqu'à ce qu'il n'y ait plus de dés.

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Voici un exemple de déroulement de la partie pour 6 dés : %(\url{https://www.de-en-ligne.fr/6-des/6-faces.html}) :
\begin{itemize}
    \item \underline{Premier tour :} Clémentine lance les dés et obtient $1$, $4$, $4$, $5$, $2$, et $2$. Elle regroupe les résultats en $\{1\}$, $\{2, 2\}$, $\{4, 4\}$ et $\{5\}$. Elle choisit d'utiliser le groupe $\{4, 4\}$ et ajoute $8$ à son gain, ce qui donne $G_1 = 8$.
    
    \item \underline{Deuxième tour :} Il reste à Clémentine 4 dés. Elle les lance et obtient $2$, $3$, $5$ et $1$. Elle regroupe les résultats en $\{1\}$, $\{2\}$, $\{3\}$ et $\{5\}$. Elle choisit d'utiliser le groupe $\{5\}$, ce qui ajoute $5$ à son gain, donc $G_2 = 5$.
    
    \item \underline{Troisième tour :} Clémentine lance les 3 dés restants et obtient $2$, $2$, et $1$. Elle décide d'utiliser le groupe $\{2, 2\}$, ce qui lui rapporte $4$ de plus, soit $G_3 = 4$.
    
    \item \underline{Quatrième tour :} Elle lance son dernier dé et obtient un $6$. Elle ajoute cette valeur à son gain, soit $G_4 = 6$.
\end{itemize}


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Le gain total de Clémentine à la fin de cette partie est donc $G = G_1 + G_2 + G_3 + G_4 = 23$.% Par la suite, à un tour fixé $n$, on note $d^n_k$ le nombre de dés montrant la valeur $k$.

Dans un premier temps, on suppose que Clémentine joue avec des pièces, c'est-à-dire le cas $f=2$ où "pile" correspond à $1$ et "face" à $2$. Clémentine suit alors une stratégie simple : à chaque tour, elle choisit toujours le groupe de pièces montrant "face". Si aucune "face" n'est obtenue, elle est contrainte de prendre le groupe de "pile".

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\q Quel est l'encadrement du gain possible au premier tour ? à la fin du jeu ? 

\q Quelle est la probabilité que la partie finisse en 1 seul tour ? 

\q Combien de tours durent en moyenne une partie ? 

\q Quel est le gain moyen à un tour fixé $n$ en fonction du nombre de dé restant au début du tour pour cette stratégie ? 

\vspace*{0.5cm}
On suppose maintenant que Clémentine joue avec des dés à un nombre quelconque $f$ de faces, les valeurs allant de $1$ à $f$. Clémentine envisage différentes stratégies : 
\begin{enumerate}
    \item À chaque tour, Clémentine ajoute à son gain le groupe de dés avec le cardinal le plus élevé. % (\textcolor{gray}{$\max(d^n_k)$}). 
    
    \item À chaque tour, Clémentine ajoute à son gain le groupe de dés avec le cardinal le plus faible. %(\textcolor{gray}{$\min(d^n_k)$}). 
    
    \item À chaque tour, Clémentine ajoute à son gain le groupe de dés avec la somme des valeurs la plus élevée. % (\textcolor{gray}{$\max(k \cdot d^n_k)$}). 
    
    \item À chaque tour, Clémentine ajoute à son gain le groupe de dés avec la valeur maximale . %(\textcolor{gray}{$\max(k)$}).
\end{enumerate}
Si plusieurs groupes remplissent les critères de la stratégie choisie, Clémentine sélectionne celui qui maximise son gain immédiat ou utilise le moins de dés.

\vspace*{0.5cm}
\q Les stratégies proposées sont-elles optimales ? 

\q  Existe-t-il des cas où une stratégie serait clairement meilleure qu’une autre ? Donner des exemples.

\q Peut-on proposer une nouvelle stratégie, ou un mélange des stratégies précédentes, qui serait plus efficace ? Si oui, dans quels cas ?

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\textcolor{red}{EN fait je suis finalement pas fan des faces différentes.... si on veut optimiser on met des 6 partout sauf sur une face... si on veut minimiser idem avec 1 et 2...}

Enfin, pour aller plus loin, on considère le cas où les dés ont $f$ faces personnalisées avec des valeurs quelconques $f_1, f_2, \ldots, f_f$. On appelle dé trivial, un dé où toutes ses faces sont identiques. On suppose que les dés ne peuvent pas être triviaux ici. % Blabla fournit les dés à Clémentine et veut tout faire pour que le gain de Clémentine soit le plus petit possible.

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\textcolor{red}{Je préférais ton idée de face interdite. On peut poser que nos $f-1$ faces sont ok d'obtenir mais la face $f$ est interdite (arbitrairement la plus grande ou la plus petite, j'ai pas l'impression que ça change grand chose...)}

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Une nouvelle règle vient compliquer la partie : une face interdite $1\leq v\leq f$ est définie avant le début du jeu. Si cette face apparaît sur au moins un dé lors d'un lancer, la partie s'arrête immédiatement, et Clémentine perd tout gain non comptabilisé avant ce tour.

Voici un exemple de déroulement de la partie pour $6$ dés à $6$ faces, où la face interdite est $6$ : 
\begin{itemize}
    \item \underline{Premier tour :} Clémentine lance les dés et obtient $1$, $4$, $4$, $5$, $2$, et $2$. La face interdite $6$ n’apparaît pas. Elle regroupe les résultats en $\{1\}$, $\{2, 2\}$, $\{4, 4\}$ et $\{5\}$. Elle choisit d'utiliser le groupe $\{4, 4\}$ et ajoute $8$ à son gain, ce qui donne $G_1 = 8$.
    \item \underline{Deuxième tour :} Il reste à Clémentine $4$ dés. Elle les lance et obtient $2$, $3$, $5$, et $6$. La face interdite $6$ est obtenue, donc la partie s'arrête immédiatement, et Clémentine perd les gains restants de ce tour.
\end{itemize}
Dans cet exemple, le gain final de Clémentine est $G = G_1 = 8$.

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\q Quel est le gain possible au premier tour ?

\vspace*{0.5cm}
On suppose maintenant que le dé n'est pas équilibré et que la face interdite à une probabilité $prob_v$ d'apparaître. Les autres faces ont la même probabilités d'être obtenues. 

\vspace*{0.5cm}
\q Combien de tours la partie dure-t-elle en moyenne, en fonction de $p$, $f$, et de la probabilité d’apparition de la face interdite $prob_v$ ?

\q Comment adapter les stratégies précédentes, données à la question 3, à la présence d’une face interdite ?

\q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche.