\section{Transformation de papillons}

Pour embellir les différents tournois du \tfjm, le comité national d'organisation décide de faire un élevage de $N$ papillons ($N$ impair). À l’origine, le papillon numéro $i$ a une envergure égale à $x_i$ cm. Chaque jour, certains papillons subissent une transformation qui modifie leur envergure. La manière de choisir le papillon qui subit la transformation peut varier (par exemple, le plus petit, le plus grand, un choix aléatoire, ou le papillon avec l’envergure médiane).

\q Dans cette question seulement, on suppose que tous les papillons ont une envergure de $1$ cm. Chaque jour, seul l'un des papillons d'envergure maximale voit celle-ci être divisée par deux. Combien de temps faudra-t-il pour que tous les papillons aient une envergure strictement inférieure à $0.5$ cm ? Et pour $0.1$ cm ? Que se passe-t-il si la transformation réduit l'envergure d'un des papillons de taille médiane ? 

\q Désormais, on suppose que les transformations alternent : 
\begin{itemize}
    \item La première transformation s'applique à l'un des papillons ayant une envergure médiane, qui perd alors la moitié de sa taille.
    \item La seconde transformation s'applique à l'un des papillons ayant une envergure médiane, qui gagne alors la moitié de sa taille.
\end{itemize}
Est-il possible que l'un des papillons atteigne une taille arbitrairement grande ? 

\q  Que devient la question précédente si la seconde transformation multiplie la taille du papillon par $2$ à la place ?

\medskip

Nous faisons désormais l'hypothèse que tous les papillons se transforment en même temps.

\q Chaque jour, chaque papillon se transforme en deux papillons: Le premier hérite de 80\% de l'envergure du parent, et le second de 125\%.
Soit $x \in [0, \infty[$. Estimer la proportion de papillons ayant une taille supérieure à $x$ le $n$-ème jour ? Et la proportion de papillons ayant une taille inférieure à $x$ ? (\textit{On pourra commencer par regarder des valeurs particulières de $x$})



\q Chaque jour, chaque papillon se transforme en deux papillons. Le premier hérite de 80\% de l'envergure de son parent, et le second de 125\% de l'envergure de son grand-parent. (Puisqu'il n'y a pas de grand parent à la première transformation, on supposera que le grand parent a la même envergure que le parent.)
Soit $x \in [0, \infty[$. Quelle est la proportion de papillons ayant une taille strictement supérieure à $x$ le $n$-ème jour ? Et la proportion de papillons ayant une taille strictement inférieure à $x$ ? (\textit{On pourra commencer par regarder des valeurs particulières de $x$})

\q Chaque jour, chaque papillon se transforme en deux papillons. La taille des nouveaux papillons est tirée aléatoirement selon une loi de probabilité continue. Peut-on retrouver cette loi de probabilité en observant assez longtemps l'évolution des papillons ?

\q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche.
