\section{Gerrymandering}

Elbridge cherche à déplacer les capitales des différents districts vers les emplacements qui avantagent son parti, en le moins d'années possible.

Soit $P$ une partie du plan, qui représente un pays, et $n \ge 2$.
On appelle \textbf{configuration} un choix de $n$ points $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_n$, qui représentent les capitales des districts.
A chaque configuration est associée un \textbf{découpage} de $P$, où le district $D_i$ est constituée de l'ensemble des points strictement plus proches de $A_i$ que de tous les autres points.

Chaque année, Elbridge peut déplacer, simultanément, chaque capitale $A_i$ vers un nouvel emplacement $A_i' \in D_i$.
On dit alors que $(A_1',\ldots,A_n')$ est \textbf{réalisable} à partir de $(A_1,\ldots,A_n)$ en 1 année.
Plus généralement, on définit, pour une configuration $C'$, le fait d'être réalisable à partir de $C$ comme le fait qu'il existe $a \in \N$ tels que $C'$ soit réalisable à partir de $C$ en $a$ années.
Voir Fig. \ref{fig:gerry}.


\begin{figure}
	\centering
	
	\begin{tikzpicture}[scale = .6] %1
	% Bordures
	\draw[thick] (0,0) rectangle (8,6);
	
	% Points
	\coordinate (A) at (1,3);
	\coordinate (B) at (3,1);
	\coordinate (C) at (3,5);
	
	\foreach \pt/\name in {A/{$A_1$}, B/{$A_2$}, C/{$A_3$}} {
		\fill[black] (\pt) circle (2pt) node[below right] {\name};
	}
	
	\draw[->, thick] (C) -- (7,5);

	% Districts
	\draw[very thick, dashed] (0,0) -- (3,3) -- (0,6);
	\draw[very thick, dashed] (3,3) -- (8,3);
	\end{tikzpicture}
	~
	\begin{tikzpicture}[scale = .6] %2
	% Bordures
	\draw[thick] (0,0) rectangle (8,6);
	
	% Points
	\coordinate (A) at (1,3);
	\coordinate (B) at (3,1);
	\coordinate (C) at (7,5);
	
	\foreach \pt/\name in {A/{$A_1$}, B/{$A_2$}, C/{$A_3$}} {
		\fill[black] (\pt) circle (2pt) node[below right] {\name};
	}
	
	\draw[->, thick] (B) -- (4,3);
	\draw[->, thick] (C) -- (7,3);

	% Districts
	\draw[very thick, dashed] (0,0) -- (4,4) -- (3.33,6);
	\draw[very thick, dashed] (4,4) -- (8,0);
	\end{tikzpicture}
	~
	\begin{tikzpicture}[scale = .6] %3
	% Bordures
	\draw[thick] (0,0) rectangle (8,6);
	
	% Points
	\coordinate (A) at (1,3);
	\coordinate (B) at (4,3);
	\coordinate (C) at (7,3);
	
	\foreach \pt/\name in {A/{$A_1$}, B/{$A_2$}, C/{$A_3$}} {
		\fill[black] (\pt) circle (2pt) node[below right] {\name};
	}

	% Districts
	\draw[very thick, dashed] (2.5,0) -- (2.5,6);
	\draw[very thick, dashed] (5.5,0) -- (5.5,6);
	\end{tikzpicture}

	\caption{Exemple où $P$ est l'intérieur d'un rectangle et $n=3$. La troisième configuration est réalisable à partir de la première en 2 années (mais pas en 1 seule).}
	\label{fig:gerry}
\end{figure}


Dans un premier temps, on se place dans le cas où $P$ est un cercle centré en l'origine.

\q A partir d'une configuration donnée, quelles configurations sont réalisables ?

\q On fixe $n$.
On part de la configuration $C$ où les capitales forment un polygone régulier centré en l'origine. La configuration où chaque capitale occupe la position symétrique par rapport à l'origine est-elle réalisable ?
Si oui, déterminer (aussi précisément que possible), en fonction de $n$, la plus petite valeur de $a$ telle qu'elle soit réalisable en $a$ années.

\q On fixe $n$ et un demi-cercle $M$ de $P$.
Existe-t-il une valeur $e$ telle que, pour toute configuration $C$, il existe une configuration réalisable en $a$ années où toutes les capitales appartiennent à $M$ ?
Si oui, déterminer (aussi précisément que possible), en fonction de $n$, la plus petite valeur de $a$ qui convient.

\q On fixe $n$.
Existe-t-il une valeur $a$ telle que, pour toute configuration $C$ et toute configuration $C'$ réalisable à partir de $C$, $C'$ est réalisable en $a$ années à partir de $C$ ?
Si oui, déterminer (aussi précisément que possible), en fonction de $n$, la plus petite valeur de $a$ qui convient.

\q Reprendre les questions précédentes, où $P$ est le plan entier.
Dans la question 3, $M$ est un demi-plan.

\q Généraliser au cas des dimensions supérieures.

\q Proposer et étudier d'autres directions de recherche.