\section{Points colorés sur un cercle}

Lucie a inventé un jeu. Les règles sont les suivantes.

Le jeu se déroule sur un cercle. Au départ, les points du cercle sont non colorés. L'un des deux adversaires est désigné pour jouer en premier. Chacun leur tour, Lucie et son adversaire jouent (c'est à dire, choisissent) un point, qui sera alors coloré en leur couleur respective : Orange pour Lucie, Bleu pour son adversaire. Lorsqu'ils jouent, il leur est interdit de choisir un point qui a déjà été coloré par l'un d'eux. Lucie convient à l'avance du \textit{nombre de coups} que la partie durera. Tous deux jouent le même nombre de coups, de sorte que le nombre de coups est un entier pair, noté $2n$. Par exemple, si le nombre de coups vaut $2n = 6$ coups, ils joueront $n=3$ coups chacun. La partie s'arrête donc lorsque les $2n$ coups sont joués. 

\medskip

À la fin de la partie, le cercle est découpé en arcs de cercle dont les extrémités sont soit orange, soit bleu. Dans une telle configuration, un \textit{arc primitif} est un arc dont les deux extrémités sont colorées (en orange ou en bleu) et dont tous les autres points ne sont pas colorés (par exemple, le cercle tout entier, vu comme un arc de cercle, n'est jamais primitif). Les arcs primitifs dont les deux extrémités sont orange sont alors colorés en orange, et ceux dont les extrémités sont toutes deux bleues sont colorés en bleu. Le gagnant est alors celui étant parvenu à former l'arc de cercle non nécessairement primitif le plus long entièrement coloré de sa propre couleur. S'il y a égalité de tels arcs, ou s'il n'en existe aucun, la partie est déclarée nulle.

\begin{figure}[h]
    \centering
        \begin{tikzpicture}
            \begin{scope}

            \draw (0,0) circle (1.5cm);

            \foreach \angle in {45, 120, 200} {
                \filldraw[fill=orangeAnimath] (\angle:1.5cm) circle (2pt); % Points sur le cercle de rayon 2 cm
            }

            \foreach \angle in {80, 160, 270} {
                \filldraw[fill=bleuAnimath] (\angle:1.5cm) circle (2pt); % Points sur le cercle de rayon 2 cm
            }
            
            \end{scope}

        \begin{scope}[xshift=5cm]
            \draw (0,0) circle (1.5cm);

            \coordinate (A1) at (30:1.5cm);  
            \coordinate (A2) at (300:1.5cm); 
            \coordinate (A3) at (150:1.5cm); 
            \coordinate (B1) at (219:1.5cm);
            \coordinate (B2) at (319:1.5cm);
            \coordinate (B3) at (15:1.5cm);
            
            \draw[very thick, orangeAnimath] (A1) arc[start angle=30, end angle=150, radius=1.5cm];
            \draw[very thick, bleuAnimath] (B2) arc[start angle=319, end angle=375, radius=1.5cm];
            
            \foreach \angle in {30, 300, 150} {
                \filldraw[fill=bleuAnimath] (\angle:1.5cm) circle (2pt);
            }

            \foreach \angle in {219, 319, 15} {
                \filldraw[fill=bleuAnimath] (\angle:1.5cm) circle (2pt);
            }
            
        \end{scope}

        \begin{scope}[xshift=10cm]
            \draw (0,0) circle (1.5cm);
            
            \coordinate (A1) at (10:1.5cm);  
            \coordinate (A2) at (60:1.5cm); 
            \coordinate (A3) at (180:1.5cm); 
            \coordinate (A4) at (290:1.5cm); 
            \coordinate (A5) at (330:1.5cm); 

            \coordinate (B1) at (70:1.5cm);
            \coordinate (B2) at (95:1.5cm);
            \coordinate (B3) at (170:1.5cm);
            \coordinate (B4) at (190:1.5cm);
            \coordinate (B5) at (280:1.5cm);
            
            \draw[very thick, bleuAnimath] (A4) arc[start angle=290, end angle=420, radius=1.5cm];
            \draw[very thick, orangeAnimath] (B1) arc[start angle=70, end angle=170, radius=1.5cm];
            \draw[very thick, orangeAnimath] (B4) arc[start angle=190, end angle=280, radius=1.5cm];
            
            \foreach \angle in {10, 60, 180, 290, 330} {
                \filldraw[fill=bleuAnimath] (\angle:1.5cm) circle (2pt); % Points sur le cercle de rayon 2 cm
            }

            \foreach \angle in {70, 95, 170, 190, 280} {
                \filldraw[fill=orangeAnimath] (\angle:1.5cm) circle (2pt); % Points sur le cercle de rayon 2 cm
            }        
        \end{scope}
    \end{tikzpicture}
    \caption{Deux fins de partie pour $2n = 6$ et une pour $2n = 10$. À gauche, il n'y a pas d'arcs colorés (pas d'arc primitif) ; la partie est donc nulle. Au centre, Lucie (en orange) gagne : elle a réussi à construire un arc de taille maximale. À droite, l'adversaire (en bleu) gagne car il a formé un arc (non primitif) bleu de taille maximale.}
	\label{fig:Exemple}
\end{figure}

Dans tout le problème, on appelle \textit{stratégie} une manière déterministe de décrire quoi jouer en fonction des coups qui ont été joués précédemment. Autrement dit, une stratégie est un algorithme qui indique quel coup jouer en fonction de la situation courante, de sorte que, dans deux situations identiques, il indiquera toujours le même coup à jouer.

Comme Lucie n'aime pas perdre, elle commence par se choisir pour adversaire l'Idiot du Village. Ce dernier portant bien son nom, il joue ses coups aléatoirement, sans réfléchir. Chaque coup joué suit alors une loi uniforme sur le cercle. Lucie cherche alors des stratégies qui maximisent sa probabilité de gagner contre cet adversaire.

Lucie et son adversaire conviennent de commencer par fixer $2n = 4$.

\q Montrer que si Lucie laisse son adversaire jouer en premier, elle dispose d'une stratégie lui permettant de gagner à tous les coups.

\q Après qu'elle ait gagné une partie, son adversaire la laisse jouer en premier.

\begin{enumerate}

    \item Lucie dispose-t-elle dispose d'une stratégie lui permettant de gagner quoi qu'il advienne ?

    \item Étudier l'ensemble des $ p \in [0,1] $ tels qu'il existe une stratégie permettant à Lucie de gagner avec une probabilité exactement $p$.

    \item Même question pour des probabilités de ne pas perdre.

\end{enumerate}

\q Lucie et son adversaire choisissent désormais $2n > 4$. 

\begin{enumerate}
    
    \item Reprendre la question précédente en étudiant dans ce nouveau contexte l'ensemble des $ p \in [0,1] $ tels qu'il existe une stratégie permettant à Lucie de gagner avec une probabilité exactement $p$. On pourra commencer par le cas $2n = 6$.

    \item Même question pour des probabilités de ne pas perdre.

\end{enumerate}

Lucie propose un pacte à son adversaire. Ils conviennent d'un entier $p \geqslant n $, et les règles sont changées de sorte que l'adversaire de Lucie place $p$ points plutôt que $n$. Comme la règle du tour-par-tour est alors difficile à appliquer, ils conviennent que l'adversaire de Lucie placera tous ses points en premier. Ce dernier joue toujours aléatoirement sur le cercle, mais avant Lucie, de sorte que cette dernière a alors toute la liberté de choisir où placer ses points. Lucie a donc plus d'information que son adversaire, mais en contrepartie, ce dernier peut placer plus de points qu'elle.

\q Déterminer des conditions nécessaires et suffisantes sur $n,p$ pour que Lucie dispose d'une stratégie lui permettant de gagner avec probabilité 1.

\medskip

Pour essayer, Lucie et son adversaire reprennent exactement la même configuration que la précédente, mais en échangeant les rôles. Lucie place $p$ points, son adversaire en place $n$. Ce dernier joue toujours aléatoirement, et Lucie place tous ses points en premier. De plus, cette fois-ci, on n'impose plus $ p \geqslant n $. 

\q Étudier l'existence d'une configuration de ses $p$ points maximisant sa probabilité de gagner.

\medskip

Fatiguée de jouer avec l'Idiot du Village, Lucie se trouve un adversaire à sa taille : Lucien. L'un des deux joueurs est désigné pour jouer en premier, et $ 2n \in \mathbb N^* $ est fixé. La règle du tour-par-tour est alors appliquée. Lucien commence à jouer.

\q L'un des deux joueurs dispose-t-il d'une stratégie gagnante ?

\q Lucie se demande : que dire des questions précédentes si elle avait convenu dès le départ que le gagnant était non pas celui ayant l'arc le plus long, mais celui étant parvenu à maximiser la somme des longueurs des arcs primitifs de sa couleur ?

\q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche.