\section{Plats à tarte gradués}

Lors d'un tournoi de tartes, différentes familles veulent faire des découpages en parts égales.
Chaque famille va fabriquer son propre moule à tarte sur lequel elle va indiquer des graduations qui correspondent aux endroits où il faut découper entre le centre et la graduation pour former des parts égales. C'est à dire que pour un nombre $u \in \mathbb{N}^*$, on va faire apparaître $u$ fois un trait avec le numéro $u$ indiqué sur le bord du moule à tarte formant un $u$-gone régulier inscrit dans le cercle.

Bien sûr, un même moule doit pouvoir avoir plusieurs graduations parce que le nombre $u$ de parts de tarte qu'on voudra faire n'est pas toujours le même suivant le nombre de convives. On note alors $N$ le nombre de numéros de graduations différentes qu'on veut faire apparaître et $S=\{u_1,\cdots,u_n\}$ l'ensemble des numéros qu'on veut faire apparaître.
On peut identifier le moule à tarte à un cercle (car on ne veut faire que des tartes rondes) et les graduations à des points de ce cercle.

Par exemple, le plat à tarte de graduations $S=\{1,2,3,4,6\}$ peut être gradué en 

\definecolor{ffxfqq}{rgb}{1,0.4980392156862745,0}
\definecolor{qqqqff}{rgb}{0,0,1}
%\begin{figure}\label{Tarte2346}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm]
\clip(-7.1887117772063505,-5.214334927330245) rectangle (4.709645495055514,4.454700503069911);
\fill[line width=1.2pt,dotted,color=ffxfqq,fill=ffxfqq,fill opacity=0.1] (0,3) -- (-2.5921263903390326,1.510258513138707) -- (-2.5980356128150675,-1.4794595341455998) -- (-0.011818444952069662,-2.979436094568614) -- (2.580307945386963,-1.4896946077073219) -- (2.5862171678629995,1.5000234395769845) -- cycle;
\fill[line width=1.2pt,dotted,color=ffxfqq,fill=ffxfqq,fill opacity=0.1] (0,3) -- (-3,0) -- (0,-3) -- (3,0) -- cycle;
\fill[line width=1.2pt,dotted,color=ffxfqq,fill=ffxfqq,fill opacity=0.04] (3,0) -- (-1.5112146539727318,2.591569074830551) -- (-1.4999719814517594,-2.611041954849736) -- cycle;
\draw [line width=4pt,color=qqqqff] (0,0) circle (3cm);
\draw [line width=1.2pt,dotted,color=ffxfqq] (-2.5921263903390326,1.510258513138707)-- (-2.5980356128150675,-1.4794595341455998);
\draw [line width=1.2pt,dotted,color=ffxfqq] (-2.5980356128150675,-1.4794595341455998)-- (-0.011818444952069662,-2.979436094568614);
\draw [line width=1.2pt,dotted,color=ffxfqq] (-0.011818444952069662,-2.979436094568614)-- (2.580307945386963,-1.4896946077073219);
\draw [line width=1.2pt,dotted,color=ffxfqq] (2.580307945386963,-1.4896946077073219)-- (2.5862171678629995,1.5000234395769845);
\draw [line width=1.2pt,dotted,color=ffxfqq] (2.5862171678629995,1.5000234395769845)-- (0,3);
\draw [line width=1.2pt,dotted,color=ffxfqq] (0,3)-- (-3,0);
\draw [line width=1.2pt,dotted,color=ffxfqq] (-3,0)-- (0,-3);
\draw [line width=1.2pt,dotted,color=ffxfqq] (0,-3)-- (3,0);
\draw [line width=1.2pt,dotted,color=ffxfqq] (3,0)-- (0,3);
\draw [line width=1.2pt,dotted,color=ffxfqq] (3,0)-- (-1.5112146539727318,2.591569074830551);
\draw [line width=1.2pt,dotted,color=ffxfqq] (-1.5112146539727318,2.591569074830551)-- (-1.4999719814517594,-2.611041954849736);
\draw [line width=1.2pt,dotted,color=ffxfqq] (-1.4999719814517594,-2.611041954849736)-- (3,0);
\draw [line width=2pt,dash pattern=on 1pt off 1pt] (-1.5112146539727318,2.591569074830551)-- (0,0);
\draw [line width=2pt,dash pattern=on 1pt off 1pt] (0,3)-- (0,0);
\draw [line width=2pt,dash pattern=on 1pt off 1pt] (0,0)-- (-2.5921263903390326,1.510258513138707);
\draw [line width=2pt,dash pattern=on 1pt off 1pt] (0,0)-- (-3,0);
\draw [line width=2pt,dash pattern=on 1pt off 1pt] (0,0)-- (-2.5980356128150675,-1.4794595341455998);
\draw [line width=2pt,dash pattern=on 1pt off 1pt] (0,0)-- (-1.4999719814517594,-2.611041954849736);
\draw [line width=2pt,dash pattern=on 1pt off 1pt] (0,0)-- (-0.011818444952069662,-2.979436094568614);
\draw [line width=2pt,dash pattern=on 1pt off 1pt] (0,0)-- (2.580307945386963,-1.4896946077073219);
\draw [line width=2pt,dash pattern=on 1pt off 1pt] (0,0)-- (3,0);
\draw [line width=2pt,dash pattern=on 1pt off 1pt] (0,0)-- (2.5862171678629995,1.5000234395769845);
\begin{scriptsize}
\draw [fill=qqqqff] (0,0) circle (2pt);
\draw[color=qqqqff] (0.06954538234337101,0.2617608760800316) node {centre};
\draw [fill=qqqqff] (0,3) circle (2pt);
\draw[color=qqqqff] (0.1991571173353303,3.5150154243782072) node {$4\ 6$};
\draw [fill=qqqqff] (-2.5921263903390326,1.510258513138707) circle (2pt);
\draw[color=qqqqff] (-3.0800197779612404,1.8948687369787174) node {$2\ 6$};
\draw [fill=qqqqff] (-2.5980356128150675,-1.4794595341455998) circle (2pt);
\draw[color=qqqqff] (-3.0670586044620447,-1.721298669296944) node {$1\ 6$};
\draw [fill=qqqqff] (2.580307945386963,-1.4896946077073219) circle (2pt);
\draw[color=qqqqff] (3.128382328153611,-1.8120268837913152) node {$2\ 6$};
\draw [fill=qqqqff] (2.5862171678629995,1.5000234395769845) circle (2pt);
\draw[color=qqqqff] (3.0376541136592397,1.8948687369787174) node {$6$};
\draw [fill=qqqqff] (-3,0) circle (2pt);
\draw[color=qqqqff] (-3.507738503434706,0.08030444709128878) node {$4$};
\draw [fill=qqqqff] (0,-3) circle (2pt);
\draw[color=qqqqff] (0.13435124983935068,-3.302561836198846) node {$4\ 6$};
\draw [fill=qqqqff] (3,0) circle (2pt);
\draw[color=qqqqff] (3.698673962118232,0.041420926593701016) node {$3\ 4$};
\draw [fill=qqqqff] (-1.5112146539727318,2.591569074830551) circle (2.5pt);
\draw[color=qqqqff] (-1.7579800810432553,3.1650637398999173) node {$3$};
\draw [fill=qqqqff] (-1.4999719814517594,-2.611041954849736) circle (2pt);
\draw[color=qqqqff] (-1.7579800810432553,-3.0044548457173397) node {$3$};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
%\end{figure}

Il y a donc $10$ graduations sur le plat à tarte
% de la Figure~\ref{Tarte2346}
avec au plus $2$ au même endroit sur cet exemple.


\q Soit $a$ et $b$ deux entiers naturels distincts. On prend $N=2$, $u_1 = a$ et $u_2 = b$ de sorte que $S = \{a,b\}$. Quel est le nombre minimal de graduations à mettre sur le moule à tarte afin d'être capable de couper la tarte à la fois en $a$ parts égales ou en $b$ parts égales?

\q On veut maintenant $N=3$ graduations, c'est-à-dire que $S=\{a,b,c\}$ avec $a,b,c \in \mathbb{N}^*$ deux à deux distincts. Quel est le nombre minimal de graduation à mettre sur le plat à tarte afin d'être capable de couper la tarte à la fois en $a$ parts égales, $b$ parts égales ou $c$ parts égales?

%\q Par manque de place, on veut mettre au plus deux fois la même graduation en un point donné. Quelle est alors le nombre minimal de graduations à mettre sur le plat à tarte pour permettre les découpages $S =\{a,b,c\}$?

\medskip

Désormais, il y a différentes familles qui s'affrontent dans un tournoi de graduations de moules à tarte. Chacun famille doit choisir $N$ valeurs distinctes à graduer $S =\{u_1,\dots,u_N\}$.
\begin{itemize}
\item La famille \textbf{Première} choisit de graduer les $N$ premiers nombres premiers, soit $S^{p}_N = \{p_1,p_2,\cdots,p_N\}$.
\item La famille \textbf{Géométrique} choisit un entier $a \geqslant 2$ et de graduer les puissances de $a$, soit $S^g_N = \{1,a,a^2,\cdots,a^{N-1}\} $.
\item La famille \textbf{Complète} choisit de graduer les $N$ premiers nombres entiers naturels, soit $S^c_N = \{1,2,\cdots,N\}$.
\item La famille \textbf{Divisée} choisit le plus petit entier $\alpha_N$ qui admet exactement $N$ diviseurs $\delta_{1,\alpha_N}, \dots, \delta_{N,\alpha_N}$ et choisit de graduer les $N$ diviseurs de $\alpha_N$, soit $S^d_N = \{\delta_{1,\alpha_N},\cdots,\delta_{N,\alpha_N}\}$.
\end{itemize}

Par exemple, si $N=6$, on a:
\begin{itemize}
    \item $S^p_6 = \{2,3,5,7,11,13\}$.
    \item $S^g_6 = \{1,2,4,8,16,32\}$ pour $a = 2$.
    \item $S^c_6 = \{1,2,3,4,5,6\}$.
    \item $S^d_6 = \{1,2,3,4,6,12\}$ car $\alpha_6 = 12$.
\end{itemize}

\q Les familles choisissent qu'il existe un point d'origine du cercle sur lequelle toutes les graduations apparaissent, combien y aura-t-il alors $G^p_N$ (resp. $G^g_N,G^c_N,G^d_N$) de graduations, pour la famille Première (resp. Géométrique, Complète, Divisée), sur le plat à tartes.
Donner un encadrement le plus précis possible pour $G^p$ (resp. $G^g,G^c,G^d$).
% en fonction des éléments de $S_N^p$ (resp. $S^g_N, S^c_N, S^d_N$).

\medskip

Les épaisseurs des traits de graduation posent des problèmes de lecture. Les familles veulent donc mettre le moins possible de graduations sur le plat à tartes. Elles se demandent si toutes les faire démarrer à la même origine est vraiment le plus efficace.

\q Peut-on trouver un exemple d'une famille $S_N^u = \{u_1,\cdots,u_N\}$ pour lequel il est possible de faire mieux quand les graduations ne démarrent pas toutes au même endroit
si $N=3$?
si $N=4$?
pour un $N$ assez grand? 

Dans ce cas, estimer aussi précisément que possible le nombre $\widehat{G}^u_N$ de graduations qu'on peut mettre en fonction de $N$ et de $S=\{u_1,\dots,u_N\}$.

%\q Est-il possible que $S_N^u$ soit l'une des quatre familles décrites précédemment? Estimer aussi précisément que possible le nombre minimal de graduations $\widehat{G}^p$ (resp. $\widehat{G}^g, \widehat{G}^c, \widehat{G}^d$) dans ce cas.

\q Lorsque ce minimum est atteint, pour chacune des quatre familles précédemment décrite, combien doit-on mettre de graduations au même endroit au minimum?

\q Existe-t-il un entier $N$ tel que pour $n > N$, l'ordre entre les $\widehat{G}^p$ (resp. $\widehat{G}^g, \widehat{G}^c, \widehat{G}^d$ fini par être toujours le même. Si oui, quel est cet ordre?


\q Existe-t-il une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ telle que pour tout $N \in \mathbb{N}^*$, on a $S_N^u \leqslant \min(S^p_N,S^g_N,S^c_N,S^d_N)$?

\q Proposer et explorer d'autres pistes de recherche.