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\section*{Eléments de réponse}
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\q (facile) Le maximum est 14, le minimum 13. Modulo symétries, il n'y a que 3 configurations.
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\q a) (facile/moyen) Toutes les configurations s'équivalent. Le résultat est $n(n-1)+(n-1)(n-2)+(n-2)(n-3)+...+2 \times 1 = (n-1)n(n+1)/3$.
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b) (facile) Max : $2m+(2m-1)+...+(m+1)=m(3m+1)/2$.
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Min : $2m+(2m-2)+(2m-4)+...+2=m(m+1)$.
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c) (moyen) Max, $n=2k$ pair : $2(2k+(2k-1)+...+(k+1))=k(3k+1)$.
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Max, $n=2k+1$ impair : $2((2k+1)+2k+...+(k+2))+k+1=(k+1)(3k+1)$.
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Min : $2n+(n-1)+(n-2)+...+2=(n^2+3n-2)/2$.
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d) (moyen à difficile) Max, $k$ pair : $\frac{3}{2}k^4 - k^3 - k^2 + 3k - 4$.
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Max, $k$ impair : $\frac{3}{2}k^4 - k^3 - k^2 + f(k)$. où $f(x) = \max(4k-\frac{19}{2},2k-\frac{3}{2})$
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Min : $k^4 - \frac{2}{3}k^3 + \frac{3}{2}k^2 - \frac{11}{6}k$.
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\q (ouvert) Pour le max, tout algorithme optimal est glouton, à savoir que le sommet $n$ doit avoir un degré maximal, puis en le retirant et ses voisins le sommet $n-1$ doit avoir un degré maximal, etc. Mais ce n'est pas une condition suffisante (contre-exemple : ligne avec $n=5$).
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Idem pour le min (contre-exemple : $n=5$, une ligne de 2 et une ligne de 3 disjointes).
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\q a) Facile, b) Facile c) Faisable ? (avec l'idée de la question précédente) d) Ouvert
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\q Question principale du problème
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Q1 (facile) max vaut 25, min vaut 21
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Q2a (moyen) Pour le graphe complet $K_n$, toutes les numérotations ont le même poids. Ce poids vaut $\sum_{1\leq i\leq j\leq n} ij = \frac{1}{24}n(n-1)(n+1)(3n+2)$.
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Q2b (moyen) Pour le graphe des pairs $P_n$, c'est l'inégalité du réordonnement qui conclut.
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Q2c (moyen/difficile) Pour l'anneau, on peut judicieusement utiliser l'inégalité du réordonnement.
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Premier lemme : pour le poids maximal, les deux chemins entre 1 et $n$ sont formés de nombres croissants. Sinon un échange rend le poids meilleur.
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Deuxième lemme : pour le poids maximal, chaque découpage de l'anneau en deux chaînes d'extrémités $a, b$ et $c, d$ vérifie: si $a<b$ alors $c<d$ (si $a$ et $c$ sont collés).
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Le deuxième lemme permet de conclure que le max est atteint par la numérotation où les des suites entre 1 et $n$ sont $1,2,4,6,8,..., n$ et $1,3,5,7,...,n$.
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La valeur du poids maximal se calcule. Si $n=2k$ est pair, le poids maximal vaut $\frac{8}{3}k^3+2k^2-\frac{11}{3}k+3$.
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Un raisonnement similaire montre que le minimum est atteint par $..., n-4,4,n-2,2,n,1,n-1,3,n-3,...$.
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Q2d (difficile) Pour la grille, on peut probablement tout calculer.
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Q3 et Q4 (ouvert) Probablement on peut trouver des estimations.
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\q (ouvert) |