Timothee
/
TFJM-2024
generated from Timothee/TFJM-Template
1
0
Fork 0
Code Issues Pull Requests Packages Projects Releases Wiki Activity

changement des brioches en cookies

This commit is contained in:
Timothee Rocquet 2023-12-28 15:16:52 +01:00
parent 22f0fee663
commit 2d778812e9
1 changed files with 52 additions and 61 deletions
Show Stats Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files

111
src/brioches.tex
View File

@ -1,82 +1,75 @@
\section{Brioches gonflées} \section{Drôles de cookies}
\'Eric a décidé de faire des brioches aux formes mathématiques pour les goûters du \tfjm. Perrine a décidé de faire des cookies aux formes mathématiques pour les goûters du \tfjm. Elle dispose d'un outil qui lui permet de déposer comme elle le souhaite de la pâte à cookie dans le plan suivant un nombre fini de segments de ligne droite (le point étant accepté comme exemple de segment de longueur $0$). En chaque point $P$ de l'un de ces segments, l'outil permet à Perrine de déposer de la pâte en quantité $R(P)\geq 0$ plus ou moins importante.
Il dispose d'un outil qui lui permet de déposer comme il le souhaite de la pâte à brioche dans le plan suivant un nombre \textbf{fini} de segments de ligne droite (le point étant accepté comme exemple de segment de longueur $0$).
En chaque point $P$ de l'un de ces segments, l'outil permet à \'Eric de déposer de la pâte en quantité $R(P)$ plus ou moins importante.
Lorsqu'elle est au four, la pâte gonfle et remplit le disque de rayon $R(P)$ centré en $P$ pour chaque point $P$ où \'Eric met de la pâte. Lorsqu'elle est au four, la pâte s'étale et remplit le disque de rayon $R(P)$ centré en $P$ pour chaque point $P$ où Perrine met de la pâte. La pâte de Perrine ne se repousse pas elle même. Par exemple si le disque de centre $P$ et de rayon $R(P)$ est contenu dans le disque de centre $P'$ et de rayon $R(P')$, alors la pâte s'étalera en un cookie de forme le disque de centre $P'$ et de rayon $R(P')$ uniquement. La forme du cookie après cuisson sera donc la réunion des disques de centre $P$ et de rayon $R(P)$ où $P$ parcourt l'ensemble des points où Perrine a mis de la pâte.
La pâte d'\'Eric ne se repousse pas elle même:
par exemple, si le disque de centre $P$ et de rayon $R(P)$ est contenu dans le disque de centre $P'$ et de rayon $R(P')$, alors la pâte gonflera en une brioche de forme le disque de centre $P'$ et de rayon $R(P')$ uniquement.
La forme de la brioche après cuisson sera donc la réunion des disques de centre $P$ et de rayon $R(P)$.
On appelle \textbf{brioche du plan}, ou plus simplement brioche, un ensemble de points du plan telle que la pâte d'\'Eric peut gonfler pour devenir cet ensemble en suivant ce procédé. On appelle \textbf{cookie du plan}, ou plus simplement cookie, un ensemble de points du plan telle que la pâte de Perrine peut s'étaler pour devenir cet ensemble en suivant ce procédé.
La figure \ref{fig:pate} représente deux exemples de cookies. Le orange est obtenu en étalant un pâte de rayon constant égal à $1$ sur un segment de longueur $1$. La bleue est composée à partir d'un segment de pâte de rayon variable et d'un autre point de pâte.
\textcolor{red}{Brioche, ou cookie, ou autre ?} \begin{figure}[!ht]
\begin{figure}[ht]
\centering \centering
\begin{tikzpicture}[scale=1] \begin{tikzpicture}
\fill[color=orangeAnimath] (0,2) -- (2,2) -- (2,-2) -- (0,-2) -- cycle; \begin{scope}[scale=1.5]
\fill[color=orangeAnimath] (0,0) circle (2); \fill[orangeAnimath] (0,1) arc (90:270:1) -- ++(1,0) arc (-90:90:1) -- cycle;
\fill[color=orangeAnimath] (2,0) circle (2); \draw [thick] (0,0) -- ++(1,0);
\draw[dashed, semitransparent] (0.3,0) node{\small $\times$} node[below]{$P_1$}
circle (1) -- ++(-0.8,0.6) node[midway,sloped,above]{\footnotesize $R(P_1)$};
\end{scope}
\draw (0,0) -- (2,0); \begin{scope}[scale=1,shift={(6,0)}]
\fill[bleuAnimath] (105:1.5) arc (105:345:1.5) -- ++(75:{sqrt(3)/2}) arc (-15:105:1) -- cycle;
\fill[bleuAnimath] (2,0) circle (1);
\draw [thick] (0,0) -- ++(45:1);
\draw [ultra thick] (2cm-1pt,0) -- (2cm+1pt,0);
\foreach \i in {0.2,0.8} {
\draw[dashed,semitransparent] (45:\i) node{\small $+$} circle ({1.5-\i/2});
}
\draw[dashed,semitransparent] (2,0) node{\small $\times$} circle (1);
\end{scope}
\end{tikzpicture} \end{tikzpicture}
\caption{La pâte est un simple segment de longueur 1, et le rayon $R(P)$ est partout égal à 1.} \caption{Deux exemples de cookies.}
\label{fig:pate_basique} \label{fig:pate}
\end{figure} \end{figure}
\begin{figure}[ht] Perrine aimerait notamment fabriquer les formes de cookie suivantes:
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\fill[color=orangeAnimath] (0,2) -- (2,1) -- (2,-1) -- (0,-2) -- cycle;
\fill[color=orangeAnimath] (0,0) circle (2);
\fill[color=orangeAnimath] (2,0) circle (1);
\draw (0,0) -- (2,0);
\fill[color=orangeAnimath] (5,0) circle (1.5);
\draw (4.8,-0.2) -- (5.2,0.2);
\draw (5.2,-0.2) -- (4.8,0.2);
\end{tikzpicture}
\caption{La pâte est constituée d'un point et un segment, et le rayon varie en fonction du point.}
\label{fig:pate_complexe}
\end{figure}
\'Eric aimerait notamment fabriquer les formes de brioches suivantes:
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item un disque de rayon $R$; \item un disque de rayon $R$;
\item un rectangle plein de côtés de longueurs $a$ et $b$; \item un rectangle plein de côtés de longueurs $a$ et $b$;
\item un triangle plein de côtés de longueurs $a$, $b$ et $c$; \item un triangle plein de côtés de longueurs $a$, $b$ et $c$;
\item un anneau de rayon intérieur $\rho$ et de rayon extérieur $R$ (avec $R>\rho$). \item un anneau de rayon intérieur $R_1$ et de rayon extérieur $R_2$ (avec $R_2>R_1$).
\end{enumerate} \end{enumerate}
\textcolor{red}{Ajouter des figures pour les formes de brioches a), b), c), d).} \begin{center}
\begin{tikzpicture}
\fill[orangeAnimath] (0,0) circle (1);
\draw (0,0) -- (1,0) node[midway,above]{$R$};
\fill[bleuAnimath] (2,-0.5) -- ++(0,1) node[black,midway,left]{$a$} -- ++(2,0) node[black,midway,above]{$b$} -- ++(0,-1) -- cycle;
\fill[orangeAnimath] (5,-1) -- ++(1,2) node[black,midway,left]{$a$} -- ++(2,-2) node[black,midway,above right]{$b$} -- cycle node[black,midway,below]{$c$};
\fill[bleuAnimath,even odd rule] (10,0) circle(0.8) circle(1.2);
\draw (10,0) -- ++(0:0.8) node[midway,below]{$R_1$};
\draw (10,0) -- ++(30:1.2) node[midway,above]{$R_2$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\q La forme a) est-elle une brioche ? Même question pour chacune des formes b), c) et d). \q La forme a) est-elle un cookie ? Même question pour chacune des formes b), c) et d).
\medskip \medskip
La \textbf{quantité de pâte} utilisée pour faire une brioche est la somme des longueurs des segments où \'Eric place de la pâte. La \textbf{quantité de pâte} utilisée pour faire un cookie est la somme des longueurs des segments où Perrine place de la pâte.
\q Pour chacune des formes de la question précédente qui sont des brioches, pour quelles quantités de pâte \'Eric peut-il la réaliser ? \q Pour chacune des formes de la question précédente qui sont des cookies, avec quelles quantités de pâte Perrine peut-elle la réaliser ?
\medskip \medskip
La précision de l'outil d'\'Eric étant limitée, la quantité de pâte qu'il dépose en $P$ ne peut pas être trop petite. Pour un $r \geqslant 0$ fixé, on dit que l'outil d'\'Eric est de précision $r$ lorsque $R(P) \geqslant r$ pour tout point $P$ placé par \'Eric. La précision de l'outil de Perrine étant limitée, la quantité de pâte qu'elle dépose en $P$ ne peut pas être trop petite. Pour un $r \geq 0$ fixé, on dit que l'outil de Perrine est de précision $r$ lorsque $R(P) \geq r$ pour tout point $P$ placé par Perrine. On appelle $r$-\textbf{cookie du plan}, ou plus simplement $r$-cookie, un cookie que Perrine peut réaliser avec un outil de précision $r$. Les réponses aux question suivantes vont donc dépendre de $r$.
On appelle $r$-\textbf{brioche du plan}, ou plus simplement $r$-brioche, une brioche qu'\'Eric peut réaliser avec un outil de précision $r$.
En particulier, les $0$-brioches sont exactement les brioches, et toute $r$-brioche est une brioche. En particulier, les $0$-cookies sont exactement les cookies, et tout $r$-cookie est un cookie.
\q Reprendre les questions précédentes dans le cas des $r$-brioches, en fonction de $r$. \q Reprendre les questions précédentes dans le cas des $r$-cookie, en fonction de $r$.
\medskip \q On suppose dans cette question que Perrine réalise un $r$-cookie sans faire de segment de longueur $0$ et tel qu'il est impossible d'obtenir la même forme en utilisant strictement moins de pâte. Est-il possible qu'une répartition différente de la même quantité de pâte permette d'obtenir le même $r$-cookie, toujous sans segment de longueur $0$ ?
Dans les questions suivantes, $r$ est un réel positif ou nul, en fonction duquel répondre.
\q On suppose dans cette question qu'\'Eric réalise une $r$-brioche telle qu'il dispose d'une manière de placer le moins de pâte possible pour réaliser cette forme, et que cette dernière n'utilise aucun segment de longueur 0. Existe-t-il une forme de brioche pour laquelle \'Eric aurait plusieurs choix pour placer la pâte de manière optimale (c'est-à-dire en utilisant le moins possible de pâte), sans segment de longueur 0 ?
%\q Si $R(P)=r$ ne dépend pas de P, quelles valeur peut prendre le rapport entre la quantité de pâte nécessaire et l'aire de la brioche après cuisson ? %\q Si $R(P)=r$ ne dépend pas de P, quelles valeur peut prendre le rapport entre la quantité de pâte nécessaire et l'aire de la brioche après cuisson ?
@ -91,26 +84,24 @@ Dans les questions suivantes, $r$ est un réel positif ou nul, en fonction duque
\medskip \medskip
\'Eric s'intéresse maintenant surtout à la forme du bord de ses $r$-brioches. Perrine s'intéresse maintenant surtout à la forme du bord de ses $r$-cookies. Soit $x : [0,1] \to \R$ et $y : [0,1] \to \R$ deux fonctions continues telle que :
Soit $x : [0,1] \to \R$ et $y : [0,1] \to \R$ deux fonctions, telle que :
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item $x(0) = x(1)$ et $y(0) = y(1)$, \item $x(0) = x(1)$ et $y(0) = y(1)$,
\item pour toutes les autres valeurs de $t$ et $t'$, on n'a jamais simultanément $x(t) = x(t')$ et $y(t) = y(t')$. \item pour toutes les autres valeurs de $t$ et $t'$, on n'a jamais simultanément $x(t) = x(t')$ et $y(t) = y(t')$.
\end{itemize} \end{itemize}
\'Eric trace dans le plan l'ensemble $\Gamma$ des points de coordonnées $\big(x(t),y(t)\big)$, appelé \textbf{contour}, et cherche à savoir si la partie du plan que cela délimite (que l'on suppose bien définie) est une $r$-brioche. Perrine trace dans le plan l'ensemble $\Gamma$ des points de coordonnées $\big(x(t),y(t)\big)$, appelé \textbf{contour}, et cherche à savoir si la partie du plan que cela délimite (que l'on suppose bien définie) est un $r$-cookie.
\q Existe-t-il un contour pour lequel $x$ et $y$ sont continues, mais pour lequel la partie délimitée n'est pas une $r$-brioche ? Si oui, est-ce possible avec $x$ et $y$ dérivables ? Deux fois dérivables ? Trois fois dérivables ? \q Existe-t-il un contour pour lequel $x$ et $y$ sont continues, mais pour lequel la partie délimitée n'est pas un $r$-cookie ? Si oui, est-ce possible avec $x$ et $y$ dérivables ? Deux fois dérivables ? Trois fois dérivables ?
\q Existe-t-il un contour pour lequel $x$ et $y$ sont continues, qui soit une brioche, mais qui ne soit une $r$-brioche pour aucun $r>0$ ? Si oui, est-ce possible avec $x$ et $y$ dérivables ? Deux fois dérivables ? Trois fois dérivables ? \q Existe-t-il un contour pour lequel $x$ et $y$ sont continues, qui soit un cookie, mais qui ne soit une $r$-cookie pour aucun $r>0$ ? Si oui, est-ce possible avec $x$ et $y$ dérivables ? Deux fois dérivables ? Trois fois dérivables ?
%Existe-t-il des formes donc le contour est continu (je regarde l'intérieur d'un lacet simple continu) qui ne peuvent pas être obtenue avec un nombre fini de brioche ? %Existe-t-il des formes donc le contour est continu (je regarde l'intérieur d'un lacet simple continu) qui ne peuvent pas être obtenue avec un nombre fini de brioche ?
%\q Existe-t-il des formes donc le contour est $C^1$ (je regarde l'intérieur d'un lacet simple continu) qui ne peuvent pas être obtenue avec un nombre fini de brioche ? Et si on est $C^1$ sauf en un nombre fini de points ? %\q Existe-t-il des formes donc le contour est $C^1$ (je regarde l'intérieur d'un lacet simple continu) qui ne peuvent pas être obtenue avec un nombre fini de brioche ? Et si on est $C^1$ sauf en un nombre fini de points ?
\q Donner d'autres conditions sur une forme pour que ce soit une $r$-brioche. \q Donner d'autres conditions sur une forme pour que ce soit un $r$-cookie.
%\q Maintenant on souhaite que Eric soit "proche" de la forme finale (l'idée serait d'approximer un coin par exemple). On suppose qu'il essaie d'obtenir la forme A mais qu'il obtienne la forme B, on définit alors un coefficient $\rho(A,B):=\rho(A \Delta B)/\rho(A)$ qui estime à quel point on est proche de la bonne forme. Si $\rho=0$ on dira que B recouvre presque partout A. %\q Maintenant on souhaite que Eric soit "proche" de la forme finale (l'idée serait d'approximer un coin par exemple). On suppose qu'il essaie d'obtenir la forme A mais qu'il obtienne la forme B, on définit alors un coefficient $\rho(A,B):=\rho(A \Delta B)/\rho(A)$ qui estime à quel point on est proche de la bonne forme. Si $\rho=0$ on dira que B recouvre presque partout A.
\q Proposer et explorer d'autres pistes de recherche, notamment en dimension $3$. \q Proposer et explorer d'autres pistes de recherche, par exemple en dimension $3$.