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Mise à jour de 'fiches/matheux_sociables-fiche.tex'

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fiches/matheux_sociables-fiche.tex
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@ -16,17 +16,19 @@ Si $p$ est impair, alors $r=4$ est possible et optimal.
Montrons d'abord que $r=3$ n'est pas possible : nous raisonnons par l'absurde et on considère un plan idéal avec $r=3$. Les ensembles A, B, C et D sont définis de sorte que les deux premiers repas sont (A-B,C-D) et (A-D,B-C). Il manque alors A-C et B-D. Comme $r=3$, le dernier repas est $(A-C,B-D)$ ce qui implique que $p=\# A+\# B = \# A + \# C$, donc $p=2\# B$ est pair, contradiction. Montrons d'abord que $r=3$ n'est pas possible : nous raisonnons par l'absurde et on considère un plan idéal avec $r=3$. Les ensembles A, B, C et D sont définis de sorte que les deux premiers repas sont (A-B,C-D) et (A-D,B-C). Il manque alors A-C et B-D. Comme $r=3$, le dernier repas est $(A-C,B-D)$ ce qui implique que $p=\# A+\# B = \# A + \# C$, donc $p=2\# B$ est pair, contradiction.
Un plan idéal pour $r=4$ est donné par (x-A-B,y-C-D), (x-A-C,y-B-D), (x-A-D,y-B-C) et (x-y-A-qc,qc) où x et y sont des participants, A, B, C, D sont des ensembles de $(p-1)/2$ participants et "qc" signifie un choix arbitraire. Un plan idéal pour $r=4$ est donné par (x-A-B,y-C-D), (x-A-C,y-B-D), (x-A-D,y-B-C) et (x-y-A-qc,qc) où x et y sont des participants, A, B, C, D sont des ensembles de $(p-1)/2$ participants et "qc" signifie un choix arbitraire.
\q (Difficile, ouvert en général ?) $t=p=q$, une puissance d'un nombre premier. Alors $r=q+1$ est possible et optimal (par question 1). \q (Difficile, ouvert en général ?) Attention : cette solution utilise des notions inconnues aux élèves (espaces vectoriels, corps finis).
Si $t=p=q$ est une puissance d'un nombre premier, alors $r=q+1$ est possible et optimal (par question 1).
On peut représenter les $q^2$ participants dans un carré, auquel on peut penser comme l'espace vectoriel (F_q)^2 (où $F_q$ désigne le corps fini à $q$ éléments). Il y a $q+1$ droites vectorielles, chacune définit une relation d'équivalence sur les points (on considère toutes les droites affines parallèles à la droite vectorielle donnée). Cela définit un plan idéal. On peut représenter les $q^2$ participants dans un carré, auquel on peut penser comme l'espace vectoriel (F_q)^2 (où $F_q$ désigne le corps fini à $q$ éléments). Il y a $q+1$ droites vectorielles, chacune définit une relation d'équivalence sur les points (on considère toutes les droites affines parallèles à la droite vectorielle donnée). Cela définit un plan idéal.
Pour $p=q$ et $t=q^n$ avec $q$ une puissance d'un nomnbre premier et $n>0$ un entier, on peut répéter le même argument, donnant $r=(q^n-1)(q-1)$, ce qui est optimal. Pour $p=q$ et $t=q^n$ avec $q$ une puissance d'un nomnbre premier et $n>0$ un entier, on peut répéter le même argument, donnant $r=(q^n-1)(q-1)$, ce qui est optimal.
Attention : les élèves ne connaissent ni les espaces vectoriels, ni les corps finis.
Le cas général est probablement ouvert. Le cas général est probablement ouvert.
\q (Ouvert ?) \q (Ouvert ?)
On peut traiter entièrement le cas $p=2$. Alors $r=n-1$ est possible et optimal. Pour $t$ pair, on regroupe les participants par deux pour se ramener à $t/2$. Pour $t$ impair, on considère les couplages parfaits du $n$-gone obtenus en "sautant" alternément $k$ et $n-k$ points avec $k$ pair. On peut traiter entièrement le cas $p=2$. Alors $r=n-1$ est possible et optimal. Pour $t$ pair, on regroupe les participants par deux pour se ramener à $t/2$. Pour $t$ impair, on considère les couplages parfaits du $n$-gone obtenus en "sautant" alternément $k$ et $n-k$ points avec $k$ pair.
\q (Ouvert ?) \q (Ouvert ?)
Il semble que les seuls plan idéaux 1-uniformes sont pour $p=q$ et $t=q^n$ comme dans la question 3b. Condition nécessaire : $r=(n-1)/(p-1)$ est un entier, donc $p-1 \mid n-1$, ce qui est équivalent à $p-1 \mid t-1$.
La question 3b donne des exemples de plans idéaux 1-uniformes pour $p=q$ et $t=q^n$ avec $q$ une puissance d'un nombre premier.
Ce sont probablement les seuls exemples.
\q (Moyen/Difficle) Non : pour tout $f$, on trouve des valeurs pour $t$ et $p$ tel que aucun plan idéal $f$-uniforme n'existe. En effet, pour $f$ fixé, on considère $t=f+1$. Alors $r\geq (n-1)/(p-1)\geq f+1> f$. \q (Moyen/Difficle) Non : pour tout $f$, on trouve des valeurs pour $t$ et $p$ tel que aucun plan idéal $f$-uniforme n'existe. En effet, pour $f$ fixé, on considère $t=f+1$. Alors $r\geq (n-1)/(p-1)\geq f+1> f$.
Considérons les $f+1$ premiers repas d'un plan idéal. A chaque participant, on peut attribuer la suite des numéros des tables à laquelle il mange. Il y a $t^{f+1}$ suites possibles. Pour $n>t^{f+1}$ on aura forcément deux participants ayant assis à la même table au moins $f+1$ fois. Pour $p=t^f+1$, on a $n=pt=(t^f+1)t>t^{f+1}$. Considérons les $f+1$ premiers repas d'un plan idéal. A chaque participant, on peut attribuer la suite des numéros des tables à laquelle il mange. Il y a $t^{f+1}$ suites possibles. Pour $n>t^{f+1}$ on aura forcément deux participants ayant assis à la même table au moins $f+1$ fois. Pour $p=t^f+1$, on a $n=pt=(t^f+1)t>t^{f+1}$.