Mise à jour de 'fiches/matheux_sociables-fiche.tex'

fiches/matheux_sociables-fiche.tex

@@ -16,17 +16,19 @@ Si $p$ est impair, alors $r=4$ est possible et optimal.
 Montrons d'abord que $r=3$ n'est pas possible : nous raisonnons par l'absurde et on considère un plan idéal avec $r=3$. Les ensembles A, B, C et D sont définis de sorte que les deux premiers repas sont (A-B,C-D) et (A-D,B-C). Il manque alors A-C et B-D. Comme $r=3$, le dernier repas est $(A-C,B-D)$ ce qui implique que $p=\# A+\# B = \# A + \# C$, donc $p=2\# B$ est pair, contradiction.
 Un plan idéal pour $r=4$ est donné par (x-A-B,y-C-D), (x-A-C,y-B-D), (x-A-D,y-B-C) et (x-y-A-qc,qc) où x et y sont des participants, A, B, C, D sont des ensembles de $(p-1)/2$ participants et "qc" signifie un choix arbitraire.
 
-\q (Difficile, ouvert en général ?) $t=p=q$, une puissance d'un nombre premier. Alors $r=q+1$ est possible et optimal (par question 1).
+\q (Difficile, ouvert en général ?) Attention : cette solution utilise des notions inconnues aux élèves (espaces vectoriels, corps finis).
+Si $t=p=q$ est une puissance d'un nombre premier, alors $r=q+1$ est possible et optimal (par question 1).
 On peut représenter les $q^2$ participants dans un carré, auquel on peut penser comme l'espace vectoriel (F_q)^2 (où $F_q$ désigne le corps fini à $q$ éléments). Il y a $q+1$ droites vectorielles, chacune définit une relation d'équivalence sur les points (on considère toutes les droites affines parallèles à la droite vectorielle donnée). Cela définit un plan idéal.
 Pour $p=q$ et $t=q^n$ avec $q$ une puissance d'un nomnbre premier et $n>0$ un entier, on peut répéter le même argument, donnant $r=(q^n-1)(q-1)$, ce qui est optimal.
-Attention : les élèves ne connaissent ni les espaces vectoriels, ni les corps finis.
 Le cas général est probablement ouvert.
 
 \q (Ouvert ?) 
 On peut traiter entièrement le cas $p=2$. Alors $r=n-1$ est possible et optimal. Pour $t$ pair, on regroupe les participants par deux pour se ramener à $t/2$. Pour $t$ impair, on considère les couplages parfaits du $n$-gone obtenus en "sautant" alternément $k$ et $n-k$ points avec $k$ pair.
 
 \q (Ouvert ?)
-Il semble que les seuls plan idéaux 1-uniformes sont pour $p=q$ et $t=q^n$ comme dans la question 3b.
+Condition nécessaire : $r=(n-1)/(p-1)$ est un entier, donc $p-1 \mid n-1$, ce qui est équivalent à $p-1 \mid t-1$.
+La question 3b donne des exemples de plans idéaux 1-uniformes pour $p=q$ et $t=q^n$ avec $q$ une puissance d'un nombre premier.
+Ce sont probablement les seuls exemples.
 
 \q (Moyen/Difficle) Non : pour tout $f$, on trouve des valeurs pour $t$ et $p$ tel que aucun plan idéal $f$-uniforme n'existe. En effet, pour $f$ fixé, on considère $t=f+1$. Alors $r\geq (n-1)/(p-1)\geq f+1> f$.
 Considérons les $f+1$ premiers repas d'un plan idéal. A chaque participant, on peut attribuer la suite des numéros des tables à laquelle il mange. Il y a $t^{f+1}$ suites possibles. Pour $n>t^{f+1}$ on aura forcément deux participants ayant assis à la même table au moins $f+1$ fois. Pour $p=t^f+1$, on a $n=pt=(t^f+1)t>t^{f+1}$.