MaJ dépollution par Nathanaël

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 \section{Dépollution de la Seine}
-Pour certaines épreuves de natation des Jeux Olympiques de 2024, il faut dépolluer les bassins alimentés par la Seine. %Plusieurs équipes de biologistes proposent d'utiliser différentes bactéries capables de dépolluer l'eau
+Pour les épreuves de natation des Jeux Olympiques de 2024, certains bassins, alimentés par la Seine, doivent être dépollués. %Plusieurs équipes de biologistes proposent d'utiliser différentes bactéries capables de dépolluer l'eau
 Une équipe de biologistes a trouvé une bactérie qui est capable de dépolluer l'eau. Le matin du jour où le nettoyage commence (qu'on appelle le jour $0$), on place des bactéries dans un bassin de volume $V=2500\, m^3$ qui ne contient que de l'eau polluée. Les bactéries occupent alors un volume $v(0)\in ]0,V[$. Le jour $T$ (avec $T\in\mathbb{N}$), on note $v(T)$ le volume occupé par les bactéries. La population de bactéries se comporte de la manière suivante:
 \begin{itemize}
     %\item Le matin du jour $T$ (avec $T\in\mathbb{N}$), les bactéries occupent un volume $v(T)\in[0,V]$;
@@ -40,9 +40,9 @@ Désormais, pour simplifier, on suppose que $f(v) = K v$ si $0 \leqslant K v < V
 
 \medskip
 
-On suppose maintenant que l'eau du bassin est brassée peu avant minuit. Le volume que les nouvelles bactéries occuperont le jour $T+1$ se trouve réparti dans les mêmes proportions que son état le jour $T$ : s'il y avait $a(T)V$ d'eau polluée sans bactéries, $b(T)V$ d'eau polluée avec bactéries et $c(T)V$ d'eau saine le jour $T$, avec $a(T)+b(T)+c(T) =1$, alors il y aura $a(T)  K v(T)$ bactérie qui s'installeront dans l'eau polluée (le reste de l'eau étant dépollué, les autres bactéries qui devraient occuper le reste du volume $\big(b(T)+c(T)\big) K v(T)$ meurent à minuit).
+On suppose maintenant que l'eau du bassin est brassée peu avant minuit. Le volume que les nouvelles bactéries occuperont le jour $T+1$ se trouve réparti dans les mêmes proportions que son état le jour $T$ : s'il y avait $a(T)V$ d'eau polluée sans bactéries, $b(T)V$ d'eau polluée avec bactéries et $c(T)V$ d'eau saine le jour $T$, avec $a(T)+b(T)+c(T) =1$, alors le jour $T+1$ on aura $v(T+1) = a(T)  K v(T)$ (en effet, les bactéries qui auraient dû occuper le reste du volume $\big(b(T)+c(T)\big) K v(T)$ meurent à minuit).
 
-\q Trouver le plus de valeurs de $K$ et $v(0)$ pour lesquelles les bactéries dépolluent entièrement le bassin.
+\q Trouver autant de valeurs de $K$ et $v(0)$ que possible pour lesquelles les bactéries dépolluent entièrement le bassin.
 
 \q L'eau du bassin est toujours brassée mais désormais, chaque jour, on fait rentrer dedans la quantité $w$ d'eau polluée de la Seine pour compenser l'eau qui s'est évaporée (dans les mêmes proportions que son état).
 On note $U(T)$, avec $0 < U(T) < V$, la quantité d'eau dépolluée dans le bassin. En fonction de $K$ et $v(0)$,
@@ -58,7 +58,7 @@ On note $U(T)$, avec $0 < U(T) < V$, la quantité d'eau dépolluée dans le bass
 
 
 
-\q Pour cette question, on suppose qu'il n'y a plus de brassage et que la reproduction des bactéries varie selon la météo. S'il fait beau, on a $f(v(T)) = K_1 v(T)$ et s'il pleut, on a $f(v(T)) = K_2 v(T)$ avec $K_1>K_2>0$. Il fait beau exactement un jour sur deux, et il pleut exactement un jour sur deux. Pour quelles valeurs de $K_1$, $K_2$ et $v(0)$, peut-on être sûr que le bassin sera dépollué ? Pour quelles valeurs de $K_1$, $K_2$ et $v(0)$ peut-on être sûr que le bassin ne sera pas entièrement dépollué ?
+\q Pour cette question, on suppose qu'il n'y a plus de brassage et que la reproduction des bactéries varie selon la météo. S'il fait beau, on a $f(v(T)) = K_1 v(T)$ et s'il pleut, on a $f(v(T)) = K_2 v(T)$ avec $K_1>K_2>0$. Il pleut exactement un jour sur deux: s'il pleut le jour $T$, alors il fera beau le jour $T+1$ et il pleuvra le jour $T+2$. Pour quelles valeurs de $K_1$, $K_2$ et $v(0)$, peut-on être sûr que le bassin sera dépollué ? Pour quelles valeurs de $K_1$, $K_2$ et $v(0)$ peut-on être sûr que le bassin ne sera pas entièrement dépollué ?
 %\begin{enumerate}
 %\item Dans un premier temps, 
 %\item Maintenant, il fait beau avec une probabilité $1/2$ et il pleut avec une probabilité $1/2$ (il peut dont pleuvoir ou faire beau plusieurs jours à la suite). Pour les valeurs de $K_1$, $K_2$ et $v(0)$ qui garantissent une dépollution totale: quel est en moyenne le nombre minimal de jours nécessaire pour dépolluer entièrement le bassin ? 
@@ -68,7 +68,7 @@ On note $U(T)$, avec $0 < U(T) < V$, la quantité d'eau dépolluée dans le bass
 
 
 
-\q On retourne au cas général où $\displaystyle f(v) = K\left(v - \frac{v^2}{V}\right)$. L'eau propre redevient polluée chaque jour. Décrire le comportement de la suite $v(T)$ selon la valeur de $K$. On pourra traiter les cas suivants: $0<K<1$; $K=1$; $K=3,5$ et $K=4$. 
+\q On retourne au cas exact où $\displaystyle f(v) = K\left(v - \frac{v^2}{V}\right)$. L'eau propre redevient polluée chaque jour. Décrire le comportement de la suite $v(T)$ selon la valeur de $K$. On pourra traiter les cas suivants: $0<K<1$; $K=1$; $K=3,5$ et $K=4$. 
 %\begin{enumerate}
 %\item Quelles sont les valeurs possible de $K$ pour garantir que si $0<v(0)<V$, alors $0<v(T)<V$ pour tout $T$ ?
 %\item On suppose que $K=1$. Reprendre la question~\textbf{1.} en fonction de la valeur de $v(0)$.
@@ -79,4 +79,4 @@ On note $U(T)$, avec $0 < U(T) < V$, la quantité d'eau dépolluée dans le bass
 
 
 
-\q Proposer et explorer d'autres pistes de recherche.
+\q Proposer et explorer d'autres pistes de recherche.