generated from Timothee/TFJM-Template
modification des problèmes 1,2,3,4
This commit is contained in:
parent
a00479ebcd
commit
51107d73b9
|
|
@ -1,5 +1,15 @@
|
|||
\section*{Eléments de réponse}
|
||||
|
||||
\q (Facile) Première réponse
|
||||
\q Table la plus haute : $1$ si $i \leq n+1$, et $i-n$ sinon. Table la plus basse : $i$ si $i \leq n$, et $n$ sinon.
|
||||
|
||||
\q (Moyen) Deuxieme réponse
|
||||
\q Il y en a $\binom{2n-2}{n-1}$ : à part les joueuses $1$ et $2n$, toutes les joueuses oscillent entre une table paire et une table impaire. L'ensemble des joueuses qui commencent à une table impaire détermine la configuration stable.
|
||||
|
||||
\q Oui : montrer par récurrence sur $j$ que la table $j$ finit par se stabiliser. Pour le nombre de tours, l'argument brutal donne $\frac{n(n-1)}{2}$. On doit pouvoir faire autour de $n$, mais ça a pas l'air évident.
|
||||
|
||||
\q En gros, elle peut atteindre la table 1 ssi $i+j \leq 2n$, et sinon la table $i+j-2n$ (à chaque fois, à une constante additive près qui doit être calculable et dépend peut-être de la parité).
|
||||
|
||||
\q ??
|
||||
|
||||
\q Exemples : si une joueuse écrit $n$ fois de suite $V$, alors elle est la meilleure, donc son mot ne peut contenir que des $V$. En particulier, il existe des mots non inscriptibles pour $\ell=n+1$. Je pense que tous les mots de longueur $n$ sont inscriptibles, mais ça a l'air dur (j'y arrive pour $n/2$).
|
||||
|
||||
\q À peu près $1/6$ : il faut que la joueuse $3$ démarre derrière les joueuses 1 et 2, et que les choses se passent mal au niveau parité. Le but est de leur faire faire des probas sans le dire. En remplaçant $3$ par $4$, la proportion vaut $5/16$.
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -109,8 +109,10 @@ Ces problèmes sont distribués sous licence \texttt{CC-BY-SA 4.0}. En cas de qu
|
|||
\section*{Notations}
|
||||
\begin{tabular}{ll}
|
||||
$\{a_1,a_2,\dots, a_n\}$ & ensemble contenant les éléments $a_1, a_2, \dots, a_n$ \\
|
||||
$\mathbb{N}$ & ensemble des entiers positifs \\
|
||||
$[x,y]$ & ensemble des nombres réels compris entre $x$ et $y$ inclus \\
|
||||
$\min_{x\in X} f(x)$ & plus petite valeur prise par $f(x)$ quand $x$ parcourt l'ensemble $X$
|
||||
$\min_{x\in X} f(x)$ & plus petite valeur prise par $f(x)$ quand $x$ parcourt l'ensemble $X$\\
|
||||
$\lceil x\rceil$ & plus petit entier supérieur ou égal au réel $x$
|
||||
\end{tabular}
|
||||
|
||||
\restoregeometry
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -1,82 +1,67 @@
|
|||
\section{Dépollution de la Seine}
|
||||
Pour les épreuves de natation des Jeux Olympiques de 2024, certains bassins, alimentés par la Seine, doivent être dépollués. %Plusieurs équipes de biologistes proposent d'utiliser différentes bactéries capables de dépolluer l'eau
|
||||
Une équipe de biologistes a trouvé une bactérie qui est capable de dépolluer l'eau. Le matin du jour où le nettoyage commence (qu'on appelle le jour $0$), on place des bactéries dans un bassin de volume $V=2500\, m^3$ qui ne contient que de l'eau polluée. Les bactéries occupent alors un volume $v(0)\in ]0,V[$. Le jour $T$ (avec $T\in\mathbb{N}$), on note $v(T)$ le volume occupé par les bactéries. La population de bactéries se comporte de la manière suivante:
|
||||
Pour les épreuves de natation des Jeux Olympiques de 2024, certains bassins, alimentés par la Seine, doivent être dépollués.
|
||||
|
||||
Une équipe de biologistes a trouvé une bactérie qui est capable de dépolluer l'eau. Le matin du jour où le nettoyage commence (qu'on appelle le jour $0$), on place des bactéries dans un bassin de volume $V=2500\, m^3$ qui ne contient que de l'eau polluée. Les bactéries occupent alors un volume $v_0\in ]0,V[$. On note $v_T$ le volume occupé par les bactéries le matin du jour $T$ (avec $T\in\mathbb{N}$). La population de bactéries se comporte de la manière suivante:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
%\item Le matin du jour $T$ (avec $T\in\mathbb{N}$), les bactéries occupent un volume $v(T)\in[0,V]$;
|
||||
\item Les bactéries qui sont dans de l'eau polluée à midi mangent la pollution et, de cette façon, le volume d'eau qu'elles occupent devient de l'eau propre;
|
||||
\item Au coucher du Soleil, les bactéries se reproduisent. Les bactéries mères meurent en se reproduisant. Les bactéries filles occupent un volume d'eau $f\big(v(T)\big)$ dont on ne connaît pas la répartition dans le bassin (où $f: [0,V] \to [0,V]$ est une fonction). Jusqu'à minuit, les bactéries peuvent se déplacer dans le bassin;
|
||||
\item Au coucher du Soleil, les bactéries se reproduisent. Les bactéries mères meurent en se reproduisant. Les bactéries filles occupent un volume d'eau $f\big(v_T\big)$ dont on ne connaît pas la répartition dans le bassin, avec $f: [0,V] \to [0,V]$ une fonction décrite plus bas. Jusqu'à minuit, les bactéries peuvent se déplacer dans le bassin;
|
||||
\item À minuit, si une bactérie se retrouve dans de l'eau propre, alors elle meurt instantanément. Si elle se retrouve dans de l'eau polluée, alors la bactérie reste immobile et dépolluera l'eau où elle se trouve le jour $T+1$.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
Dans des conditions idéales, une bactérie produit en moyenne $K$ bactéries filles. En pratique, lorsqu'il y a trop de bactéries, elles se gênent mutuellement, de sorte que la moyenne est un peu plus basse. On pose: $f(v) = K \left(v - \frac{v^2}{V}\right)$.
|
||||
Dans des conditions idéales, une bactérie produit en moyenne $K$ bactéries filles. En pratique, lorsqu'il y a trop de bactéries, elles se gênent mutuellement, de sorte que la moyenne est un peu plus basse. On prend donc $f(v) = K \left(v - \frac{v^2}{V}\right)$.
|
||||
|
||||
\q Quelles sont les valeurs possible de $K$ pour garantir que si $0<v(0)<V$, alors $0<v(T)<V$ pour tout $T$ ?
|
||||
\q Quelles sont les valeurs possibles de $K$ qui garantissent que si $0<v_0<V$, alors $0<v_T<V$ pour tout $T$ ?
|
||||
|
||||
\medskip
|
||||
|
||||
Désormais, pour simplifier, on suppose que $f(v) = K v$ si $0 \leqslant K v < V$ et $f(v) = V$ sinon, où $K > 0$ (car on considère que le terme en $\frac{-v^2}{V}$ est négligeable).
|
||||
Désormais, pour simplifier, on prend $f(v) = Kv$ si $0 \leq Kv < V$ et $f(v) = V$ sinon, où $K > 0$ (autrement dit, on considère que le terme $\frac{-v^2}{V}$ est négligeable).
|
||||
|
||||
\q On suppose dans cette question que les bactéries filles se déplacent en priorité dans de l'eau polluée, puis dans de l'eau propre pour celles qui n'ont plus de place dans l'eau polluée. Est-il possible que les bactéries dépolluent entièrement le bassin ? Dans ce(s) cas-là, combien de jours faut-il au minimum pour dépolluer entièrement le bassin ?
|
||||
\q On suppose dans cette question que les bactéries filles se déplacent en priorité dans l'eau polluée, puis dans l'eau propre pour celles qui n'ont plus de place dans l'eau polluée. Pour quelles valeurs de $K$ et de $v_0$ les bactéries nettoient-elles entièrement le bassin ? Dans ce cas-là, combien de jours faut-il pour dépolluer entièrement le bassin ?
|
||||
|
||||
\q On suppose dans cette question que les bactéries filles se déplacent en priorité dans de l'eau propre, puis dans de l'eau polluée pour celles qui n'ont plus de place dans l'eau propre (celles qui sont nées dans l'eau propre meurent donc tout de suite sans se reproduire).
|
||||
\q On suppose dans cette question que les bactéries filles se déplacent en priorité dans l'eau propre, puis dans l'eau polluée pour celles qui n'ont plus de place dans l'eau propre (celles qui sont nées dans l'eau propre meurent donc tout de suite sans se reproduire).
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Étudier l'évolution de la suite $v(T)$. A-t-elle une limite? Si oui, laquelle?
|
||||
\item Si $K\leq 2$, pour quelles valeurs de $v(0)$ les bactéries dépolluent-elles entièrement le bassin?
|
||||
\item Si $K= 4$, pour quelles valeurs de $v(0)$ les bactéries dépolluent-elles entièrement le bassin?
|
||||
\item Étudier l'évolution de la suite $v_T$. A-t-elle une limite? Si oui, laquelle?
|
||||
\item Si $K\leq 2$, pour quelles valeurs de $v_0$ les bactéries dépolluent-elles entièrement le bassin?
|
||||
\item Si $K= 4$, pour quelles valeurs de $v_0$ les bactéries dépolluent-elles entièrement le bassin?
|
||||
\item Étudier les cas $K>4$ et $2<K<4$.
|
||||
\item Dans les différents cas précédents, encadrer aussi précisément que possible le nombre de jours nécessaires pour que les bactéries dépolluent entièrement le bassin.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
%\q Les chercheurs s'aperçoivent que les bactéries se reproduisent $D$ fois avant de mourir (où $D\geq 1$ est en entier), mais toujours une fois par nuit (et donc, survivent pendant $D$ jours). Les bactéries mères se comportent comme les bactéries filles, mais mourront une nuit avant. Reprendre la question~\ref{depollutionQ1} dans ce cadre, en fonction de la valeur de $D$.
|
||||
|
||||
%\medskip
|
||||
|
||||
%Dans la suite du problème, on suppose que $D=1$.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\medskip
|
||||
|
||||
On suppose maintenant que l'eau du bassin est brassée peu avant minuit. Le volume que les nouvelles bactéries occuperont le jour $T+1$ se trouve réparti dans les mêmes proportions que son état le jour $T$ : s'il y avait $a(T)V$ d'eau polluée sans bactéries, $b(T)V$ d'eau polluée avec bactéries et $c(T)V$ d'eau saine le jour $T$, avec $a(T)+b(T)+c(T) =1$, alors le jour $T+1$ on aura $v(T+1) = a(T) K v(T)$ (en effet, les bactéries qui auraient dû occuper le reste du volume $\big(b(T)+c(T)\big) K v(T)$ meurent à minuit).
|
||||
On suppose maintenant que l'eau du bassin est brassée peu avant minuit. Le volume que les nouvelles bactéries occuperont le jour $T+1$ se trouve réparti dans les mêmes proportions que son état le jour $T$ : s'il y avait $a(T)V$ d'eau polluée sans bactéries, $b(T)V$ d'eau polluée avec bactéries et $c(T)V$ d'eau saine le jour $T$, avec $a(T)+b(T)+c(T) =1$, alors le jour $T+1$ on aura $v_{T+1} = a(T) K v_T$ (en effet, les bactéries qui auraient dû occuper le reste du volume $\big(b(T)+c(T)\big) K v_T$ meurent à minuit).
|
||||
|
||||
\q Trouver des conditions nécessaires et/ou suffisantes sur $K$ et $v(0)$ pour que les bactéries dépolluent entièrement le bassin.
|
||||
\q Trouver des conditions nécessaires et/ou suffisantes sur $K$ et $v_0$ pour que les bactéries dépolluent entièrement le bassin.
|
||||
|
||||
\q L'eau du bassin est toujours brassée mais désormais, chaque jour, on fait rentrer dedans la quantité $w$ d'eau polluée de la Seine pour compenser l'eau qui s'est évaporée (dans les mêmes proportions que son état).
|
||||
On note $U(T)$, avec $0 < U(T) < V$, la quantité d'eau dépolluée dans le bassin. En fonction de $K$ et $v(0)$,
|
||||
On note $u_T$, avec $0 < u_T < V$, la quantité d'eau dépolluée dans le bassin. En fonction de $K$ et $v_0$,
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item La suite $U(T)$ admet-elle une limite ? Si oui, laquelle ?
|
||||
\item Si non, pour quelle(s) valeur(s) de $K$ et $v(0)$ est-elle périodique?
|
||||
\item La suite $(u_T)$ admet-elle une limite ? Si oui, laquelle ?
|
||||
\item Si non, pour quelle(s) valeur(s) de $K$ et $v_0$ est-elle périodique?
|
||||
\item Décrire le plus généralement possible cette suite.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\medskip
|
||||
|
||||
\q Pour cette question, on suppose qu'il n'y a plus de brassage et que la reproduction des bactéries varie selon la météo. S'il fait beau, on a $f(v_T) = K_1 v_T$ et s'il pleut, on a $f(v_T) = K_2 v_T$ avec $K_1>K_2>0$. Il pleut exactement un jour sur deux: s'il pleut le jour $T$, alors il fera beau le jour $T+1$ et il pleuvra le jour $T+2$. Trouver des conditions nécessaires et/ou suffisantes sur $K_1$, $K_2$ et $v_0$ pour que le bassin soit entièrement dépollué ?
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\q Pour cette question, on suppose qu'il n'y a plus de brassage et que la reproduction des bactéries varie selon la météo. S'il fait beau, on a $f(v(T)) = K_1 v(T)$ et s'il pleut, on a $f(v(T)) = K_2 v(T)$ avec $K_1>K_2>0$. Il pleut exactement un jour sur deux: s'il pleut le jour $T$, alors il fera beau le jour $T+1$ et il pleuvra le jour $T+2$. Pour quelles valeurs de $K_1$, $K_2$ et $v(0)$, peut-on être sûr que le bassin sera dépollué ? Pour quelles valeurs de $K_1$, $K_2$ et $v(0)$ peut-on être sûr que le bassin ne sera pas entièrement dépollué ?
|
||||
%\begin{enumerate}
|
||||
%\item Dans un premier temps,
|
||||
%\item Maintenant, il fait beau avec une probabilité $1/2$ et il pleut avec une probabilité $1/2$ (il peut dont pleuvoir ou faire beau plusieurs jours à la suite). Pour les valeurs de $K_1$, $K_2$ et $v(0)$ qui garantissent une dépollution totale: quel est en moyenne le nombre minimal de jours nécessaire pour dépolluer entièrement le bassin ?
|
||||
%\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\q On retourne au cas exact où $\displaystyle f(v) = K\left(v - \frac{v^2}{V}\right)$. L'eau propre redevient polluée chaque jour. Décrire le comportement de la suite $v_T$ selon la valeur de $K$. On pourra traiter les cas suivants: $0<K<1$; $K=1$; $K=3,5$ et $K=4$.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\q On retourne au cas exact où $\displaystyle f(v) = K\left(v - \frac{v^2}{V}\right)$. L'eau propre redevient polluée chaque jour. Décrire le comportement de la suite $v(T)$ selon la valeur de $K$. On pourra traiter les cas suivants: $0<K<1$; $K=1$; $K=3,5$ et $K=4$.
|
||||
%\begin{enumerate}
|
||||
%\item Quelles sont les valeurs possible de $K$ pour garantir que si $0<v(0)<V$, alors $0<v(T)<V$ pour tout $T$ ?
|
||||
%\item On suppose que $K=1$. Reprendre la question~\textbf{1.} en fonction de la valeur de $v(0)$.
|
||||
%\end{enumerate}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\q Proposer et explorer d'autres pistes de recherche.
|
||||
\q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche.
|
||||
|
|
@ -1,13 +1,9 @@
|
|||
\section{Matheux sociables}
|
||||
|
||||
Lors d'une olympiade mathématique, des jeunes mathématiciens et mathématiciennes se rencontrent.
|
||||
L'organisateur souhaite que les participants s'échangent au maximum. Un bon moment pour socialiser est le repas commun.
|
||||
\textit{L'objectif est d'élaborer un planning de placement des participants tel que chacun ait mangé au moins une fois avec chaque
|
||||
autre participant à la même table.}
|
||||
Lors d'une olympiade mathématiques, des jeunes mathématiciens et mathématiciennes se rencontrent.
|
||||
L'organisateur souhaite que les participants se rencontrent au maximum au moment des repas. Il veut dont élaborer un plan de placement des participants du plusieurs jours se sorte que chacun ait mangé au moins une fois avec tous les autres. Un tel plan est dit \textbf{idéal}.
|
||||
|
||||
Dans la salle à manger, il y a $t$ tables, chacune avec $p$ places avec $p>1$.
|
||||
Au total, $n=tp$ personnes participent à l'olympiade. On note par $r$ le nombre de repas.
|
||||
Pour un réel $x$, on note par $[x]$ le plus petit entier plus grand que $x$.
|
||||
Dans la salle à manger, il y a $t$ tables, chacune avec $p > 1$ places. Au total, $n=tp$ personnes participent à l'olympiade et prennent $r$ repas ensemble.
|
||||
|
||||
\begin{figure}[!ht]
|
||||
\centering
|
||||
|
|
@ -31,45 +27,36 @@ Pour un réel $x$, on note par $[x]$ le plus petit entier plus grand que $x$.
|
|||
\draw (7,0) node {B};
|
||||
\draw (9,0) node {C};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\caption{Exemple de planning de placement pour $t=p=2$ avec quatre participants A, B, C et D}
|
||||
\caption{Exemple de plan de placement pour $p=2$, $t=2$, $r=3$ avec quatre participants A, B, C et D}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
\q
|
||||
\q Peut-on toujours trouver un plan idéal si $r=\lceil(n-1)/(p-1)\rceil$ ? Que se passe-t-il si on a $r<\lceil(n-1)/(p-1)\rceil$ ?
|
||||
|
||||
\q Donner le $r$ minimal permettant de construire un plan idéal et décrire ce plan dans les cas suivants :
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Analyser le cas où $r < [(n-1)/(p-1)]$.
|
||||
\item Peut-on toujours atteindre l'objectif avec $r=[(n-1)/(p-1)]$ ?
|
||||
\item $p=2$ et $t=3$,
|
||||
\item $t=p=3$,
|
||||
\item $t=3$ et $p=6$,
|
||||
\item $t=2$ et $p$ quelconque.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\q Donner un planning optimal pour les cas suivants :
|
||||
\q Estimer le $r$ minimal permettant de construire un plan idéal et décrire ce plan dans les cas suivants :
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $p=2$ et $t=3$.
|
||||
\item $t=p=3$.
|
||||
\item $t=3$ et $p=6$.
|
||||
\item $t=p$ (on pourra commencer par regarder les cas où $p$ est un nombre premier ou une puissance de nombre premier),
|
||||
\item $t$ est une puissance de $p$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\q Pour $t=2$, trouver le $r$ optimal et donner un planning optimal.
|
||||
\q Proposer d'autres plans idéaux dans le cas général.
|
||||
|
||||
\q
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Proposer un planning si $p=t$. On pourra commencer pas s'intéresser au cas où $p$ est un nombre premier
|
||||
ou une puissance de nombre premier.
|
||||
\item De même si $t$ est une puissance de $p$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\medskip
|
||||
|
||||
\q Proposer des plannings dans le cas général.
|
||||
Pour éviter que les participants ne se lassent, l'organisateur essaie d'uniformiser le plan : il veut faire en sorte que deux participants quelconques ne se retrouvent pas plus de $f$ fois à la même table, où $f>0$. Un tel plan est dit \textbf{$f$-uniforme}.
|
||||
|
||||
L'organisateur essaie d'uniformiser la configuration.
|
||||
Le but renforcé est que chaque participant soit assis à la même table avec chaque autre participant au moins une fois,
|
||||
et au plus $f$ fois, où $f$ est un entier strictement positif. On cherche à minimiser $f$.
|
||||
\q Décrire les valeurs de $p$ et $t$ pour lesquelles on peut trouver un plan idéal $1$-uniforme.
|
||||
|
||||
\q
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Étudier les configurations où on peut prendre $f=1$.
|
||||
\item Existe-t-il toujours un planning qui vérifie la contrainte pour $f=2$ ?
|
||||
\item Y a-t-il un entier $f_0$ tel que pour tout $p$ et $t$ un planning vérifiant la contrainte pour $f=f_0$ existe ?
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\q Existe-t-il toujours un plan idéal $2$-uniforme ? Plus généralement, existe-t-il une valeur de $f$ telle que quels que soient $p$ et $t$, il existe un plan idéal $f$-uniforme ?
|
||||
|
||||
\q Proposer des plannings et des valeurs pour $f$ en reprenant les questions 2) à 5).
|
||||
\q Estimer en fonction de $p$ et $t$ le $f$ minimal pour lequel il existe un plan idéal $f$-uniforme. On pourra reprendre les cas particuliers proposés précédemment.
|
||||
|
||||
\q Proposer et étudier d'autres pistes.
|
||||
\q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche.
|
||||
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -1,25 +1,25 @@
|
|||
\section{Ping--pong}
|
||||
|
||||
Soit $n \geq 2$ un entier, fixé dans tout le problème. Dans un club de ping-pong, il y a $2n$ joueuses numérotées de $1$ à $2n$. On suppose que les joueuses sont classées de la plus forte à la moins forte, de sorte que quand les joueuses $i$ et $j$ s'affrontent, si $i<j$, alors la joueuse $i$ gagne toujours. Les joueuses jouent sur $n$ tables numérotées de $1$ à $n$. On appellera \emph{configuration} une manière de répartir les $2n$ joueuses sur les $n$ tables de telle sorte qu'il y a exactement $2$ joueuses à chaque table.
|
||||
Soit $n \geq 2$ un entier, fixé dans tout le problème. Dans un club de ping-pong, il y a $2n$ joueuses numérotées de $1$ à $2n$. On suppose que les joueuses sont classées de la plus forte à la moins forte, de sorte que quand les joueuses $i$ et $j$ s'affrontent, si $i<j$, alors la joueuse $i$ gagne toujours. Les joueuses jouent sur $n$ tables numérotées de $1$ à $n$. On appelle \emph{configuration} une manière de répartir les $2n$ joueuses sur les $n$ tables de sorte qu'il y a exactement $2$ joueuses à chaque table.
|
||||
|
||||
Au départ, les joueuses sont dans une certaines configuration initiale, puis elles jouent par tours successifs. Un tour se déroule de la manière suivante : à chaque table, les deux joueuses présentes à cette table s'affrontent. Puis pour tout $j$, la gagnante de la table $j$ monte à la table $j-1$ (sauf si $j=1$, auquel cas elle reste à la table $1$), et la perdante de la table $j$ descend à la table $j+1$ (sauf si $j=n$, auquel cas elle reste à la table $n$).
|
||||
Au départ, les joueuses sont dans une configuration initiale puis elles jouent par tours successifs. Un tour se déroule de la manière suivante : à chaque table, les deux joueuses présentes à cette table s'affrontent puis pour tout $j$, la gagnante de la table $j$ monte à la table $j-1$ (sauf si $j=1$, auquel cas elle reste à la table $1$), et la perdante de la table $j$ descend à la table $j+1$ (sauf si $j=n$, auquel cas elle reste à la table $n$).
|
||||
|
||||
\begin{figure}
|
||||
\begin{figure}[!ht]
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\draw(0,0)--(2,0)--(2,0.6)--(0,0.6)--(0,0);
|
||||
\draw(0,1)--(2,1)--(2,1.6)--(0,1.6)--(0,1);
|
||||
\draw(0,2)--(2,2)--(2,2.6)--(0,2.6)--(0,2);
|
||||
\draw(0,3)--(2,3)--(2,3.6)--(0,3.6)--(0,3);
|
||||
\draw(0.5,0.3)node{$3$};
|
||||
\draw(1.5,0.3)node{$6$};
|
||||
\draw(0.5,1.3)node{$1$};
|
||||
\draw(1.5,1.3)node{$4$};
|
||||
\draw(0.5,2.3)node{$5$};
|
||||
\draw(1.5,2.3)node{$8$};
|
||||
\draw(0.5,3.3)node{$2$};
|
||||
\draw(1.5,3.3)node{$7$};
|
||||
\draw(1,-1)node{\text{Tour $1$}};
|
||||
\draw(0,0)--(2,0)--(2,0.6)--(0,0.6)--(0,0);
|
||||
\draw(0,1)--(2,1)--(2,1.6)--(0,1.6)--(0,1);
|
||||
\draw(0,2)--(2,2)--(2,2.6)--(0,2.6)--(0,2);
|
||||
\draw(0,3)--(2,3)--(2,3.6)--(0,3.6)--(0,3);
|
||||
\draw(0.5,0.3)node{$3$};
|
||||
\draw(1.5,0.3)node{$6$};
|
||||
\draw(0.5,1.3)node{$1$};
|
||||
\draw(1.5,1.3)node{$4$};
|
||||
\draw(0.5,2.3)node{$5$};
|
||||
\draw(1.5,2.3)node{$8$};
|
||||
\draw(0.5,3.3)node{$2$};
|
||||
\draw(1.5,3.3)node{$7$};
|
||||
\draw(1,-1)node{\text{Tour $1$}};
|
||||
|
||||
\begin{scope}[shift={(3,0)}]
|
||||
\draw(0,0)--(2,0)--(2,0.6)--(0,0.6)--(0,0);
|
||||
|
|
@ -38,19 +38,19 @@ Au départ, les joueuses sont dans une certaines configuration initiale, puis el
|
|||
\end{scope}
|
||||
|
||||
\begin{scope}[shift={(6,0)}]
|
||||
\draw(0,0)--(2,0)--(2,0.6)--(0,0.6)--(0,0);
|
||||
\draw(0,1)--(2,1)--(2,1.6)--(0,1.6)--(0,1);
|
||||
\draw(0,2)--(2,2)--(2,2.6)--(0,2.6)--(0,2);
|
||||
\draw(0,3)--(2,3)--(2,3.6)--(0,3.6)--(0,3);
|
||||
\draw(0.5,0.3)node{$6$};
|
||||
\draw(1.5,0.3)node{$8$};
|
||||
\draw(0.5,1.3)node{$4$};
|
||||
\draw(1.5,1.3)node{$7$};
|
||||
\draw(0.5,2.3)node{$3$};
|
||||
\draw(1.5,2.3)node{$5$};
|
||||
\draw(0.5,3.3)node{$1$};
|
||||
\draw(1.5,3.3)node{$2$};
|
||||
\draw(1,-1)node{\text{Tour $3$}};
|
||||
\draw(0,0)--(2,0)--(2,0.6)--(0,0.6)--(0,0);
|
||||
\draw(0,1)--(2,1)--(2,1.6)--(0,1.6)--(0,1);
|
||||
\draw(0,2)--(2,2)--(2,2.6)--(0,2.6)--(0,2);
|
||||
\draw(0,3)--(2,3)--(2,3.6)--(0,3.6)--(0,3);
|
||||
\draw(0.5,0.3)node{$6$};
|
||||
\draw(1.5,0.3)node{$8$};
|
||||
\draw(0.5,1.3)node{$4$};
|
||||
\draw(1.5,1.3)node{$7$};
|
||||
\draw(0.5,2.3)node{$3$};
|
||||
\draw(1.5,2.3)node{$5$};
|
||||
\draw(0.5,3.3)node{$1$};
|
||||
\draw(1.5,3.3)node{$2$};
|
||||
\draw(1,-1)node{\text{Tour $3$}};
|
||||
\end{scope}
|
||||
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
|
@ -61,39 +61,23 @@ Au départ, les joueuses sont dans une certaines configuration initiale, puis el
|
|||
|
||||
Une configuration est dite \emph{stable} si après deux tours, les joueuses se retrouvent dans la même configuration.
|
||||
|
||||
\q
|
||||
On se fixe $1 \leq i \leq 2n$. Quelle est la table la plus haute à laquelle peut se trouver la joueuse $i$ dans une configuration stable ? Et la plus basse ?
|
||||
%Table la plus haute : $1$ si $i \leq n+1$, et $i-n$ sinon. Table la plus basse : $i$ si $i \leq n$, et $n$ sinon.
|
||||
\q On se fixe $1 \leq i \leq 2n$. Quelle est la table la plus haute à laquelle peut se trouver la joueuse $i$ dans une configuration stable ? Et la plus basse ?
|
||||
|
||||
\q
|
||||
Estimer le nombre de configurations stables en fonction de $n$.
|
||||
%Il y en a $\binom{2n-2}{n-1}$ : à part les joueuses $1$ et $2n$, toutes les joueuses oscillent entre une table paire et une table impaire. L'ensemble des joueuses qui commencent à une table impaire détermine la configuration stable.
|
||||
\q Compter le nombre de configurations stables en fonction de $n$.
|
||||
|
||||
\q
|
||||
Montrer qu'après un nombre de tours suffisant, les joueuses atteindront forcément une configuration stable.
|
||||
%Montrer par récurrence sur $j$ que la table $j$ finit par se stabiliser.
|
||||
\q Les joueuses atteignent-elles toujours une configuration stable après un nombre de tours suffisants ? Dans ce cas, donner un encadrement en fonction de $n$ du plus grand nombre possible de tours qui peuvent être nécessaires pour atteindre une configuration stable.
|
||||
|
||||
\q
|
||||
Donner un encadrement en fonction de $n$ du plus grand nombre possible de tours qui peuvent être nécessaires pour atteindre une configuration stable.
|
||||
%L'argument brutal donne $\frac{n(n-1)}{2}$. On doit pouvoir faire autour de $n$, mais ça a pas l'air évident.
|
||||
\q Soient $1 \leq i \leq 2n$ et $1 \leq j \leq n$. On sait que la joueuse $i$ doit commencer à la table $j$. En supposant qu'elle puisse choisir le reste de la configuration initiale comme cela l'arrange, quelle est la plus haute table qu'elle peut espérer atteindre au moins une fois ?
|
||||
|
||||
\q
|
||||
Soient $1 \leq i \leq 2n$ et $1 \leq j \leq n$. On sait que la joueuse $i$ doit commencer à la table $j$. En supposant qu'elle puisse choisir le reste de la configuration initiale comme cela l'arrange, quelle est la plus haute table qu'elle peut espérer atteindre une fois ?
|
||||
%En gros, elle peut atteindre la table 1 ssi $i+j \leq 2n$, et sinon la table $i+j-2n$ (à chaque fois, à une constante additive près qui doit être calculable et dépend peut-être de la parité).
|
||||
\q On se donne $1 \leq j < k \leq n$. En fonction de $j$ et $k$, est-il possible qu'une joueuse commence à la dernière table, atteigne la table $j$ puis se stabilise plus tard à la table $k$ ?
|
||||
|
||||
\q
|
||||
On se donne $1 \leq j < k \leq n$. En fonction de $j$ et $k$, est-il possible qu'une joueuse commence à la dernière table, atteigne la table $j$ puis se stabilise plus tard à la table $k$ ?
|
||||
%À réflechir.
|
||||
|
||||
\q
|
||||
Les joueuses tiennent un carnet où elle notent leurs résultats sous la forme suivante : quand elles remportent un match, elles écrivent un $V$, et quand elles perdent, elles écrivent un $D$. Par exemple, si une joueuse remporte ses deux premiers matches puis perd les trois suivants, elle écrira le mot $VVDDD$. On dit qu'un mot formé de lettres $D$ et $V$ est \emph{inscriptible} si il existe une configuration initiale à $2n$ joueuses dans laquelle une des joueuses écrira ce mot. Par exemple, le mot $VV...V$ est toujours inscriptible car il sera inscrit par la joueuse $1$.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\q Les joueuses tiennent un carnet où elle notent leurs résultats sous la forme suivante : quand elles remportent un match, elles écrivent un $V$, et quand elles perdent, elles écrivent un $D$. Par exemple, si une joueuse remporte ses deux premiers matches puis perd les trois suivants, elle écrira le mot $VVDDD$. On dit qu'un mot formé de lettres $D$ et $V$ est \emph{inscriptible} si il existe une configuration initiale à $2n$ joueuses dans laquelle une des joueuses écrira ce mot. Par exemple, le mot $VV...V$ est toujours inscriptible car il sera inscrit par la joueuse $1$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Donner des exemples de mots inscriptibles et de mots non inscriptibles.
|
||||
\item En fonction de $n$, estimer le plus grand $\ell$ pour lequel tous les mots de longueur $\ell$ sont inscriptibles.
|
||||
\item En fonction de $n$ et $\ell$, estimer le nombre de mots inscriptibles de longueur $\ell$.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
%Exemples : si une joueuse écrit $n$ fois de suite $V$, alors elle est la meilleure, donc son mot ne peut contenir que des $V$. En particulier, il existe des mots non inscriptibles pour $\ell=n+1$. Je pense que tous les mots de longueur $n$ sont inscriptibles, mais ça a l'air dur (j'y arrive pour $n/2$).
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\q
|
||||
Parmi toutes les configurations initiales, estimer la proportion des configurations qui font que la joueuse $3$ n'atteindra jamais la table $1$. Essayer de généraliser.
|
||||
%À peu près $1/6$ : il faut que la joueuse $3$ démarre derrière les joueuses 1 et 2, et que les choses se passent mal au niveau parité. Le but est de leur faire faire des probas sans le dire. En remplaçant $3$ par $4$, la proportion vaut $5/16$.
|
||||
\q Parmi toutes les configurations initiales, estimer la proportion des configurations qui font que la joueuse $3$ n'atteindra jamais la table $1$. Généraliser.
|
||||
|
||||
\q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche.
|
||||
|
|
@ -63,6 +63,8 @@ Alexander possède un jeu complet de triominos, composé d'un unique exemplaire
|
|||
|
||||
\q Combien Alexander possède-t-il de triominos ?
|
||||
|
||||
\q Pour quelles valeurs de $n$ Alexander peut-il trouver une configuration utilisant toutes les pièces ?
|
||||
|
||||
\medskip
|
||||
|
||||
Alexander souhaite disposer ses triominos en ligne droite, de la façon suivante :
|
||||
|
|
@ -77,9 +79,7 @@ Alexander souhaite disposer ses triominos en ligne droite, de la façon suivante
|
|||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\q Pour quelles valeurs de $n$ Alexander peut-il disposer tous les triominos en ligne droite ? On pourra commencer par traiter les cas $n=2,3,4$ .
|
||||
|
||||
\q Pour quelles valeurs de $n$ Alexander peut-il trouver une configuration utilisant toutes les pièces ?
|
||||
\q Pour quelles valeurs de $n$ Alexander peut-il disposer tous les triominos en ligne droite ? On pourra commencer par traiter les cas $n=2,3,4$.
|
||||
|
||||
\medskip
|
||||
|
||||
|
|
@ -107,7 +107,7 @@ Désormais, les nombres ne sont plus écrits sur les côtés mais sur les sommet
|
|||
\end{figure}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
On suppose pour commencer que parmi les trois nombres qui apparaissent sur chaque pièce, au plus deux sont différents.
|
||||
On suppose pour commencer que parmi les trois nombres qui apparaissent sur chaque pièce, il y en a au plus deux différents (il y en a donc un qui apparaît au moins deux fois).
|
||||
|
||||
\q Reprendre les questions \textbf{1.} à \textbf{3.} dans ce cadre.
|
||||
|
||||
|
|
|
|||
Loading…
Reference in New Issue