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Mise à jour Dépollution de la Seine

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fiches/depollution_seine-fiche.tex
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@ -1,5 +1,46 @@
\section*{Eléments de réponse}
\q (Facile) Première réponse
\q Notons plutôt $w(T) = v(T)/V$ la proportion de bactéries dans le bassin, de sorte que le nombre de filles sera $K w(T)$ et $u(T)$ la proportion d'eau dépolluée. On a $u(0) = 0$ et $u(T) = \sum_{n=0}^{T-1} w(n)$. On a $K w(T) - u(T) \leqslant w(T+1) \leqslant K w(T)$.
\q (Moyen) Deuxieme réponse
a) (facile) Le cas d'égalité est réalisé pour la borne supérieure si les bactéries filles naissent chaque fois dans l'eau polluée.
Si $K=1$, ça donne $w(T) \leqslant w(0)$ et $u(T) \leqslant T w(0)$.
Si $K \neq 1$, alors $w(T) \leqslant K^T w(0)$ et $u(T) \leqslant w(0) \frac{1 - K^{T}}{1-K}$. Il faut distinguer $K>1$ et $K<1$ dans la preuve mais dans tous les cas, dépollution totale possible si
\[ K \geq 1 \qquad \text{ ou } \qquad K< 1 \text{ et } v(0) > (1-K) V\]
Dans les cas de dépollution totale, le nombre de jour nécessaire pour dépolluer est
\[
\left\{
\begin{array}{ll}
\left\lceil \frac{V}{v(0)}\right\rceil &\text{ si } K = 1\\
\left\lceil \frac{\ln\left( 1 - \frac{(1-K)V}{v(0)}\right)}{\ln K} \right\rceil &\text{ si } K \neq 1\\
\end{array}\right.
\]
b) et c) (moyen) Si $K < 1$ et qu'on peut dépolluer l'eau, comme $u(T)$ décroît vers $0$, on en déduit qu'il existe un jour où toutes les bactéries filles peuvent mourir. On ne peut pas être certain de dépolluer l'eau
(facile) Si $K \leq 1$, dès le $2$eme jour, les bactéries filles peuvent mourir. La quantité dépolluée du bassin sera au maximum de $K v(0)$ (donc dépollué si $K v(0) \geq V$).
(facile) Si $K \leq 2$, dès le $3$eme jour, les bactéries filles peuvent mourir. La quantité dépolluée du bassin sera au maximum de $K (K-1) v(0)$.
(difficile) Si $2 < K < 4$, ça dépend de $v(0)$: parfois on ne pourra pas dépolluer, parfois on le pourra.
(difficile) Si $K \geq 4$, il est toujours possible de dépolluer.
(ouvert) Nombre de jours pour dépolluer ?
Les valeurs propres du problème sont $0$ et $\frac{K \pm \sqrt{K(K-4)}}{2}$.
\q (moyen-difficile)
\q
\begin{enumerate}
\item $K\in[0,4]$
\item (ouvert); difficulté: pas sûr que les stratégies optimales soient à chaque fois : \emph{autant de bactéries que possible vont dans l'eau propre} et \emph{autant de bactéries que possible vont dans l'eau sale}
\item $K<1$: extinction; $K=1$: convergence vers l'état d'équilibre $\frac{K-1}{K}$ (vrai pour tout $K\in[1,3]$; $K=3,5$: périodique sauf si on part de l'état d'équilibre; $K=4$: si $v(0)=\sin(x)^2$ alors $v(T)=\sin(2^Tx)$, en utilisant $\sin^2(2x)=4\sin^2(x)(1-\sin^2(x))$ - comportement chaotique visible sur des simulations.
\end{enumerate}
\q (moyen)
\q (difficile)
\q (ouvert) b) un peu ambiguë?

4
index.tex
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@ -1,8 +1,8 @@
\documentclass[a4paper,12pt]{amsart}
% Variables
\newcommand{\numeroTournoi}{13}
\newcommand{\version}{1.3}
\newcommand{\numeroTournoi}{14}
\newcommand{\version}{1.0}
% Encodage
\usepackage[utf8]{inputenc}

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src/depollution_seine.tex
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@ -1,55 +1,82 @@
\section{Dépollution de la Seine}
Pour préparer les Jeux Olympiques de 2024, les organisateurs ont besoin de dépolluer des bassins alimentés par la Seine. Plusieurs équipes de biologistes proposent d'utiliser différentes bactéries capables de dépolluer l'eau
Une première équipe de biologistes a trouvé une bactérie qui est dangereuse pour l'homme et se comporte de la manière suivante:
Pour certaines épreuves de natation des Jeux Olympiques de 2024, il faut dépolluer les bassins alimentés par la Seine. %Plusieurs équipes de biologistes proposent d'utiliser différentes bactéries capables de dépolluer l'eau
Une équipe de biologistes a trouvé une bactérie qui est capable de dépolluer l'eau. Le matin du jour où le nettoyage commence (qu'on appelle le jour $0$), on place des bactéries dans un bassin de volume $V=2500\, m^3$ qui ne contient que de l'eau polluée. Les bactéries occupent alors un volume $v(0)\in ]0,V[$. Le jour $T$ (avec $T\in\mathbb{N}$), on note $v(T)$ le volume occupé par les bactéries. La population de bactéries se comporte de la manière suivante:
\begin{itemize}
\item Le matin du jour $T$, les bactéries occupent un volume $v(T)$;
\item Les bactéries qui sont dans de l'eau polluée le soir rendent cette eau propre;
\item La nuit, les bactéries se reproduisent. Les bactéries mères meurent en se reproduisant. Les bactéries filles occupent un volume d'eau $f\big(v(T)\big)$ (où $f: [0,V] \to [0,V]$ est une fonction) dont on ne connaît pas la répartition dans le bassin;
\item Si une bactérie naît dans de l'eau propre, alors elle meurt tout de suite. Si elle naît dans de l'eau polluée, alors la bactérie reste immobile et dépolluera l'eau le lendemain.
% \item la nuit les bactéries se reproduisent, si les bactéries occupent un volume $v(T)$ d'eau le soir, les bactéries filles occuperont un volume $v(T+1) = f(v(T))$ d'eau le matin et les bactéries mères mourront en se reproduisant;
% \item au matin, une partie des bactéries ont été déplacées par les courants (on ne sait pas forcément comment), celles qui arrivent dans de l'eau propre meurent instantanément.
% \item une bactérie meurt toujours au bout de $D$ jours, même si elle arrive dans de l'eau encore polluée.
%\item Le matin du jour $T$ (avec $T\in\mathbb{N}$), les bactéries occupent un volume $v(T)\in[0,V]$;
\item Les bactéries qui sont dans de l'eau polluée à midi mangent la pollution et, de cette façon, le volume d'eau qu'elles occupent devient de l'eau propre;
\item Au coucher du Soleil, les bactéries se reproduisent. Les bactéries mères meurent en se reproduisant. Les bactéries filles occupent un volume d'eau $f\big(v(T)\big)$ dont on ne connaît pas la répartition dans le bassin (où $f: [0,V] \to [0,V]$ est une fonction). Jusqu'à minuit, les bactéries peuvent se déplacer dans le bassin;
\item À minuit, si une bactérie se retrouve dans de l'eau propre, alors elle meurt instantanément. Si elle se retrouve dans de l'eau polluée, alors la bactérie reste immobile et dépolluera l'eau où elle se trouve le jour $T+1$.
\end{itemize}
Au départ, un bassin de $V = 2500\, m^3$ d'eau ne contient que de l'eau polluée et on y place des bactéries dans un volume $0 < v(0) < V$ d'eau.
Dans des conditions idéales, une bactérie produit en moyenne $K$ bactéries filles. En pratique, lorsqu'il y a trop de bactéries, elles se gênent mutuellement, de sorte que la moyenne est un peu plus basse. On pose: $f(v) = K \left(v - \frac{v^2}{V}\right)$.
Sauf dans les questions~\textbf{3.} et~\textbf{6.}, on suppose que $f(v) = K v$ si $0 \leqslant K v < V$ et $f(v) = V$ sinon, où $K > 0$.
\q Pour quelle(s) valeur(s) de $K$ et $v(0)$,
\begin{enumerate}
\item est-il possible que les bactéries dépolluent entièrement le bassin ? Dans ce(s) cas là, combien de jours faut-il au minimum pour dépolluer entièrement le bassin ?
\item Dans ce(s) cas là, y a-t-il un nombre de jours pour lequel on est certain que l'eau sera entièrement dépolluée et, si oui, lequel ?
\item est-il possible que les bactéries ne dépolluent jamais entièrement le bassin ? Dans ces cas là, combien de jours faut-il au minimum pour que toutes les bactéries soient mortes.
\end{enumerate}
\q Les chercheurs s'aperçoivent que les bactéries se reproduisent $D$ fois avant de mourir, mais toujours une fois par nuit (et donc, survivent pendant $D$ jours). Elles se comportent comme les bactéries filles, sauf qu'elles mourront une nuit avant. Reprendre la question~\ref{depollutionQ1} dans ce cadre.
%jours mais dépolluent l'eau où elles se trouvent toujours en $1$ jour \red{(les bactéries sont brassées juste entre le moment où elles dépolluent et où elles devraient mourir et peuvent donc dépolluer en deux endroits différents.}
%\'Etudier l'évolution de la suite $U(T)$ dans ce cadre, en fonction de $v(0)$ et $K$.
\q \label{depollutionQ3} Lorsqu'il y a trop de bactéries, elles se gênent mutuellement pour se reproduire. On s'aperçoit qu'alors $\displaystyle f(v) = 2v - \frac{v^2}{V}$. Reprendre la question~\textbf{1.} en fonction de la valeur de $v(0)$.
\q Quelles sont les valeurs possible de $K$ pour garantir que si $0<v(0)<V$, alors $0<v(T)<V$ pour tout $T$ ?
\medskip
On suppose maintenant que l'eau du bassin est brassée chaque jour. Le volume que les nouvelles bactéries occuperont le jour $T+1$ se trouve réparti dans les mêmes proportions que son état le jour $T$ : s'il y avait $a(T)V$ d'eau polluée sans bactéries, $b(T)V$ d'eau polluée avec bactéries et $c(T)V$ d'eau saine le jour $T$, avec $a(T)+b(T)+c(T) =1$, alors il y aura $a(T) K v(T)$ bactérie qui s'installeront dans l'eau polluée (le reste de l'eau étant dépollué, les autres bactéries qui devraient occuper le reste du volume $\big(b(T)+c(T)\big) K v(T)$ meurent à la naissance).
Désormais, pour simplifier, on suppose que $f(v) = K v$ si $0 \leqslant K v < V$ et $f(v) = V$ sinon, où $K > 0$ (car on considère que le terme en $\frac{-v^2}{V}$ est négligeable).
\q En fonction de $K$ et $v(0)$, est-il possible que les bactéries dépolluent entièrement le bassin? Si oui, combien de jours faut-il pour le dépolluer entièrement? Si non, quelle proportion du bassin restera polluée?
\q On suppose dans cette question que les bactéries filles se déplacent en priorité dans de l'eau polluée, puis dans de l'eau propre pour celles qui n'ont plus de place dans l'eau polluée. Est-il possible que les bactéries dépolluent entièrement le bassin ? Dans ce(s) cas-là, combien de jours faut-il au minimum pour dépolluer entièrement le bassin ?
\q On suppose dans cette question que les bactéries filles se déplacent en priorité dans de l'eau propre, puis dans de l'eau polluée pour celles qui n'ont plus de place dans l'eau propre (celles qui sont nées dans l'eau propre meurent donc tout de suite sans se reproduire).
\begin{enumerate}
\item Étudier l'évolution de la suite $v(T)$. A-t-elle une limite? Si oui, laquelle?
\item Si $K\leq 2$, pour quelles valeurs de $v(0)$ les bactéries dépolluent-elles entièrement le bassin?
\item Si $K= 4$, pour quelles valeurs de $v(0)$ les bactéries dépolluent-elles entièrement le bassin?
\item Étudier les cas $K>4$ et $2<K<4$.
\item Dans les différents cas précédents, encadrer aussi précisément que possible le nombre de jours nécessaires pour que les bactéries dépolluent entièrement le bassin.
\end{enumerate}
%\q Les chercheurs s'aperçoivent que les bactéries se reproduisent $D$ fois avant de mourir (où $D\geq 1$ est en entier), mais toujours une fois par nuit (et donc, survivent pendant $D$ jours). Les bactéries mères se comportent comme les bactéries filles, mais mourront une nuit avant. Reprendre la question~\ref{depollutionQ1} dans ce cadre, en fonction de la valeur de $D$.
%\medskip
%Dans la suite du problème, on suppose que $D=1$.
\medskip
On suppose maintenant que l'eau du bassin est brassée peu avant minuit. Le volume que les nouvelles bactéries occuperont le jour $T+1$ se trouve réparti dans les mêmes proportions que son état le jour $T$ : s'il y avait $a(T)V$ d'eau polluée sans bactéries, $b(T)V$ d'eau polluée avec bactéries et $c(T)V$ d'eau saine le jour $T$, avec $a(T)+b(T)+c(T) =1$, alors il y aura $a(T) K v(T)$ bactérie qui s'installeront dans l'eau polluée (le reste de l'eau étant dépollué, les autres bactéries qui devraient occuper le reste du volume $\big(b(T)+c(T)\big) K v(T)$ meurent à minuit).
\q Trouver le plus de valeurs de $K$ et $v(0)$ pour lesquelles les bactéries dépolluent entièrement le bassin.
\q L'eau du bassin est toujours brassée mais désormais, chaque jour, on fait rentrer dedans la quantité $w$ d'eau polluée de la Seine pour compenser l'eau qui s'est évaporée (dans les mêmes proportions que son état).
On note $U(T)$, avec $0 < U(T) < V$, la quantité d'eau dépolluée dans le bassin. En fonction de $K$ et $v(0)$,
\begin{enumerate}
\item la suite $U(T)$ admet-elle une limite ? Si oui, laquelle ?
\item si non, pour quelle(s) valeur(s) de $K$ et $v(0)$ est-elle périodique?
\item La suite $U(T)$ admet-elle une limite ? Si oui, laquelle ?
\item Si non, pour quelle(s) valeur(s) de $K$ et $v(0)$ est-elle périodique?
\item Décrire le plus généralement possible cette suite.
\end{enumerate}
\medskip
\q \label{depollutionQ6} Dans cette question, il n'y a plus de brassage et que $D=1$. On suppose que la reproduction des bactéries varie selon la météo. S'il fait beau, on a $f(v(T)) = K_1 v(T)$ et s'il pleut, on a $f(v(T)) = K_2 v(T)$ avec $K_1>K_2>0$.
\begin{enumerate}
\item Dans un premier temps, il fait beau exactement un jour sur deux, et il pleut exactement un jour sur deux. Pour quelles valeurs de $K_1$, $K_2$ et $v(0)$, peut-on être sûr que le bassin sera dépollué ? Pour quelles valeurs de $K_1$, $K_2$ et $v(0)$ peut-on être sûr que le bassin ne sera pas entièrement dépollué ?
\item Maintenant, il fait beau avec une probabilité $1/2$ et il pleut avec une probabilité $1/2$ (il peut dont pleuvoir ou faire beau plusieurs jours à la suite). Pour les valeurs de $K_1$, $K_2$ et $v(0)$ qui garantissent une dépollution totale, quel est en moyenne le nombre minimal de jours nécessaire pour dépolluer entièrement le bassin ?
\end{enumerate}
\q Proposer et explorer d'autres pistes de recherche.
\q Pour cette question, on suppose qu'il n'y a plus de brassage et que la reproduction des bactéries varie selon la météo. S'il fait beau, on a $f(v(T)) = K_1 v(T)$ et s'il pleut, on a $f(v(T)) = K_2 v(T)$ avec $K_1>K_2>0$. Il fait beau exactement un jour sur deux, et il pleut exactement un jour sur deux. Pour quelles valeurs de $K_1$, $K_2$ et $v(0)$, peut-on être sûr que le bassin sera dépollué ? Pour quelles valeurs de $K_1$, $K_2$ et $v(0)$ peut-on être sûr que le bassin ne sera pas entièrement dépollué ?
%\begin{enumerate}
%\item Dans un premier temps,
%\item Maintenant, il fait beau avec une probabilité $1/2$ et il pleut avec une probabilité $1/2$ (il peut dont pleuvoir ou faire beau plusieurs jours à la suite). Pour les valeurs de $K_1$, $K_2$ et $v(0)$ qui garantissent une dépollution totale: quel est en moyenne le nombre minimal de jours nécessaire pour dépolluer entièrement le bassin ?
%\end{enumerate}
\q On retourne au cas général où $\displaystyle f(v) = K\left(v - \frac{v^2}{V}\right)$. L'eau propre redevient polluée chaque jour. Décrire le comportement de la suite $v(T)$ selon la valeur de $K$. On pourra traiter les cas suivants: $0<K<1$; $K=1$; $K=3,5$ et $K=4$.
%\begin{enumerate}
%\item Quelles sont les valeurs possible de $K$ pour garantir que si $0<v(0)<V$, alors $0<v(T)<V$ pour tout $T$ ?
%\item On suppose que $K=1$. Reprendre la question~\textbf{1.} en fonction de la valeur de $v(0)$.
%\end{enumerate}
\q Proposer et explorer d'autres pistes de recherche.

42
src/piece_truquee.tex
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@ -1,61 +1,61 @@
\section{Pièces truquées}
A et B jouent à un jeu de pile ou face. A possède une pièce truquée qui tombe sur pile avec probabilité $p\in[0,1]$. Le jeu se déroule de la manière suivante : A lance une première fois la pièce, puis B essaye de prédire le résultat du lancer suivant, A lance à nouveau la pièce, B fait une prédiction et ainsi de suite. Si on numérote les lancers de $0$ à $n$, A lance donc $n+1$ fois la pièce (on suppose les lancers indépendants) et B fait $n$ prédictions pour les lancers $1$, $2$, ..., $n$.
Félix et Félicie jouent à un jeu de pile ou face. Félix possède une pièce truquée qui tombe sur pile avec probabilité $p\in[0,1]$. Le jeu se déroule de la manière suivante : Félix lance une première fois la pièce, puis Félicie essaye de prédire le résultat du lancer suivant, Félix lance à nouveau la pièce, Félicie fait une prédiction et ainsi de suite. Si on numérote les lancers de $0$ à $n$, Félix lance donc $n+1$ fois la pièce (on suppose les lancers indépendants) et Félicie fait $n$ prédictions pour les lancers $1$, $2$, ..., $n$.
Un exemple de partie, pour $n=2$, est :
\small \begin{itemize}[itemsep=0pt]
\item A tire pile
\item B prédit face
\item A tire face
\item B prédit pile
\item A tire face
\item Félix tire pile
\item Félicie prédit face
\item Félix tire face
\item Félicie prédit pile
\item Félix tire face
\end{itemize} \normalsize
Dans ce cas, B a fait une première prédiction juste et une deuxième prédiction fausse.
Dans ce cas, Félicie a fait une première prédiction juste et une deuxième prédiction fausse.
\q B gagne un point par prédiction juste. Quelle est l'espérance de son gain si sa prédiction est :
\q Félicie gagne un point par prédiction juste. Quelle est l'espérance de son gain si sa prédiction est :
\begin{enumerate}
\item toujours pile ?
\item le résultat du lancer précédent ?
\item pile si le nombre de pile déjà tirés est pair, face sinon ?
\end{enumerate}
\q Le gain de B si sa prédiction est juste est désormais variable. Dans les cas a) et b) de la question~\textbf{1.}, quelle est l'espérance de son gain si :
\q Le gain de Félicie si sa prédiction est juste est désormais variable. Dans les cas a) et b) de la question~\textbf{1.}, quelle est l'espérance de son gain si :
\begin{enumerate}
\item il gagne $m$ points pour une prédiction juste au lancer $m$ ?
\item il gagne autant de points qu'il a fait de prédiction juste jusqu'à présent (1 point pour la première prédiction juste, 2 pour la deuxième...) ?
\item elle gagne $m$ points pour une prédiction juste au lancer $m$ ?
\item elle gagne autant de points qu'elle a fait de prédiction juste jusqu'à présent (1 point pour la première prédiction juste, 2 pour la deuxième...) ?
\end{enumerate}
Maintenant B veut maximiser ses chances d'obtenir un bon score. Il ne connaît pas la valeur de $p$ mais il sait que $p\in \mathcal{P}$ où $\mathcal{P}$ est une partie de $[0,1]$.
Maintenant Félicie veut maximiser ses chances d'obtenir un bon score. Elle ne connaît pas la valeur de $p$ mais elle sait que $p\in \mathcal{P}$ où $\mathcal{P}$ est une partie de $[0,1]$.
Une \emph{stratégie} pour B est une manière de choisir quelle prédiction il va faire avant le lancer $m$ en fonction des résultats des lancers $0,1,2,...,m-1$. La question \textbf{1.} donne donc trois exemples de stratégies. Si on appel $G_\mathcal{S}$ le gain (aléatoire) obtenu pour la stratégie $\mathcal{S}$, le \emph{gain minimal espéré} pour la stratégie $\mathcal{S}$ est $\mathcal{G}_{\mathcal{S},P}=\min_{p\in P} \mathbb{E}_p(G_\mathcal{S})$ où $\mathbb{E}_p$ désigne l'espérance dans le cas où la pièce tombe sur pile avec probabilité $p$. Autrement dit, $\mathcal{G}_\mathcal{S}$ est l'espérance du gain apporté par la stratégie $\mathcal{S}$ pour la pire des valeurs de $p\in \mathcal{P}$, ie. pour celle où ce gain espéré est minimal.
Une \emph{stratégie} pour Félicie est une manière de choisir quelle prédiction elle va faire avant le lancer $m$ en fonction des résultats des lancers $0,1,2,...,m-1$. La question \textbf{1.} donne donc trois exemples de stratégies. Si on appel $G_\mathcal{S}$ le gain (aléatoire) obtenu pour la stratégie $\mathcal{S}$, le \emph{gain minimal espéré} pour la stratégie $\mathcal{S}$ est $\mathcal{G}_{\mathcal{S},\mathcal{P}}=\min_{p\in \mathcal{P}} \mathbb{E}_p(G_\mathcal{S})$ où $\mathbb{E}_p$ désigne l'espérance dans le cas où la pièce tombe sur pile avec probabilité $p$. Autrement dit, $\mathcal{G}_\mathcal{S}$ est l'espérance du gain apporté par la stratégie $\mathcal{S}$ pour la pire des valeurs de $p\in \mathcal{P}$, ie. pour celle où ce gain espéré est minimal.
\q Si $\mathcal{P}=[0,1]$ (ie. on n'a aucune information a priori sur la valeur de $p$), quel est le gain minimal espéré pour les stratégie a), b), c) décrites dans la question \textbf{1.} ?
\q Quelle stratégie $\mathcal{S}$ donne le plus grand gain minimal espéré $\mathcal{G}_{\mathcal{S},P}$ et quel est-il si :
\q Quelle stratégie $\mathcal{S}$ donne le plus grand gain minimal espéré $\mathcal{G}_{\mathcal{S},\mathcal{P}}$ et quel est-il si :
\begin{enumerate}
\item $\mathcal{P}=[0,\frac{1}{2}]$ ?
\item $\mathcal{P}=[0,1]$ ?
\item $\mathcal{P}=[0,\frac{1}{4}]\cup [\frac{3}{4},1]$ ?
\end{enumerate}
A partir de maintenant, le joueur A possède deux pièces, d'apparences indistinguables, qui tombent sur pile avec des probabilités respectives $p_1$ et $p_2$. Avant la partie, il choisit au hasard une des deux pièces : il prend la pièce $1$ avec probabilité $q$ (donc la pièce $2$ avec probabilité $1-q$) puis tire $n+1$ fois la pièce choisie, comme avant. On suppose que le joueur B connaît les probabilités $p_1$, $p_2$, $q$.
A partir de maintenant, Félix possède deux pièces, d'apparences indistinguables, qui tombent sur pile avec des probabilités respectives $p_1$ et $p_2$. Avant la partie, il choisit au hasard une des deux pièces : il prend la pièce $1$ avec probabilité $q$ (donc la pièce $2$ avec probabilité $1-q$) puis tire $n+1$ fois la pièce choisie, comme avant. On suppose que Félicie connaît les probabilités $p_1$, $p_2$, $q$.
\q Quel est l'espérance du gain de B pour les stratégie a), b), c) décrites dans la question \textbf{1.} ? Quelle est la meilleure stratégie possible (ie. celle maximisant l'espérance du gain) et que vaut alors le gain en moyenne ?
\q Quel est l'espérance du gain de Félicie pour les stratégie a), b), c) décrites dans la question~\textbf{1.} ? Quelle est la meilleure stratégie possible (ie. celle maximisant l'espérance du gain) et que vaut alors le gain en moyenne ?
\medskip
B n'essaye plus de deviner les lancers mais plutôt quelle pièce a été choisie. A lance une première fois la pièce puis, après chaque lancer, B peut choisir de déclarer quelle pièce a été choisie selon lui, auquel cas le jeu s'arrête, ou de demander un lancer supplémentaire, dans une limite de $n$ lancers demandés maximum. B gagne $m$ point si sa déclaration est correcte (et aucun point s'il se trompe) et perd 1 point par lancer supplémentaire demandé.
Félicie n'essaye plus de deviner les résultats des lancers mais plutôt quelle pièce a été choisie. Félix lance une première fois la pièce puis, après chaque lancer, Félicie peut choisir de déclarer quelle pièce a été choisie selon elle, auquel cas le jeu s'arrête, ou de demander un lancer supplémentaire, dans une limite de $n$ lancers demandés maximum. Félicie gagne $m$ points si sa déclaration est correcte (et aucun point si elle se trompe) et perd 1 point par lancer supplémentaire demandé.
\q Quelle est la stratégie qui maximise l'espérance du gain obtenu et que vaut alors ce gain en moyenne ? Que se passe-t-il quand $n\to\infty$ (ie. on ne fixe plus de limite au nombre de lancers demandés) ?
\medskip
Désormais, A possède toujours deux pièces mais change de pièce en cours de route. Avant la partie, il choisit uniformément au hasard un nombre $K$ entre $1$ et $n$ (inclus). Il tire la pièce~$1$ pour les lancers $0, ..., K-1$ et la pièce~$2$ pour les lancers $K, ..., n$. B connaît toujours les probabilités $p_1$, $p_2$.
Désormais, Félix possède toujours deux pièces mais change de pièce en cours de route. Avant la partie, il choisit uniformément au hasard un nombre $K$ entre $1$ et $n$ (inclus). Il tire la pièce~$1$ pour les lancers $0, ..., K-1$ et la pièce~$2$ pour les lancers $K, ..., n$. Félicie connaît toujours les probabilités $p_1$, $p_2$.
\q B doit deviner quel $K$ a été choisi par A.
\q Félicie doit deviner quel $K$ a été choisi par Félix.
\begin{enumerate}
\item Il annonce sa prédiction après les $n+1$ lancers. Quelle stratégie lui permet de maximiser la probabilité d'avoir raison et quelle est alors cette probabilité ?
\item Après chaque lancer, $B$ peut décider de continuer ou d'annoncer \og{} la pièce a déjà changé \fg{}, auquel cas le jeu s'arrête. S'il a raison, il gagne $n-(m-K)$ points, où $m$ est le numéro du lancer après lequel l'annonce a été faite ($0$ pour le premier, $N$ pour le dernier). Autrement dit, si il fait l'annonce après le lancer $m$, soit $m<K$ et il ne gagne pas de point, soit $m\geq K$ et il gagne $n$ points mais perd un point par tour de retard de son annonce. Quelle stratégie lui permet de maximiser l'espérance de son gain et que vaut alors ce gain en moyenne ?
\item Elle annonce sa prédiction après les $n+1$ lancers. Quelle stratégie lui permet de maximiser la probabilité d'avoir raison et quelle est alors cette probabilité ?
\item Après chaque lancer, Félicie peut décider de continuer ou d'annoncer \og{} la pièce a déjà changé \fg{}, auquel cas le jeu s'arrête. Si elle a raison, elle gagne $n-(m-K)$ points, où $m$ est le numéro du lancer après lequel l'annonce a été faite ($0$ pour le premier, $N$ pour le dernier). Autrement dit, si elle fait l'annonce après le lancer $m$, soit $m<K$ et elle ne gagne pas de point, soit $m\geq K$ et elle gagne $n$ points mais perd un point par tour de retard de son annonce. Quelle stratégie lui permet de maximiser l'espérance de son gain et que vaut alors ce gain en moyenne ?
\end{enumerate}
\q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche. On pourra par exemple changer les lois de probabilité du problème, considérer des lancers non indépendants, étudier des cas avec plus de pièces, remplacer les pièces par des dés...

51
src/rebonds_etranges.tex
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@ -1,7 +1,50 @@
\section{Rebonds étranges}
\section{Électron libre}
Énoncé
Le petit Nicolas joue dans un laboratoire de physique. Il dispose d'un canon à électrons immergé dans un champ magnétique constant uniforme. Les lois de la physique classique nous apprennent que l'électron se déplace à vitesse constante en décrivant un cercle dans le sens trigonométrique, que l'on supposera de rayon 1.
\q Première question
Nicolas dispose également d'un bouton qui permet de faire faire demi-tour à l'électron : au moment où il appuie, la vitesse de l'électron reste la même mais dans la direction opposée. Il essaye ainsi, à l'aide de cette seule commande, de guider l'électron.
\q Deuxième question
La figure \ref{fig:traj_elec} représente une trajectoire possible de l'électron. Le rectangle bleu est le canon à électrons, la flèche bleue est la direction initiale, les point oranges sont les demi-tours provoqués par Nicolas. Les pointillés montrent le prolongement de deux arcs de cercle décrits par l'électron.
\begin{figure}[!ht]
\centering
\begin{tikzpicture}
\draw[->,bleuAnimath,line width=2.5pt] (0,0) -- ++(1,0);
\draw[very thick] (0,0) arc (-90:0:1) node[pos=0.6,sloped]{$\blacktriangleright$}
node[orangeAnimath]{$\bullet$} arc (-180:45:1) node[pos=0.4,sloped]{$\blacktriangleright$}
node[orangeAnimath]{$\bullet$} arc (-135:-90:1) node[pos=0.6,sloped]{$\blacktriangleright$}
node[orangeAnimath]{$\bullet$} arc (90:180:1) node[pos=0.5,sloped]{$\blacktriangleleft$}
node[orangeAnimath]{$\bullet$} arc (0:120:1) node[pos=0.5,sloped]{$\blacktriangleleft$}
node[orangeAnimath]{$\bullet$} arc (-60:60:1) node[pos=0.5,sloped]{$\blacktriangleright$} node(fin){};
\draw[thick,gray,dashed] (fin) arc (60:300:1) arc (120:360:1);
\draw[black,fill=bleuAnimath] (0,-0.2) rectangle ++(-0.7,0.4);
\end{tikzpicture}
\caption{Un exemple de trajectoire de l'électron}
\label{fig:traj_elec}
\end{figure}
\q Le canon à électrons est situé en un point $A$ du plan. Nicolas peut choisir sa direction initile. Il faut amener l'électron tiré jusqu'en un point $B$.
\begin{enumerate}
\item Nicolas peut-il toujours guider l'électron du point $A$ au point $B$ ? Si oui, combien se fois au minimum doit-il appuyer sur le bouton, en fonction de la distance qui sapére $A$ et $B$ ?
\item Quelle est la distance minimale parcourue par l'électron pour aller de $A$ à $B$ ?
\end{enumerate}
Nicolas dessine un cercle de rayon $r$ et place le canon à électons sur le bord du cercle , pointé vers son centre. Il veut faire en sorte que l'électron ne touche jamais le cercle.
(faire un dessin)
\q Combien de fois au minimum Nicolas doit-il appuyer sur le bouton pour s'assurer que l'électron ne touche jamais le cercle, en fonction du rayon du cercle ? (Ce nombre est potentiellement infini).
\q Nicolas dispose $N$ points strictement à l'intérieur d'un disque de rayon $1$. Il peut choisir librement l'emplacement et la direction du canon. Quel est le plus petit entier $n$ tel que quelle que soit la position des $N$ points, Nicolas peut s'assurer que l'électron passe par ces $N$ points en appuyant au plus $n$ fois sur le bouton ? Et si le cercle est de rayon $R>0$ quelconque ?
Maintenant, Nicolas ne dispose plus d'un boutons pour faire faire demi-tour à l'électrons mais de miroirs sur lesquels l'électron rebondit, conformément aux lois de la physique classique (le vecteur vitesse en sortie et le symétrique du vecteur vitesse en entrée par rapport au miroir). Il les dispose de sorte à former un polygone convexe (ie. dont tous les angles intérieurs sont de mesure strictement comprise entre $0$ et $\pi$. On suppose que l'électron est tiré de sorte qu'il ne passe jamais par un des sommets du polygone.
Un polygone convexe est dit \emph{admirable} si Nicolas peut faire rebondir l'électron sur les côtés du ploygone dans n'importe quel ordre. Autrement dit, en numérotant les côtés du ploygone $1$,...,$M$ dans n'importe quel ordre, il est possible de placer le canon à électrons de sorte qu'il rebondisse sur le côté $1$ puis $2$ puis... puis $M$.
(faire un dessin)
\q Pour quels $M$ le polygone régulier à $M$ côtés inscrit dans un cercle est-il admirable ?
\q Pour quels $M\geq 3$ Nicolas peut-il construire une polygone admirable à $M$ côtés ?
\q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche.

139
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\section{Triominos}
Énoncé
\graphicspath{ {./images/} }
On considère un pavage triangulaire du plan comme illustré ci-dessous.
Soit $n\geq 1$ un entier, fixé dans la suite. Alice a des pièces triangulaires, appelées triominos. Sur chaque triomino, trois nombres entre $1$ et $n$ sont inscrits, un sur chaque côté.
\begin{center}
\begin{figure}[h]
\includegraphics[scale=0.2]{Pavage.png}
\centering
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0)--(2,0)--(1,1.732)--cycle;
\draw (1,.2) node{$1$};
\draw (.65,.766) node{$3$};
\draw (1.35,.766) node{$3$};
\end{tikzpicture}
\caption{Un exemple de triomino avec sur les côtés les valeurs $1, 3$ et $3$}
\end{figure}
\end{center}
Nous allons placer sur ce pavage des pièces de triomino qui sont des triangles équilatéraux sur lesquels sont inscrits dans chaque coin des numéros non nécéssairement distincts parmi $1, \dots, n$ où $n \in \mathbb{N}^{*}$ fixé.
Deux triominos peuvent se trouver à côté seulement si les numéros inscrits dans les coins de ces deux triangles coincident, comme le montre l'illustration suivante :
Alice décide de placer les triominos les uns à côté des autres dans le plan, de sorte que les numéros écrits sur deux côtés adjacents coïncident.
\begin{center}
\begin{figure}[h]
\includegraphics[scale=0.3]{Triangle 1.png}
\centering
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0)--(4,0)--(2,3.464)--cycle;
\draw (2,0)--(3,1.732)--(1,1.732)--cycle;
\draw (1,.2) node{$2$};
\draw (.65,.766) node{$2$};
\draw (1.35,.766) node{$2$};
\draw (3,.2) node{$3$};
\draw (2,1.932) node{$1$};
\draw (1.65,2.498) node{$2$};
\draw (2.35,2.498) node{$1$};
\draw (2,1.532) node{$1$};
\draw (1.65,.966) node{$2$};
\draw (2.35,.966) node{$2$};
\draw (2.65,.766) node{$2$};
\draw (3.35,.766) node{$1$};
\end{tikzpicture}
\caption{Exemple de configuration possible}
\end{figure}
\end{center}
Dans la première partie de ce problème, on s'intéresse à une variante plus simple des triominos : les trominos modifiés, dans laquelle les numéros sont inscrits non pas sur les coins du triangle mais sur les côtés du triangle.
Deux triominos sont considérés comme identiques si on peut obtenir l'un à partir de l'autre par rotation. En revanche, on ne peut pas retourner un triomino. Ainsi, les deux triominos ci-dessous sont considérés comme distincts.
\begin{figure}[h!]
\includegraphics[scale=0.3]{Triangle 2.png}
\centering
\begin{center}
\begin{figure}[h]
\begin{tikzpicture}
\draw[thick, orangeAnimath] (0,0)--(4,0)--(3,1.732)--(2,0)--(1,1.732)--cycle;
\draw[thick, bleuAnimath] (4,0)--(6,0)--(5,1.732)--cycle;
\draw (1,.2) node{$2$};
\draw (3,.2) node{$1$};
\draw (.65,.766) node{$1$};
\draw (1.35,.766) node{$3$};
\draw (2.65,.766) node{$3$};
\draw (3.35,.766) node{$2$};
\draw (5,.2) node{$2$};
\draw (4.65,.766) node{$1$};
\draw (5.35,.766) node{$3$};
\end{tikzpicture}
\caption{Les deux triominos orange sont identiques, mais le triomino bleu est différent}
\end{figure}
\end{center}
Nous allons étudier la faisabilité de la construction de certaines formes géométriques à l'aide de ces triominos modifiés. La seconde partie et la troixième partie s'intéresse à des propriétés analogues pour le jeu du triomino classique tel que décrit précédemment.
Alice possède un jeu complet de triominos, composé d'un unique exemplaire de chaque triomino possible en utilisant les nombres de $1$ à $n$.
Dans l'intégralité du problème, on considère que les pièces sont invariantes par rotation, c'est-à-dire que tourner une pièce redonne la même pièce mais les pièces ne sont pas invariantes par symétrie, c'est-à-dire que retourner une pièce ne redonne pas la même pièce. Ainsi, les deux pièces ci-dessous sont considérés comme deux pièces distinctes.
\q Combien Alice possède-t-elle de triominos ?
\begin{figure}[h!]
\includegraphics[scale=0.3]{Symetrie.png}
\centering
Alice souhaite disposer ses triominos en ligne droite, de la façon suivante :
\begin{center}
\begin{figure}[h]
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0)--(8,0);
\draw (1,1.766)--(7,1.766);
\draw (0,0)--(1,1.766)--(2,0)--(3,1.766)--(4,0)--(5,1.766)--(6,0)--(7,1.766)--(8,0);
\end{tikzpicture}
\caption{Exemple de disposition s'il y a $7$ triominos}
\end{figure}
\end{center}
On dira qu'une configuration de triangle est connexe si elle est en "un seul morceau", c'est-à-dire qu'elle peut s'obtenir à partir d'un triangle en accolant successivement un nouveau triangle aux triangles déjà présents sur le pavage. Par exemple, la configuration formé des deux triangles symétriques ci-dessus n'est pas connexe.
\q a) Alice peut-elle disposer les triominos en ligne droite si $n=1$ ? $n=2$ ? $n=3$ ?
b) Et pour $n$ quelconque ?
\subsection{Partie 1: Triominos modifiés}
Une configuration est dite \textit{connexe} si, pour tout couple de triominos, il existe un chemin dans les triominos qui va de l'un à l'autre. Un chemin est une suite de triominos adjacents, et dire que deux triominos sont adjacents signifie qu'ils ont un côté commun.
Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$ un entier strictement positif fixé. On considère nos "triominos modifié" où les nombres sont répartis sur les arêtes des triangles. On Deux triangles peuvent être mis l'un à coté de l'autre lorsque le même nombre figure sur les arrêtes en contact.
\q Est-il toujours possible de trouver une configuration connexe utilisant toutes les pièces ?
\q 1) On considère toutes les pièces de triomino modifié que l'on peut former en utilisant les nombre de $1$ à $n$, en respectant l'invariance des pièces par rotation mais pas par symétrie. Combien y-a-t-il de pièces ?
Désormais, les nombres ne sont plus écrits sur les côtés mais sur chaque sommet. Alice souhaite donc que les nombres écrits sur deux sommets adjacents coïncident.
\q 2.a) Réaliser une ligne droite utilisant toutes les pièces pour les cas : n = 2, 3 et 4.
\begin{center}
\begin{figure}[h]
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0)--(4,0)--(2,3.464)--cycle;
\draw (2,0)--(3,1.732)--(1,1.732)--cycle;
\draw (.3,.2) node{$2$};
\draw (1.7,.2) node{$4$};
\draw (1,1.366) node{$2$};
\draw (2.3,.2) node{$4$};
\draw (3.7,.2) node{$2$};
\draw (3,1.366) node{$1$};
\draw (2,.4) node{$4$};
\draw (1.35,1.516) node{$2$};
\draw (2.65,1.516) node{$1$};
\draw (1.3,1.966) node{$2$};
\draw (2.7,1.966) node{$1$};
\draw (2,3.064) node{$3$};
\end{tikzpicture}
\caption{Exemple de configuration possible}
\end{figure}
\end{center}
\q 2.b) Peut-on toujours réaliser une ligne droite utilisant l'intégralité des pièces ?
\q Reprendre les questions précédentes dans ce cas.
\subsection{Partie 2 : Sous-ensemble de triominos}
\q Quel est le plus grand losange qu'on puisse former en assemblant les pièces ?
On considère dorénavant les pièces de triominos classiques. Dans cette partie, on considerera uniquement les pièces qui parmi les 3 nombres qui les composent, n'en ont qu'au plus deux de différents.
\q 1) Combien y a-t-il de pièces ?
\q 2) Existe t-il une ligne droite avec toutes les pièces si :
a) $n = 2$
b) $n \geq 4$ pair
c) $n$ impair
\q 3) Est-il toujours possible de trouver une configuration connexe utilisant toutes les pièces ?
\subsection{Partie 3 : Triomino classique}
On considère dorénavant un jeu de triomino "classique" muni de toutes ses pièces.
\q 1) Combien y a-t-il de pièces ?
\q 2) Existe-t-il toujours une configuration connexe utilisant toutes les pièces ?
\q 3) Existe-t-il toujours une ligne droite utilisant toutes les pièces ?
\q 4) Quel est le plus grand losange qu'on puisse former en assemblant les pièces ?
\q Proposez et étudiez d'autres pistes de recherche.