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src/brioches.tex

@@ -1,4 +1,4 @@
-\section{Brioches}
+\section{Brioches gonflées}
 
 Eric a décidé de faire des brioches aux formes mathématiques pour les goûters du $\mathbb{T} \mathbb{F} \mathbb{J} \mathbb{M}^2$. Il dispose d'un outil qui permet de déposer de la pâte à brioche suivant des segments de ligne droite (le point étant accepté comme exemple de ligne droite de longueur 0). Lorsqu'elle est au four, la brioche gonfle et rempli le disque de rayon $R(P)$ centré en $P$ pour chaque point $P$ où Eric a mis de la pâte. La machine peut déposer de la pâte plus ou moins concentré et le rayon $R(P)$ n'est pas forcément le même partout. La brioche d'Eric ne se repousse pas elle même, Si le disque de centre P et de rayon $R(P)$ est contenu dans le rayon $R(P')$, alors La brioche aura pour forme le rayon $R(P')$ uniquement. La forme de la brioche après cuisson sera donc la réunion des disques de centre $P$ et de rayon $R(P)$.
 

src/matheux_sociables.tex

@@ -1,4 +1,4 @@
-\section{Titre}
+\section{Matheux sociables}
 
 Énoncé
 

src/piece_truquee.tex

@@ -1,7 +1,61 @@
-\section{Titre}
+\section{Pièces truquées}
 
-Énoncé
+A et B jouent à un jeu de pile ou face. A possède une pièce truquée qui tombe sur pile avec probabilité $p\in[0,1]$. Le jeu se déroule de la manière suivante : A lance une première fois la pièce, puis B essaye de prédire le résultat du lancer suivant, A lance à nouveau la pièce, B fait une prédiction et ainsi de suite. Si on numérote les lancers de $0$ à $n$, A lance donc $n+1$ fois la pièce (on suppose les lancers indépendants) et B fait $n$ prédictions pour les lancers $1$, $2$, ..., $n$.
 
-\q Première question
+Un exemple de partie, pour $n=2$, est :
+\small \begin{itemize}[itemsep=0pt]
+	\item A tire pile
+	\item B prédit face
+	\item A tire face
+	\item B prédit pile
+	\item A tire face
+\end{itemize} \normalsize
+Dans ce cas, B a fait une première prédiction juste et une deuxième prédiction fausse.
 
-\q Deuxième question
+\q B gagne un point par prédiction juste. Quelle est l'espérance de son gain si sa prédiction est :
+\begin{enumerate}
+	\item toujours pile ?
+	\item le résultat du lancer précédent ?
+	\item pile si le nombre de pile déjà tirés est pair, face sinon ?
+\end{enumerate}
+
+\q Le gain de B si sa prédiction est juste est désormais variable. Dans les cas a) et b) de la question~\textbf{1.}, quelle est l'espérance de son gain si :
+\begin{enumerate}
+	\item il gagne $m$ points pour une prédiction juste au lancer $m$ ?
+	\item il gagne autant de points qu'il a fait de prédiction juste jusqu'à présent (1 point pour la première prédiction juste, 2 pour la deuxième...) ?
+\end{enumerate}
+
+Maintenant B veut maximiser ses chances d'obtenir un bon score. Il ne connaît pas la valeur de $p$ mais il sait que $p\in \mathcal{P}$ où $\mathcal{P}$ est une partie de $[0,1]$.
+
+Une \emph{stratégie} pour B est une manière de choisir quelle prédiction il va faire avant le lancer $m$ en fonction des résultats des lancers $0,1,2,...,m-1$. La question \textbf{1.} donne donc trois exemples de stratégies. Si on appel $G_\mathcal{S}$ le gain (aléatoire) obtenu pour la stratégie $\mathcal{S}$, le \emph{gain minimal espéré} pour la stratégie $\mathcal{S}$ est $\mathcal{G}_{\mathcal{S},P}=\min_{p\in P} \mathbb{E}_p(G_\mathcal{S})$ où $\mathbb{E}_p$ désigne l'espérance dans le cas où la pièce tombe sur pile avec probabilité $p$. Autrement dit, $\mathcal{G}_\mathcal{S}$ est l'espérance du gain apporté par la stratégie $\mathcal{S}$ pour la pire des valeurs de $p\in \mathcal{P}$, ie. pour celle où ce gain espéré est minimal.
+
+\q Si $\mathcal{P}=[0,1]$ (ie. on n'a aucune information a priori sur la valeur de $p$), quel est le gain minimal espéré pour les stratégie a), b), c) décrites dans la question \textbf{1.} ?
+
+\q Quelle stratégie $\mathcal{S}$ donne le plus grand gain minimal espéré $\mathcal{G}_{\mathcal{S},P}$ et quel est-il si :
+\begin{enumerate}
+	\item $\mathcal{P}=[0,\frac{1}{2}]$ ?
+	\item $\mathcal{P}=[0,1]$ ?
+	\item $\mathcal{P}=[0,\frac{1}{4}]\cup [\frac{3}{4},1]$ ?
+\end{enumerate}
+
+A partir de maintenant, le joueur A possède deux pièces, d'apparences indistinguables, qui tombent sur pile avec des probabilités respectives $p_1$ et $p_2$. Avant la partie, il choisit au hasard une des deux pièces : il prend la pièce $1$ avec probabilité $q$ (donc la pièce $2$ avec probabilité $1-q$) puis tire $n+1$ fois la pièce choisie, comme avant. On suppose que le joueur B connaît les probabilités $p_1$, $p_2$, $q$.
+
+\q Quel est l'espérance du gain de B pour les stratégie a), b), c) décrites dans la question \textbf{1.} ? Quelle est la meilleure stratégie possible (ie. celle maximisant l'espérance du gain) et que vaut alors le gain en moyenne ?
+
+\medskip
+
+B n'essaye plus de deviner les lancers mais plutôt quelle pièce a été choisie. A lance une première fois la pièce puis, après chaque lancer, B peut choisir de déclarer quelle pièce a été choisie selon lui, auquel cas le jeu s'arrête, ou de demander un lancer supplémentaire, dans une limite de $n$ lancers demandés maximum. B gagne $m$ point si sa déclaration est correcte (et aucun point s'il se trompe) et perd 1 point par lancer supplémentaire demandé.
+
+\q Quelle est la stratégie qui maximise l'espérance du gain obtenu et que vaut alors ce gain en moyenne ? Que se passe-t-il quand $n\to\infty$ (ie. on ne fixe plus de limite au nombre de lancers demandés) ?
+
+\medskip
+
+Désormais, A possède toujours deux pièces mais change de pièce en cours de route. Avant la partie, il choisit uniformément au hasard un nombre $K$ entre $1$ et $n$ (inclus). Il tire la pièce~$1$ pour les lancers $0, ..., K-1$ et la pièce~$2$ pour les lancers $K, ..., n$. B connaît toujours les probabilités $p_1$, $p_2$.
+
+\q B doit deviner quel $K$ a été choisi par A.
+\begin{enumerate}
+	\item Il annonce sa prédiction après les $n+1$ lancers. Quelle stratégie lui permet de maximiser la probabilité d'avoir raison et quelle est alors cette probabilité ?
+	\item Après chaque lancer, $B$ peut décider de continuer ou d'annoncer \og{} la pièce a déjà changé \fg{}, auquel cas le jeu s'arrête. S'il a raison, il gagne $n-(m-K)$ points, où $m$ est le numéro du lancer après lequel l'annonce a été faite ($0$ pour le premier, $N$ pour le dernier). Autrement dit, si il fait l'annonce après le lancer $m$, soit $m<K$ et il ne gagne pas de point, soit $m\geq K$ et il gagne $n$ points mais perd un point par tour de retard de son annonce. Quelle stratégie lui permet de maximiser l'espérance de son gain et que vaut alors ce gain en moyenne ?
+\end{enumerate}
+
+\q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche. On pourra par exemple changer les lois de probabilité du problème, considérer des lancers non indépendants, étudier des cas avec plus de pièces, remplacer les pièces par des dés...

src/ping_pong.tex

@@ -1,7 +1,99 @@
-\section{Titre}
+\section{Ping--pong}
 
-Énoncé
+Soit $n \geq 2$ un entier, fixé dans tout le problème. Dans un club de ping-pong, il y a $2n$ joueuses numérotées de $1$ à $2n$. On suppose que les joueuses sont classées de la plus forte à la moins forte, de sorte que quand les joueuses $i$ et $j$ s'affrontent, si $i<j$, alors la joueuse $i$ gagne toujours. Les joueuses jouent sur $n$ tables numérotées de $1$ à $n$. On appellera \emph{configuration} une manière de répartir les $2n$ joueuses sur les $n$ tables de telle sorte qu'il y a exactement $2$ joueuses à chaque table.
 
-\q Première question
+Au départ, les joueuses sont dans une certaines configuration initiale, puis elles jouent par tours successifs. Un tour se déroule de la manière suivante : à chaque table, les deux joueuses présentes à cette table s'affrontent. Puis pour tout $j$, la gagnante de la table $j$ monte à la table $j-1$ (sauf si $j=1$, auquel cas elle reste à la table $1$), et la perdante de la table $j$ descend à la table $j+1$ (sauf si $j=n$, auquel cas elle reste à la table $n$).
 
-\q Deuxième question
+\begin{figure}
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}
+\draw(0,0)--(2,0)--(2,0.6)--(0,0.6)--(0,0);
+\draw(0,1)--(2,1)--(2,1.6)--(0,1.6)--(0,1);
+\draw(0,2)--(2,2)--(2,2.6)--(0,2.6)--(0,2);
+\draw(0,3)--(2,3)--(2,3.6)--(0,3.6)--(0,3);
+\draw(0.5,0.3)node{$3$};
+\draw(1.5,0.3)node{$6$};
+\draw(0.5,1.3)node{$1$};
+\draw(1.5,1.3)node{$4$};
+\draw(0.5,2.3)node{$5$};
+\draw(1.5,2.3)node{$8$};
+\draw(0.5,3.3)node{$2$};
+\draw(1.5,3.3)node{$7$};
+\draw(1,-1)node{\text{Tour $1$}};
+
+        \begin{scope}[shift={(3,0)}]
+            \draw(0,0)--(2,0)--(2,0.6)--(0,0.6)--(0,0);
+            \draw(0,1)--(2,1)--(2,1.6)--(0,1.6)--(0,1);
+            \draw(0,2)--(2,2)--(2,2.6)--(0,2.6)--(0,2);
+            \draw(0,3)--(2,3)--(2,3.6)--(0,3.6)--(0,3);
+            \draw(0.5,0.3)node{$4$};
+            \draw(1.5,0.3)node{$6$};
+            \draw(0.5,1.3)node{$3$};
+            \draw(1.5,1.3)node{$8$};
+            \draw(0.5,2.3)node{$1$};
+            \draw(1.5,2.3)node{$7$};
+            \draw(0.5,3.3)node{$2$};
+            \draw(1.5,3.3)node{$5$};
+            \draw(1,-1)node{\text{Tour $2$}};
+        \end{scope}
+
+        \begin{scope}[shift={(6,0)}]
+        \draw(0,0)--(2,0)--(2,0.6)--(0,0.6)--(0,0);
+        \draw(0,1)--(2,1)--(2,1.6)--(0,1.6)--(0,1);
+        \draw(0,2)--(2,2)--(2,2.6)--(0,2.6)--(0,2);
+        \draw(0,3)--(2,3)--(2,3.6)--(0,3.6)--(0,3);
+        \draw(0.5,0.3)node{$6$};
+        \draw(1.5,0.3)node{$8$};
+        \draw(0.5,1.3)node{$4$};
+        \draw(1.5,1.3)node{$7$};
+        \draw(0.5,2.3)node{$3$};
+        \draw(1.5,2.3)node{$5$};
+        \draw(0.5,3.3)node{$1$};
+        \draw(1.5,3.3)node{$2$};
+        \draw(1,-1)node{\text{Tour $3$}};
+        \end{scope}
+
+    \end{tikzpicture}
+\end{center}
+\caption{Un exemple avec $n=4$. Notons que la configuration atteinte au tour $3$ est stable.}
+
+\end{figure}
+
+Une configuration est dite \emph{stable} si après deux tours, les joueuses se retrouvent dans la même configuration.
+
+\q{1}
+On se fixe $1 \leq i \leq 2n$. Quelle est la table la plus haute à laquelle peut se trouver la joueuse $i$ dans une configuration stable ? Et la plus basse ?
+%Table la plus haute : $1$ si $i \leq n+1$, et $i-n$ sinon. Table la plus basse : $i$ si $i \leq n$, et $n$ sinon.
+
+\q{2}
+Estimer le nombre de configurations stables en fonction de $n$.
+%Il y en a $\binom{2n-2}{n-1}$ : à part les joueuses $1$ et $2n$, toutes les joueuses oscillent entre une table paire et une table impaire. L'ensemble des joueuses qui commencent à une table impaire détermine la configuration stable.
+
+\q{3}
+Montrer qu'après un nombre de tours suffisant, les joueuses atteindront forcément une configuration stable.
+%Montrer par récurrence sur $j$ que la table $j$ finit par se stabiliser.
+
+\q{4}
+Donner un encadrement en fonction de $n$ du plus grand nombre possible de tours qui peuvent être nécessaires pour atteindre une configuration stable.
+%L'argument brutal donne $\frac{n(n-1)}{2}$. On doit pouvoir faire autour de $n$, mais ça a pas l'air évident.
+
+\q{5}
+Soient $1 \leq i \leq 2n$ et $1 \leq j \leq n$. On sait que la joueuse $i$ doit commencer à la table $j$. En supposant qu'elle puisse choisir le reste de la configuration initiale comme cela l'arrange, quelle est la plus haute table qu'elle peut espérer atteindre une fois ?
+%En gros, elle peut atteindre la table 1 ssi $i+j \leq 2n$, et sinon la table $i+j-2n$ (à chaque fois, à une constante additive près qui doit être calculable et dépend peut-être de la parité).
+
+\q{6}
+On se donne $1 \leq j < k \leq n$. En fonction de $j$ et $k$, est-il possible qu'une joueuse commence à la dernière table, atteigne la table $j$ puis se stabilise plus tard à la table $k$ ?
+%À réflechir.
+
+\q{7}
+Les joueuses tiennent un carnet où elle notent leurs résultats sous la forme suivante : quand elles remportent un match, elles écrivent un $V$, et quand elles perdent, elles écrivent un $D$. Par exemple, si une joueuse remporte ses deux premiers matches puis perd les trois suivants, elle écrira le mot $VVDDD$. On dit qu'un mot formé de lettres $D$ et $V$ est \emph{inscriptible} si il existe une configuration initiale à $2n$ joueuses dans laquelle une des joueuses écrira ce mot. Par exemple, le mot $VV...V$ est toujours inscriptible car il sera inscrit par la joueuse $1$.
+\begin{itemize}
+\item Donner des exemples de mots inscriptibles et de mots non inscriptibles.
+\item En fonction de $n$, estimer le plus grand $\ell$ pour lequel tous les mots de longueur $\ell$ sont inscriptibles.
+\item En fonction de $n$ et $\ell$, estimer le nombre de mots inscriptibles de longueur $\ell$.
+\end{itemize}
+%Exemples : si une joueuse écrit $n$ fois de suite $V$, alors elle est la meilleure, donc son mot ne peut contenir que des $V$. En particulier, il existe des mots non inscriptibles pour $\ell=n+1$. Je pense que tous les mots de longueur $n$ sont inscriptibles, mais ça a l'air dur (j'y arrive pour $n/2$).
+
+\q{8}
+Parmi toutes les configurations initiales, estimer la proportion des configurations qui font que la joueuse $3$ n'atteindra jamais la table $1$. Essayer de généraliser.
+%À peu près $1/6$ : il faut que la joueuse $3$ démarre derrière les joueuses 1 et 2, et que les choses se passent mal au niveau parité. Le but est de leur faire faire des probas sans le dire. En remplaçant $3$ par $4$, la proportion vaut $5/16$.

src/rebonds_etranges.tex

@@ -1,4 +1,4 @@
-\section{Titre}
+\section{Rebonds étranges}
 
 Énoncé
 

src/triominos.tex

@@ -1,7 +1,74 @@
-\section{Titre}
+\section{Triominos}
 
 Énoncé
 
-\q Première question
+\graphicspath{ {./images/} }
 
-\q Deuxième question
+On considère un pavage triangulaire du plan comme illustré ci-dessous. 
+
+\begin{figure}[h]
+\includegraphics[scale=0.4]{src/Pavage.png}
+\centering
+\end{figure}
+
+Nous allons placer sur ce pavage des pièces de triomino qui sont des triangles équilatéraux sur lesquels sont inscrits dans chaque coin des numéros non nécéssairement distincts parmi $1, \dots, n$ où $n \in \mathbb{N}^{*}$ fixé. 
+Deux triominos peuvent se trouver à côté seulement si les numéros inscrits dans les coins de ces deux triangles coincident, comme le montre l'illustration suivante :
+
+\begin{figure}[h]
+\includegraphics[scale=0.5]{src/Triangle 1.png}
+\centering
+\end{figure}
+
+Dans la première partie de ce problème, on s'intéresse à une variante plus simple des triominos : les trominos modifiés, dans laquelle les numéros sont inscrits non pas sur les coins du triangle mais sur les côtés du triangle. 
+
+\begin{figure}[h!]
+\includegraphics[scale=0.5]{src/Triangle 2.png}
+\centering
+\end{figure}
+
+Nous allons étudier la faisabilité de la construction de certaines formes géométriques à l'aide de ces triominos modifiés. La seconde partie et la troixième partie s'intéresse à des propriétés analogues pour le jeu du triomino classique tel que décrit précédemment. 
+
+Dans l'intégralité du problème, on considère que les pièces sont invariantes par rotation, c'est-à-dire que tourner une pièce redonne la même pièce mais les pièces ne sont pas invariantes par symétrie, c'est-à-dire que retourner une pièce ne redonne pas la même pièce. Ainsi, les deux pièces ci-dessous sont considérés comme deux pièces distinctes. 
+
+\begin{figure}[h!]
+\includegraphics[scale=0.5]{src/Symetrie.png}
+\centering
+\end{figure}
+
+On dira qu'une configuration de triangle est connexe si elle est en "un seul morceau", c'est-à-dire qu'elle peut s'obtenir à partir d'un triangle en accolant successivement un nouveau triangle aux triangles déjà présents sur le pavage. Par exemple, la configuration formé des deux triangles symétriques ci-dessus n'est pas connexe.
+
+
+\subsection{Partie 1: Triominos modifiés}
+
+Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$ un entier strictement positif fixé. On considère nos "triominos modifié" où les nombres sont répartis sur les arêtes des triangles. On Deux triangles peuvent être mis l'un à coté de l'autre lorsque le même nombre figure sur les arrêtes en contact.
+
+\q 1) On considère toutes les pièces de triomino modifié que l'on peut former en utilisant les nombre de $1$ à $n$, en respectant l'invariance des pièces par rotation mais pas par symétrie. Combien y-a-t-il de pièces ?
+
+\q 2.a) Réaliser une ligne droite utilisant toutes les pièces pour les cas : n = 2, 3 et 4.
+
+\q 2.b) Peut-on toujours réaliser une ligne droite utilisant l'intégralité des pièces ?
+
+\subsection{Partie 2 : Sous-ensemble de triominos}
+
+On considère dorénavant les pièces de triominos classiques. Dans cette partie, on considerera uniquement les pièces qui parmi les 3 nombres qui les composent, n'en ont qu'au plus deux de différents.
+
+\q 1) Combien y a-t-il de pièces ?
+
+\q 2) Existe t-il une ligne droite avec toutes les pièces si :
+a) $n = 2$ 
+b) $n \geq 4$ pair 
+c) $n$ impair 
+
+\q 3) Est-il toujours possible de trouver une configuration connexe utilisant toutes les pièces ?
+
+\subsection{Partie 3 : Triomino classique}
+
+On considère dorénavant un jeu de triomino "classique" muni de toutes ses pièces.
+
+\q 1) Combien y a-t-il de pièces ?
+
+\q 2) Existe-t-il toujours une configuration connexe utilisant toutes les pièces ?
+
+\q 3) Existe-t-il toujours une ligne droite utilisant toutes les pièces ?
+
+\q 4) Quel est le plus grand losange qu'on puisse former en assemblant les pièces ?