Mise à jour de 'src/brioches.tex'

src/brioches.tex

@@ -16,44 +16,44 @@ On appelle \textbf{brioche du plan}, ou plus simplement brioche, un ensemble de
 
 
 \begin{figure}[ht]
-	\centering
-	\begin{tikzpicture}[scale=1]
-		\fill[color=orangeAnimath] (0,2) -- (2,2) -- (2,-2) -- (0,-2) -- cycle;
-		\fill[color=orangeAnimath] (0,0) circle (2);
-		\fill[color=orangeAnimath] (2,0) circle (2);
-		
-		\draw (0,0) -- (2,0);
-	\end{tikzpicture}
-	\caption{La pâte est un simple segment de longueur 1, et le rayon $R(P)$ est partout égal à 1.}
-	\label{fig:pate_basique}
+    \centering
+    \begin{tikzpicture}[scale=1]
+        \fill[color=orangeAnimath] (0,2) -- (2,2) -- (2,-2) -- (0,-2) -- cycle;
+        \fill[color=orangeAnimath] (0,0) circle (2);
+        \fill[color=orangeAnimath] (2,0) circle (2);
+        
+	\draw (0,0) -- (2,0);
+    \end{tikzpicture}
+    \caption{La pâte est un simple segment de longueur 1, et le rayon $R(P)$ est partout égal à 1.}
+    \label{fig:pate_basique}
 \end{figure}
 
 \begin{figure}[ht]
-	\centering
-	\begin{tikzpicture}[scale=1]
-		\fill[color=orangeAnimath] (0,2) -- (2,1) -- (2,-1) -- (0,-2) -- cycle;
-		\fill[color=orangeAnimath] (0,0) circle (2);
-		\fill[color=orangeAnimath] (2,0) circle (1);
-		
-		\draw (0,0) -- (2,0);
-		
-		\fill[color=orangeAnimath] (5,0) circle (1.5);
-		\draw (4.8,-0.2) -- (5.2,0.2);
-		\draw (5.2,-0.2) -- (4.8,0.2);
-	\end{tikzpicture}
-	\caption{La pâte est constituée d'un point et un segment, et le rayon varie en fonction du point.}
-	\label{fig:pate_complexe}
+    \centering
+    \begin{tikzpicture}[scale=1]
+        \fill[color=orangeAnimath] (0,2) -- (2,1) -- (2,-1) -- (0,-2) -- cycle;
+        \fill[color=orangeAnimath] (0,0) circle (2);
+        \fill[color=orangeAnimath] (2,0) circle (1);
+        
+	\draw (0,0) -- (2,0);
+
+        \fill[color=orangeAnimath] (5,0) circle (1.5);
+	\draw (4.8,-0.2) -- (5.2,0.2);
+	\draw (5.2,-0.2) -- (4.8,0.2);
+    \end{tikzpicture}
+    \caption{La pâte est constituée d'un point et un segment, et le rayon varie en fonction du point.}
+    \label{fig:pate_complexe}
 \end{figure}
 
 \'Eric aimerait notamment fabriquer les formes de brioches suivantes:
 \begin{enumerate}
-	\item un disque de rayon $R$;
-	\item un rectangle plein de côtés de longueurs $a$ et $b$;
-	\item un triangle plein de côtés de longueurs $a$, $b$ et $c$;
-	\item un anneau de rayon intérieur $\rho$ et de rayon extérieur $R$ (avec $R>\rho$).
+    \item un disque de rayon $R$;
+    \item un rectangle plein de côtés de longueurs $a$ et $b$;
+    \item un triangle plein de côtés de longueurs $a$, $b$ et $c$;
+    \item un anneau de rayon intérieur $\rho$ et de rayon extérieur $R$ (avec $R>\rho$).
 \end{enumerate}
 
-\textcolor{red}{faire des figures pour les brioches.}
+\textcolor{red}{Ajouter des figures pour les formes de brioches a), b), c), d).}
 
 \q La forme a) est-elle une brioche ? Même question pour chacune des formes b), c) et d).
 
@@ -65,7 +65,7 @@ La \textbf{quantité de pâte} utilisée pour faire une brioche est la somme des
 
 \medskip
 
-La précision de l'outil d'\'Eric étant limitée, la quantité de pâte qu'il dépose en $P$ ne peut pas être trop petite. On dit que l'outil d'\'Eric est de précision $r \geqslant 0$ lorsque $R(P) \geqslant r$ pour tout point $P$ placé par \'Eric. 
+La précision de l'outil d'\'Eric étant limitée, la quantité de pâte qu'il dépose en $P$ ne peut pas être trop petite. Pour un $r \geqslant 0$ fixé, on dit que l'outil d'\'Eric est de précision $r$ lorsque $R(P) \geqslant r$ pour tout point $P$ placé par \'Eric. 
 On appelle $r$-\textbf{brioche du plan}, ou plus simplement $r$-brioche, une brioche qu'\'Eric peut réaliser avec un outil de précision $r$.
 
 En particulier, les $0$-brioches sont exactement les brioches, et toute $r$-brioche est une brioche.
@@ -95,11 +95,11 @@ Dans les questions suivantes, $r$ est un réel positif ou nul, en fonction duque
 
 Soit $x : [0,1] \to \R$ et $y : [0,1] \to \R$ deux fonctions, telle que :
 \begin{itemize}
-	\item $x(0) = x(1)$ et $y(0) = y(1)$,
-	\item pour toute autres valeurs de $t$ et $t'$, on n'a jamais simultanément $x(t) = x(t')$ et $y(t) = y(t')$.
+    \item $x(0) = x(1)$ et $y(0) = y(1)$,
+    \item pour toutes les autres valeurs de $t$ et $t'$, on n'a jamais simultanément $x(t) = x(t')$ et $y(t) = y(t')$.
 \end{itemize}
 
-\'Eric trace dans le plan l'ensemble $\Gamma$ des points de coordonnées $(x(t),y(t))$, appelé \textbf{contour}, et cherche à savoir si la partie du plan que cela délimite (que l'on suppose bien définie) est une $r$-brioche.
+\'Eric trace dans le plan l'ensemble $\Gamma$ des points de coordonnées $\big(x(t),y(t)\big)$, appelé \textbf{contour}, et cherche à savoir si la partie du plan que cela délimite (que l'on suppose bien définie) est une $r$-brioche.
 
 \q Existe-t-il un contour pour lequel $x$ et $y$ sont continues, mais pour lequel la partie délimitée n'est pas une $r$-brioche ? Si oui, est-ce possible avec $x$ et $y$ dérivables ? Deux fois dérivables ? Trois fois dérivables ?