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src/matheux_sociables.tex
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@ -1,18 +1,18 @@
\section{Matheux sociables} \section{Matheux sociables}
Lors d'une olympiade mathématique, des jeunes mathématiciens et mathématiciennes se rencontrent. Lors d'une olympiade mathématique, des jeunes mathématiciens et mathématiciennes se rencontrent.
L'organisateur souhaite que les gens s'échangent au maximum. Un bon moment pour socialiser est le repas commun. L'organisateur souhaite que les participants s'échangent au maximum. Un bon moment pour socialiser est le repas commun.
Le but est donc d'élaborer un planning de placement des gens tel que chacun a mangé au moins une fois avec chaque Le but est donc \emph{d'élaborer un planning de placement des participants tel que chacun ait mangé au moins une fois avec chaque
autre participant à la même table. autre participant à la même table}.
Dans la salle à manger, il y a $t$ tables rondes, chacune avec $p$ places avec $p>1$. Dans la salle à manger, il y a $t$ tables, chacune avec $p$ places avec $p>1$.
Au total, $n=tp$ personnes participent à l'olympiade. On note par $r$ le nombre de repas. Au total, $n=tp$ personnes participent à l'olympiade. On note par $r$ le nombre de repas.
Pour un réel $x$, on note par $[x]$ le plus petit entier plus grand que $x$. Pour un réel $x$, on note par $[x]$ le plus petit entier plus grand que $x$.
\q \q
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item Montrer que $r \geq [(n-1)/(p-1)]$. \item Montrer que pour atteindre le but, il faut avoir $r \geq [(n-1)/(p-1)]$.
\item Y a-t-il un exemple pour $t$ et $p$ tel que $r > [(n-1)/(p-1)]$ ? \item Y a-t-il un exemple pour $t$ et $p$ tel qu'il faut strictement plus de $[(n-1)/(p-1)]$ repas ?
\end{enumerate} \end{enumerate}
\q Donner un planning optimal pour les cas suivants : \q Donner un planning optimal pour les cas suivants :
@ -39,8 +39,8 @@ et au plus $f$ fois, où $f$ est un entier strictement positif. On cherche à mi
\q \q
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item Sous quelles conditions peut-on prendre $f=1$ ? \item Étudier les configurations où on peut prendre $f=1$.
\item Existe-t-il toujours un planning qui vérifie la contrainte pour $f=2$ ? Ou pour $f$ borné ? \item Existe-t-il toujours un planning qui vérifie la contrainte pour $f=2$ ?
\end{enumerate} \end{enumerate}
\q Proposer des plannings et des valeurs pour $f$ en reprenant les questions 2) à 5). \q Proposer des plannings et des valeurs pour $f$ en reprenant les questions 2) à 5).