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Timothee Rocquet 2024-05-05 23:22:29 +02:00
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fiches/cookies-fiche.tex
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@ -3,7 +3,6 @@
%1
\q (facile) Le cas a) est simple, il suffit de mettre une quantité de pâte $R$ au centre du disque (segment de longueur 0). On donne une réponse positives dans chacun des autres cas au moyen de dessins :
%\begin{figure}
%\includegraphics{exemples.jpg}
%\end{figure}
@ -85,7 +84,19 @@ La preuve est une version plus élaborée de celle du lemme précédent.
\q (Moyen) Les formes (b) et (c) ne sont pas des $r$-cookies avec $r>0$ à cause des coins (Lemme \ref{lemme : coins}). La forme (a) est un $r$-cookie pour $r \in [0,R]$. Tandis que la forme $(d)$ est un $r$-cookie pour $r \in [0,R_2-R_1)$.
%4
\q (Moyen-difficile) Oui c'est possible.
\q (Moyen-difficile) Oui c'est possible : sur le cookie ci-dessous, la partie orange est forcément recouverte par les trois segments en trait plein si le recouvrement est optimal et la zone laissée blanche est recouverte par un segment de longueur au moins $2$ qui peut être l'un des deux en pointillés.
\begin{figure}[!ht]
\centering
\begin{tikzpicture}
\fill[orangeAnimath] (0,0) -- ++(1,0) arc (-90:0:1) arc (180:270:1) -- ++(1,0) arc (-90:90:1) -- ++(-1,0) -- ++(0,1) arc (0:180:1) -- ++(0,-1) -- ++(-1,0) arc (90:270:1) -- cycle;
\draw[very thick] (0,0) -- ++(4,0) arc (-90:90:1) -- ++(-1,0) -- ++(0,1) arc (0:180:1) -- ++(0,-1) -- ++(-1,0) arc (90:270:1);
\draw (0,1) -- ++(1,0);
\draw (3,1) -- ++(1,0);
\draw (2,2) -- ++(0,1);
\draw[dashed] (1,1) -- ++(2,0);
\draw[dashed] (1,0.5) -- ++(2,0);
\end{tikzpicture}
\end{figure}
%5
\q (a) (Moyen) On peut appliquer le lemme \ref{lemme : coins} et créer un cookie qui a une infinité de coins (qui ne puissent pas être recouvert par un nombre fini de segments). Par exemple un triangle de Sierpinski. Cela fournit un contre-exemple pour tout $r > 0$.