mise à jour des rebonds étranges

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-\section{Rebonds étranges}
+\section{Electron libre}
 
-Énoncé
+Le petit Nicolas joue dans un laboratoire de physique. Il dispose d'un canon à électrons immergé dans un champ magnétique constant uniforme. Les lois de la physique classique nous apprennent que l'électron se déplace à vitesse constante en décrivant un cercle dans le sens trigonométrique, que l'on supposera de rayon 1.
 
-\q Première question
+Nicolas dispose également d'un bouton qui permet de faire faire demi-tour à l'électron : au moment où il appuie, la vitesse de l'électron reste la même mais dans la direction opposée. Il essaye ainsi, à l'aide de cette seule commande, de guider l'électron.
 
-\q Deuxième question
+\q Le canon à électrons est situé en un point $A$ du plan. Nicolas peut choisir sa direction initile. Il faut amener l'électron tiré jusqu'en un point $B$.
+\begin{enumerate}
+\item Nicolas peut-il toujours guider l'électron du point $A$ au point $B$ ? Si oui, combien se fois au minimum doit-il appuyer sur le bouton, en fonction de la distance qui sapére $A$ et $B$ ?
+\item Quelle est la distance minimale parcourue par l'électron pour aller de $A$ à $B$ ?
+\end{enumerate}
+
+Nicolas dessine un cercle de rayon $r$ et place le canon à électons sur le bord du cercle , pointé vers son centre. Il veut faire en sorte que l'électron ne touche jamais le cercle.
+
+(Faire une figure)
+
+\q Combien de fois au minimum Nicolas doit-il appuyer sur le bouton pour s'assurer que l'électron ne touche jamais le cercle, en fonction du rayon du cercle ? (Ce nombre est potentiellement infini).
+
+\q Nicolas dispose $N$ points strictement à l'intérieur d'un disque de rayon $1$. Il peut choisir librement l'emplacement et la direction du canon. Quel est le plus petit entier $n$ tel que quelle que soit la position des $N$ points, Nicolas peut s'assurer que l'électron passe par ces $N$ points en appuyant au plus $n$ fois sur le bouton ? Et si le cercle est de rayon $R>0$ quelconque ?
+
+Maintenant, Nicolas ne dispose plus d'un boutons pour faire faire demi-tour à l'électrons mais de miroirs sur lesquels l'électron rebondit, conformément aux lois de la physique classique (le vecteur vitesse en sortie et le symétrique du vecteur vitesse en entrée par rapport au miroir).
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+(faire un dessin)
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+\q Nicolas dispose $N$ miroirs de sorte qu'ils forment les côtés d'un polygone régulier à $N$ côtés inscrit dans un cercle de rayon $1$. Il peut placer le canon à électrons n'importe où dans le polygone. Il numérote les côtés de $1$ à $N$. Pour quels $N$ Nicolas peut-il faire en sorte que les côtés sur lesquels l'électron rebondit