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creation de la fiche probleme de depollution de la seine
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e1a9a9a8e3
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@ -1,5 +1,46 @@
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\section*{Eléments de réponse}
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\q (Facile) Première réponse
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\q Notons plutôt $w(T) = v(T)/V$ la proportion de bactéries dans le bassin, de sorte que le nombre de filles sera $K w(T)$ et $u(T)$ la proportion d'eau dépolluée. On a $u(0) = 0$ et $u(T) = \sum_{n=0}^{T-1} w(n)$. On a $K w(T) - u(T) \leqslant w(T+1) \leqslant K w(T)$.
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\q (Moyen) Deuxieme réponse
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a) (facile) Le cas d'égalité est réalisé pour la borne supérieure si les bactéries filles naissent chaque fois dans l'eau polluée.
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Si $K=1$, ça donne $w(T) \leqslant w(0)$ et $u(T) \leqslant T w(0)$.
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Si $K \neq 1$, alors $w(T) \leqslant K^T w(0)$ et $u(T) \leqslant w(0) \frac{1 - K^{T}}{1-K}$. Il faut distinguer $K>1$ et $K<1$ dans la preuve mais dans tous les cas, dépollution totale possible si
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\[ K \geq 1 \qquad \text{ ou } \qquad K< 1 \text{ et } v(0) > (1-K) V\]
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Dans les cas de dépollution totale, le nombre de jour nécessaire pour dépolluer est
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\[
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\left\{
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\begin{array}{ll}
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\left\lceil \frac{V}{v(0)}\right\rceil &\text{ si } K = 1\\
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\left\lceil \frac{\ln\left( 1 - \frac{(1-K)V}{v(0)}\right)}{\ln K} \right\rceil &\text{ si } K \neq 1\\
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\end{array}\right.
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\]
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b) et c) (moyen) Si $K < 1$ et qu'on peut dépolluer l'eau, comme $u(T)$ décroît vers $0$, on en déduit qu'il existe un jour où toutes les bactéries filles peuvent mourir. On ne peut pas être certain de dépolluer l'eau
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(facile) Si $K \leq 1$, dès le $2$eme jour, les bactéries filles peuvent mourir. La quantité dépolluée du bassin sera au maximum de $K v(0)$ (donc dépollué si $K v(0) \geq V$).
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(facile) Si $K \leq 2$, dès le $3$eme jour, les bactéries filles peuvent mourir. La quantité dépolluée du bassin sera au maximum de $K (K-1) v(0)$.
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(difficile) Si $2 < K < 4$, ça dépend de $v(0)$: parfois on ne pourra pas dépolluer, parfois on le pourra.
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(difficile) Si $K \geq 4$, il est toujours possible de dépolluer.
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(ouvert) Nombre de jours pour dépolluer ?
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Les valeurs propres du problème sont $0$ et $\frac{K \pm \sqrt{K(K-4)}}{2}$.
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\q (moyen-difficile)
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\q
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\begin{enumerate}
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\item $K\in[0,4]$
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\item (ouvert); difficulté: pas sûr que les stratégies optimales soient à chaque fois : \emph{autant de bactéries que possible vont dans l'eau propre} et \emph{autant de bactéries que possible vont dans l'eau sale}
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\item $K<1$: extinction; $K=1$: convergence vers l'état d'équilibre $\frac{K-1}{K}$ (vrai pour tout $K\in[1,3]$; $K=3,5$: périodique sauf si on part de l'état d'équilibre; $K=4$: si $v(0)=\sin(x)^2$ alors $v(T)=\sin(2^Tx)$, en utilisant $\sin^2(2x)=4\sin^2(x)(1-\sin^2(x))$ - comportement chaotique visible sur des simulations.
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\end{enumerate}
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\q (moyen)
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\q (difficile)
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\q (ouvert) b) un peu ambiguë?
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@ -2,7 +2,7 @@
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% Variables
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\newcommand{\numeroTournoi}{13}
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\newcommand{\version}{1.3}
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\newcommand{\version}{1.0}
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% Encodage
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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@ -1,106 +1,3 @@
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\documentclass[a4paper,12pt]{amsart}
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% Variables
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\newcommand{\numeroTournoi}{13}
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\newcommand{\version}{1.0}
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% Encodage
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage[french]{babel}
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\renewcommand{\contentsname}{Table des matières}
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% Titres
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\newcommand{\tfjm}{$\mathbb{TFJM}^2$}
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\newcommand{\titre}{Probl\`emes du \numeroTournoi\textsuperscript{\`eme} \tfjm}
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\newcommand{\titreLong}{Problèmes du \numeroTournoi\textsuperscript{ème} Tournoi Français \\ des Jeunes Mathématiciennes et Mathématiciens}
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\title[\titre]{TFJM\textsuperscript{2} 2022: Fiches du jury}
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\author{version \version\, mise à jour le \today}
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% Mise en page
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\usepackage[top=2cm, bottom=2cm, left=2cm, right=2cm]{geometry}
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\usepackage{amsmath,amsthm,amsfonts,amssymb,amscd,mathrsfs,mathtools,stmaryrd,mathptmx}
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||||
\usepackage[backref,colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=black,pdftex]{hyperref}
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\usepackage{xfrac}
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\usepackage{array}
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\usepackage[all]{xy}
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\usepackage{paralist}
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\usepackage{lmodern}
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\usepackage{upgreek}
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\usepackage{multicol}
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\usepackage{caption}
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\usepackage{enumitem}
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\usepackage{xspace}
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\usepackage{subcaption}
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\usepackage{xcolor}
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\newcommand{\red}[1]{\textcolor{red}{#1}}
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% FancyHeader
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\usepackage{fancyhdr}
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\pagestyle{fancy}
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\fancyhead[L]{\textsc{\titre}}
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\fancyhead[R]{\thepage}
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\fancyfoot[C]{ }
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\setlength{\headheight}{15.5pt}
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% TIKZ
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\usepackage{tikz}
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\usetikzlibrary{decorations}
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\usetikzlibrary{decorations.pathmorphing}
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\usetikzlibrary{shapes.geometric}
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\usetikzlibrary{calc}
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\usetikzlibrary{arrows}
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\usetikzlibrary{shapes.misc}
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\usetikzlibrary{decorations.pathreplacing}
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% Commandes Benoit
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\usepackage[nomessages]{fp}
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\newcommand{\orangeAnimathsmall}[1]{{\scriptsize\color{red} #1}}
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\newcommand{\bleuAnimathsmall}[1]{{\scriptsize\color{bleuAnimath} #1}}
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% Commandes mathématiques
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\renewcommand{\leq}{\leqslant}
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\renewcommand{\geq}{\geqslant}
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\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
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\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
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\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
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\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
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\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
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% Questions
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\newcounter{question}
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\newcommand{\nextpb}{\bigskip \begin{center} $\ast \; \ast \; \ast$ \end{center} \setcounter{question}{0}}
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\newcommand{\nextPB}{\begin{center}$\ast~~\ast~~\ast$\end{center}\newpage\setcounter{question}{0}}
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\newcommand{\q}{\stepcounter{question}\medskip \noindent\textbf{\thequestion.}\,}
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\newcommand{\qnospace}{\stepcounter{question}\medskip \noindent\textbf{\thequestion.}\, \vspace*{-6.5mm}}
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\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}
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\newtheorem{thm}{Théorème}[section]
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\newtheorem{lemme}{Lemme}[section]
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\newtheorem{rem}{Remarque}[section]
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\newtheorem{ques}{Question}[section]
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%-----------------------------------------------------------------------------------------------
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% Couleurs officielles:
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\definecolor{orangeAnimath}{RGB}{234,94,0}
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\definecolor{bleuAnimath}{RGB}{0,159,227}
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\begin{document}
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\newgeometry{top=2cm, bottom=2cm, left=2cm, right=2cm}
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\setlength{\footskip}{14.0pt}
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\maketitle
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\thispagestyle{empty}
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\textbf{Avertissement :}
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Le contenu de ces fiches doit rester confidentiel jusqu'au tournoi national ! Même si vous encadrez une équipe, vous ne devez pas diffuser son contenu aux élèves au risque de dénaturer le tournoi !
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\tableofcontents
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\newpage
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\section{Dépollution de la Seine}
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Pour certaines épreuves de natation des Jeux Olympiques de 2024, il faut dépolluer les bassins alimentés par la Seine. %Plusieurs équipes de biologistes proposent d'utiliser différentes bactéries capables de dépolluer l'eau
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@ -159,82 +56,18 @@ On note $U(T)$, avec $0 < U(T) < V$, la quantité d'eau dépolluée dans le bass
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\medskip
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\q Pour cette question, on suppose qu'il n'y a plus de brassage et que la reproduction des bactéries varie selon la météo. S'il fait beau, on a $f(v(T)) = K_1 v(T)$ et s'il pleut, on a $f(v(T)) = K_2 v(T)$ avec $K_1>K_2>0$. Il fait beau exactement un jour sur deux, et il pleut exactement un jour sur deux. Pour quelles valeurs de $K_1$, $K_2$ et $v(0)$, peut-on être sûr que le bassin sera dépollué ? Pour quelles valeurs de $K_1$, $K_2$ et $v(0)$ peut-on être sûr que le bassin ne sera pas entièrement dépollué ?
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%\begin{enumerate}
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%\item Dans un premier temps,
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%\item Maintenant, il fait beau avec une probabilité $1/2$ et il pleut avec une probabilité $1/2$ (il peut dont pleuvoir ou faire beau plusieurs jours à la suite). Pour les valeurs de $K_1$, $K_2$ et $v(0)$ qui garantissent une dépollution totale: quel est en moyenne le nombre minimal de jours nécessaire pour dépolluer entièrement le bassin ?
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%\end{enumerate}
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\q On retourne au cas général où $\displaystyle f(v) = K\left(v - \frac{v^2}{V}\right)$. L'eau propre redevient polluée chaque jour. Décrire le comportement de la suite $v(T)$ selon la valeur de $K$. On pourra traiter les cas suivants: $0<K<1$; $K=1$; $K=3,5$ et $K=4$.
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%\begin{enumerate}
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%\item Quelles sont les valeurs possible de $K$ pour garantir que si $0<v(0)<V$, alors $0<v(T)<V$ pour tout $T$ ?
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%\item On suppose que $K=1$. Reprendre la question~\textbf{1.} en fonction de la valeur de $v(0)$.
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%\end{enumerate}
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\q Proposer et explorer d'autres pistes de recherche.
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\setcounter{question}{0}
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\q Notons plutôt $w(T) = v(T)/V$ la proportion de bactéries dans le bassin, de sorte que le nombre de filles sera $K w(T)$ et $u(T)$ la proportion d'eau dépolluée. On a $u(0) = 0$ et $u(T) = \sum_{n=0}^{T-1} w(n)$. On a $K w(T) - u(T) \leqslant w(T+1) \leqslant K w(T)$.
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a) (facile) Le cas d'égalité est réalisé pour la borne supérieure si les bactéries filles naissent chaque fois dans l'eau polluée.
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Si $K=1$, ça donne $w(T) \leqslant w(0)$ et $u(T) \leqslant T w(0)$.
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Si $K \neq 1$, alors $w(T) \leqslant K^T w(0)$ et $u(T) \leqslant w(0) \frac{1 - K^{T}}{1-K}$. Il faut distinguer $K>1$ et $K<1$ dans la preuve mais dans tous les cas, dépollution totale possible si
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\[ K \geq 1 \qquad \text{ ou } \qquad K< 1 \text{ et } v(0) > (1-K) V\]
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Dans les cas de dépollution totale, le nombre de jour nécessaire pour dépolluer est
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\[
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\left\{
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\begin{array}{ll}
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\left\lceil \frac{V}{v(0)}\right\rceil &\text{ si } K = 1\\
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\left\lceil \frac{\ln\left( 1 - \frac{(1-K)V}{v(0)}\right)}{\ln K} \right\rceil &\text{ si } K \neq 1\\
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\end{array}\right.
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\]
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b) et c) (moyen) Si $K < 1$ et qu'on peut dépolluer l'eau, comme $u(T)$ décroît vers $0$, on en déduit qu'il existe un jour où toutes les bactéries filles peuvent mourir. On ne peut pas être certain de dépolluer l'eau
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(facile) Si $K \leq 1$, dès le $2$eme jour, les bactéries filles peuvent mourir. La quantité dépolluée du bassin sera au maximum de $K v(0)$ (donc dépollué si $K v(0) \geq V$).
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(facile) Si $K \leq 2$, dès le $3$eme jour, les bactéries filles peuvent mourir. La quantité dépolluée du bassin sera au maximum de $K (K-1) v(0)$.
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(difficile) Si $2 < K < 4$, ça dépend de $v(0)$: parfois on ne pourra pas dépolluer, parfois on le pourra.
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(difficile) Si $K \geq 4$, il est toujours possible de dépolluer.
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(ouvert) Nombre de jours pour dépolluer ?
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Les valeurs propres du problème sont $0$ et $\frac{K \pm \sqrt{K(K-4)}}{2}$.
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\q (moyen-difficile)
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\q
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\begin{enumerate}
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\item $K\in[0,4]$
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\item (ouvert); difficulté: pas sûr que les stratégies optimales soient à chaque fois : \emph{autant de bactéries que possible vont dans l'eau propre} et \emph{autant de bactéries que possible vont dans l'eau sale}
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\item $K<1$: extinction; $K=1$: convergence vers l'état d'équilibre $\frac{K-1}{K}$ (vrai pour tout $K\in[1,3]$; $K=3,5$: périodique sauf si on part de l'état d'équilibre; $K=4$: si $v(0)=\sin(x)^2$ alors $v(T)=\sin(2^Tx)$, en utilisant $\sin^2(2x)=4\sin^2(x)(1-\sin^2(x))$ - comportement chaotique visible sur des simulations.
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\end{enumerate}
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\q (moyen)
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\q (difficile)
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\q (ouvert) b) un peu ambiguë?
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\nextPB
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\end{document}
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@ -37,9 +37,6 @@ Dans l'intégralité du problème, on considère que les pièces sont invariante
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On dira qu'une configuration de triangle est connexe si elle est en "un seul morceau", c'est-à-dire qu'elle peut s'obtenir à partir d'un triangle en accolant successivement un nouveau triangle aux triangles déjà présents sur le pavage. Par exemple, la configuration formé des deux triangles symétriques ci-dessus n'est pas connexe.
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\subsection{Partie 1: Triominos modifiés}
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Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$ un entier strictement positif fixé. On considère nos "triominos modifié" où les nombres sont répartis sur les arêtes des triangles. On Deux triangles peuvent être mis l'un à coté de l'autre lorsque le même nombre figure sur les arrêtes en contact.
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\q 1) On considère toutes les pièces de triomino modifié que l'on peut former en utilisant les nombre de $1$ à $n$, en respectant l'invariance des pièces par rotation mais pas par symétrie. Combien y-a-t-il de pièces ?
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@ -48,8 +45,6 @@ Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$ un entier strictement positif fixé. On considère n
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\q 2.b) Peut-on toujours réaliser une ligne droite utilisant l'intégralité des pièces ?
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\subsection{Partie 2 : Sous-ensemble de triominos}
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On considère dorénavant les pièces de triominos classiques. Dans cette partie, on considerera uniquement les pièces qui parmi les 3 nombres qui les composent, n'en ont qu'au plus deux de différents.
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\q 1) Combien y a-t-il de pièces ?
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@ -61,8 +56,6 @@ c) $n$ impair
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\q 3) Est-il toujours possible de trouver une configuration connexe utilisant toutes les pièces ?
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\subsection{Partie 3 : Triomino classique}
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On considère dorénavant un jeu de triomino "classique" muni de toutes ses pièces.
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\q 1) Combien y a-t-il de pièces ?
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