modifications problemes triominos et pieces truquees

src/piece_truquee.tex

@@ -19,34 +19,34 @@ Dans ce cas, Félicie a fait une première prédiction juste et une deuxième pr
 	\item pile si le nombre de pile déjà tirés est pair, face sinon ?
 \end{enumerate}
 
-\q Le gain de Félicie si sa prédiction est juste est désormais variable. Dans les cas a) et b) de la question~\textbf{1.}, quelle est l'espérance de son gain si :
-\begin{enumerate}
-	\item elle gagne $m$ points pour une prédiction juste au lancer $m$ ?
-	\item elle gagne autant de points qu'elle a fait de prédiction juste jusqu'à présent (1 point pour la première prédiction juste, 2 pour la deuxième...) ?
-\end{enumerate}
+%\q Le gain de Félicie si sa prédiction est juste est désormais variable. Dans les cas a) et b) de la question~\textbf{1.}, quelle est l'espérance de son gain si :
+%\begin{enumerate}
+%	\item elle gagne $m$ points pour une prédiction juste au lancer $m$ ?
+%	\item elle gagne autant de points qu'elle a fait de prédiction juste jusqu'à présent (1 point pour la première prédiction juste, 2 pour la deuxième...) ?
+%\end{enumerate}
 
 Maintenant Félicie veut maximiser ses chances d'obtenir un bon score. Elle ne connaît pas la valeur de $p$ mais elle sait que $p\in \mathcal{P}$ où $\mathcal{P}$ est une partie de $[0,1]$.
 
-Une \emph{stratégie} pour Félicie est une manière de choisir quelle prédiction elle va faire avant le lancer $m$ en fonction des résultats des lancers $0,1,2,...,m-1$. La question \textbf{1.} donne donc trois exemples de stratégies. Si on appel $G_\mathcal{S}$ le gain (aléatoire) obtenu pour la stratégie $\mathcal{S}$, le \emph{gain minimal espéré} pour la stratégie $\mathcal{S}$ est $\mathcal{G}_{\mathcal{S},\mathcal{P}}=\min_{p\in \mathcal{P}} \mathbb{E}_p(G_\mathcal{S})$ où $\mathbb{E}_p$ désigne l'espérance dans le cas où la pièce tombe sur pile avec probabilité $p$. Autrement dit, $\mathcal{G}_\mathcal{S}$ est l'espérance du gain apporté par la stratégie $\mathcal{S}$ pour la pire des valeurs de $p\in \mathcal{P}$, ie. pour celle où ce gain espéré est minimal.
+Une \emph{stratégie} pour Félicie est une manière de choisir quelle prédiction elle va faire avant le lancer $m$ en fonction des résultats des lancers $0,1,2,...,m-1$. La question \textbf{1.} donne donc trois exemples de stratégies. Si on appel $G_\mathcal{S}$ le gain (aléatoire) obtenu pour la stratégie $\mathcal{S}$, le \emph{gain minimal espéré} pour la stratégie $\mathcal{S}$ est $\mathcal{G}_{\mathcal{S},\mathcal{P}}=\min_{p\in \mathcal{P}} \mathbb{E}_p(G_\mathcal{S})$ où $\mathbb{E}_p$ désigne l'espérance dans le cas où la pièce tombe sur pile avec probabilité $p$. Autrement dit, $\mathcal{G}_{\mathcal{S},\mathcal{P}}$ est l'espérance du gain apporté par la stratégie $\mathcal{S}$ pour la pire des valeurs de $p\in \mathcal{P}$, c'est-à-dire pour celle où ce gain espéré est minimal.
 
-\q Si $\mathcal{P}=[0,1]$ (ie. on n'a aucune information a priori sur la valeur de $p$), quel est le gain minimal espéré pour les stratégie a), b), c) décrites dans la question \textbf{1.} ?
+\q Si $\mathcal{P}=[0,1]$ (c'est-à-dire qu'on n'a aucune information a priori sur la valeur de $p$), quel est le gain minimal espéré pour les stratégie a), b), c) décrites dans la question \textbf{1.} ?
 
 \q Quelle stratégie $\mathcal{S}$ donne le plus grand gain minimal espéré $\mathcal{G}_{\mathcal{S},\mathcal{P}}$ et quel est-il si :
 \begin{enumerate}
-	\item $\mathcal{P}=[0,\frac{1}{2}]$ ?
+	\item $\mathcal{P}=[0,\frac{1}{3}]$ ?
 	\item $\mathcal{P}=[0,1]$ ?
 	\item $\mathcal{P}=[0,\frac{1}{4}]\cup [\frac{3}{4},1]$ ?
 \end{enumerate}
 
 A partir de maintenant, Félix possède deux pièces, d'apparences indistinguables, qui tombent sur pile avec des probabilités respectives $p_1$ et $p_2$. Avant la partie, il choisit au hasard une des deux pièces : il prend la pièce $1$ avec probabilité $q$ (donc la pièce $2$ avec probabilité $1-q$) puis tire $n+1$ fois la pièce choisie, comme avant. On suppose que Félicie connaît les probabilités $p_1$, $p_2$ et $q$.
 
-\q Quel est l'espérance du gain de Félicie pour les stratégie a), b), c) décrites dans la question~\textbf{1.} ? Quelle est la meilleure stratégie possible (ie. celle maximisant l'espérance du gain) et que vaut alors le gain en moyenne ?
+\q Quelle est l'espérance du gain de Félicie pour les stratégie a), b), c) décrites dans la question~\textbf{1.} ? Quelle stratégie donne la plus grande espérance du gain et que vaut-elle ?
 
 \medskip
 
 Félicie n'essaye plus de deviner les résultats des lancers mais plutôt quelle pièce a été choisie. Félix lance une première fois la pièce puis, après chaque lancer, Félicie peut choisir de déclarer quelle pièce a été choisie selon elle, auquel cas le jeu s'arrête, ou de demander un lancer supplémentaire, dans une limite de $n$ lancers demandés maximum. Félicie gagne $m$ points si sa déclaration est correcte (et aucun point si elle se trompe) et perd 1 point par lancer supplémentaire demandé.
 
-\q Quelle est la stratégie qui maximise l'espérance du gain obtenu et que vaut alors ce gain en moyenne ? Que se passe-t-il quand $n\to\infty$ (ie. on ne fixe plus de limite au nombre de lancers demandés) ?
+\q Quelle stratégie maximise l'espérance du gain obtenu et que vaut alors ce gain en moyenne ? Que se passe-t-il quand $n\to\infty$ (ie. on ne fixe plus de limite au nombre de lancers demandés) ?
 
 \medskip
 

src/triominos.tex

@@ -1,8 +1,6 @@
 \section{Triominos}
 
-\graphicspath{ {./images/} }
-
-Soit $n\geq 1$ un entier, fixé dans la suite. Alice a des pièces triangulaires, appelées triominos. Sur chaque triomino, trois nombres entre $1$ et $n$ sont inscrits, un sur chaque côté.
+Soit $n\geq 1$ entier, fixé dans la suite du problème. Alexander a des pièces triangulaires, appelées triominos. Sur chaque triomino, trois nombres entre $1$ et $n$ sont inscrits, un sur chaque côté.
 \begin{center}
 \begin{figure}[h]
 \begin{tikzpicture}
@@ -12,11 +10,11 @@ Soit $n\geq 1$ un entier, fixé dans la suite. Alice a des pièces triangulaires
 \draw (1.35,.766) node{$3$};
 \end{tikzpicture}
 
-\caption{Un exemple de triomino avec sur les côtés les valeurs $1, 3$ et $3$}
+\caption{Un exemple de triomino avec sur les côtés les valeurs $1$, $3$ et $3$}
 \end{figure}
 \end{center}
 
-Alice décide de placer les triominos les uns à côté des autres dans le plan, de sorte que les numéros écrits sur deux côtés adjacents coïncident.
+Alexander décide de placer les triominos les uns à côté des autres dans le plan, de sorte que les numéros écrits sur deux côtés adjacents coïncident toujours.
 
 \begin{center}
 \begin{figure}[h]
@@ -36,11 +34,11 @@ Alice décide de placer les triominos les uns à côté des autres dans le plan,
 \draw (2.65,.766) node{$2$};
 \draw (3.35,.766) node{$1$};
 \end{tikzpicture}
-\caption{Exemple de configuration possible}
+\caption{Exemple de configuration possible.}
 \end{figure}
 \end{center}
 
-Deux triominos sont considérés comme identiques si on peut obtenir l'un à partir de l'autre par rotation. En revanche, on ne peut pas retourner un triomino. Ainsi, les deux triominos ci-dessous sont considérés comme distincts. 
+Deux triominos sont considérés comme identiques si on peut obtenir l'un à partir de l'autre par rotation. En revanche, on ne peut pas retourner un triomino (c'est-à-dire lui appliquer une symétrie).
 
 \begin{center}
 \begin{figure}[h]
@@ -57,36 +55,37 @@ Deux triominos sont considérés comme identiques si on peut obtenir l'un à par
 \draw (4.65,.766) node{$1$};
 \draw (5.35,.766) node{$3$};
 \end{tikzpicture}
-\caption{Les deux triominos orange sont identiques, mais le triomino bleu est différent}
+\caption{Les deux triominos oranges sont identiques, mais le triomino bleu est différent.}
 \end{figure}
 \end{center}
 
-Alice possède un jeu complet de triominos, composé d'un unique exemplaire de chaque triomino possible en utilisant les nombres de $1$ à $n$.
+Alexander possède un jeu complet de triominos, composé d'un unique exemplaire de chaque triomino possible en utilisant les nombres de $1$ à $n$.
 
-\q Combien Alice possède-t-elle de triominos ?
+\q Combien Alexander possède-t-il de triominos ?
 
-Alice souhaite disposer ses triominos en ligne droite, de la façon suivante :
+\q Pour quels $n$ est-il possible de trouver une configuration utilisant toutes les pièces ?
+
+\medskip
+
+Alexander souhaite disposer ses triominos en ligne droite, de la façon suivante :
+
+\medskip
 
 \begin{center}
-\begin{figure}[h]
-\begin{tikzpicture}
+\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
 \draw (0,0)--(8,0);
 \draw (1,1.766)--(7,1.766);
 \draw (0,0)--(1,1.766)--(2,0)--(3,1.766)--(4,0)--(5,1.766)--(6,0)--(7,1.766)--(8,0);
 \end{tikzpicture}
-\caption{Exemple de disposition s'il y a $7$ triominos}
-\end{figure}
 \end{center}
 
-\q a) Alice peut-elle disposer les triominos en ligne droite si $n=1$ ? $n=2$ ? $n=3$ ?
+\q Pour quels $n$ Alexander peut-il disposer tous les triominos en ligne droite ? On pourra commencer par regarder les cas $n=2,3,4$.
 
-b) Et pour $n$ quelconque ?
+\q Estimer, en fonction de $n$, la taille du plus grand losange qu'Alexander peut former avec ses triominos.
 
-Une configuration est dite \textit{connexe} si, pour tout couple de triominos, il existe un chemin dans les triominos qui va de l'un à l'autre. Un chemin est une suite de triominos adjacents, et dire que deux triominos sont adjacents signifie qu'ils ont un côté commun.
+\medskip
 
-\q Est-il toujours possible de trouver une configuration connexe utilisant toutes les pièces ?
-
-Désormais, les nombres ne sont plus écrits sur les côtés mais sur chaque sommet. Alice souhaite donc que les nombres écrits sur deux sommets adjacents coïncident.
+Désormais, les nombres ne sont plus écrits sur les côtés mais sur les sommets des triangles. Alexander souhaite donc que les nombres écrits sur deux sommets adjacents coïncident.
 
 \begin{center}
 \begin{figure}[h]
@@ -112,6 +111,4 @@ Désormais, les nombres ne sont plus écrits sur les côtés mais sur chaque som
 
 \q Reprendre les questions précédentes dans ce cas.
 
-\q Quel est le plus grand losange qu'on puisse former en assemblant les pièces ?
-
 \q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche.