chgmt énoncé briocheé

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@@ -16,41 +16,41 @@ On appelle \textbf{brioche du plan}, ou plus simplement brioche, un ensemble de
 
 
 \begin{figure}[ht]
-    \centering
-    \begin{tikzpicture}[scale=1]
-        \fill[color=orangeAnimath] (0,2) -- (2,2) -- (2,-2) -- (0,-2) -- cycle;
-        \fill[color=orangeAnimath] (0,0) circle (2);
-        \fill[color=orangeAnimath] (2,0) circle (2);
+	\centering
+	\begin{tikzpicture}[scale=1]
+		\fill[color=orangeAnimath] (0,2) -- (2,2) -- (2,-2) -- (0,-2) -- cycle;
+		\fill[color=orangeAnimath] (0,0) circle (2);
+		\fill[color=orangeAnimath] (2,0) circle (2);
 		
-	\draw (0,0) -- (2,0);
-    \end{tikzpicture}
-    \caption{La pâte est un simple segment de longueur 1, et le rayon $R(P)$ est partout égal à 1.}
-    \label{fig:pate_basique}
+		\draw (0,0) -- (2,0);
+	\end{tikzpicture}
+	\caption{La pâte est un simple segment de longueur 1, et le rayon $R(P)$ est partout égal à 1.}
+	\label{fig:pate_basique}
 \end{figure}
 
 \begin{figure}[ht]
-    \centering
-    \begin{tikzpicture}[scale=1]
-        \fill[color=orangeAnimath] (0,2) -- (2,1) -- (2,-1) -- (0,-2) -- cycle;
-        \fill[color=orangeAnimath] (0,0) circle (2);
-        \fill[color=orangeAnimath] (2,0) circle (1);
+	\centering
+	\begin{tikzpicture}[scale=1]
+		\fill[color=orangeAnimath] (0,2) -- (2,1) -- (2,-1) -- (0,-2) -- cycle;
+		\fill[color=orangeAnimath] (0,0) circle (2);
+		\fill[color=orangeAnimath] (2,0) circle (1);
 		
-	\draw (0,0) -- (2,0);
+		\draw (0,0) -- (2,0);
 		
-        \fill[color=orangeAnimath] (5,0) circle (1.5);
-	\draw (4.8,-0.2) -- (5.2,0.2);
-	\draw (5.2,-0.2) -- (4.8,0.2);
-    \end{tikzpicture}
-    \caption{La pâte est constituée d'un point et un segment, et le rayon varie en fonction du point.}
-    \label{fig:pate_complexe}
+		\fill[color=orangeAnimath] (5,0) circle (1.5);
+		\draw (4.8,-0.2) -- (5.2,0.2);
+		\draw (5.2,-0.2) -- (4.8,0.2);
+	\end{tikzpicture}
+	\caption{La pâte est constituée d'un point et un segment, et le rayon varie en fonction du point.}
+	\label{fig:pate_complexe}
 \end{figure}
 
 \'Eric aimerait notamment fabriquer les formes de brioches suivantes:
 \begin{enumerate}
-    \item un disque de rayon $R$;
-    \item un rectangle plein de côtés de longueurs $a$ et $b$;
-    \item un triangle plein de côtés de longueurs $a$, $b$ et $c$;
-    \item un anneau de rayon intérieur $\rho$ et de rayon extérieur $R$ (avec $R>\rho$).
+	\item un disque de rayon $R$;
+	\item un rectangle plein de côtés de longueurs $a$ et $b$;
+	\item un triangle plein de côtés de longueurs $a$, $b$ et $c$;
+	\item un anneau de rayon intérieur $\rho$ et de rayon extérieur $R$ (avec $R>\rho$).
 \end{enumerate}
 
 \textcolor{red}{faire des figures pour les brioches.}
@@ -78,14 +78,25 @@ Dans les questions suivantes, $r$ est un réel positif ou nul, en fonction duque
 
 \q On suppose dans cette question qu'\'Eric réalise une $r$-brioche telle qu'il dispose d'une manière de placer le moins de pâte possible pour réaliser cette forme, et que cette dernière n'utilise aucun segment de longueur 0. Existe-t-il une forme de brioche pour laquelle \'Eric aurait plusieurs choix pour placer la pâte de manière optimale (c'est-à-dire en utilisant le moins possible de pâte), sans segment de longueur 0 ?
 
+%\q Si $R(P)=r$ ne dépend pas de P, quelles valeur peut prendre le rapport entre la quantité de pâte nécessaire et l'aire de la brioche après cuisson ?
+
+%\q Eric souhaite faire des brioches d'un seul tenant (il est toujours possible de faire un chemin de segments consécutifs dans la brioche qu'il obtient) [i.e. connexes par arcs + connexe ]. Parmi les points où Eric a placé de la pâte, est-il toujours possible de trouver un chemin de segments de pâte reliant deux points $P$ et $P'$.
+
+%\q En fait, Eric se rend compte qu'il regardait ses brioches gonfler par au-dessus mais qu'elle gonfle en fait dans l'espace et non pas dans le plan. La brioche occupe alors la réunion des boules de centre P et de rayon $R(P)$ (où les points $P$ où Eric place de la brioche sont toujours dans le plan). Quel est alors le volume que prend la brioche si la forme vue au-dessus est :
+%\begin{enumerate}
+%    \item un disque de rayon $R$ ?
+%    \item un carré de côté $C$ ?
+%    \item Un rectangle de côté $a$ et $b$ ?
+%\end{enumerate}
+
 \medskip
 
 \'Eric s'intéresse maintenant surtout à la forme du bord de ses $r$-brioches.
 
 Soit $x : [0,1] \to \R$ et $y : [0,1] \to \R$ deux fonctions, telle que :
 \begin{itemize}
-    \item $x(0) = x(1)$ et $y(0) = y(1)$,
-    \item pour toute autres valeurs de $t$ et $t'$, on n'a jamais simultanément $x(t) = x(t')$ et $y(t) = y(t')$.
+	\item $x(0) = x(1)$ et $y(0) = y(1)$,
+	\item pour toute autres valeurs de $t$ et $t'$, on n'a jamais simultanément $x(t) = x(t')$ et $y(t) = y(t')$.
 \end{itemize}
 
 \'Eric trace dans le plan l'ensemble $\Gamma$ des points de coordonnées $(x(t),y(t))$, appelé \textbf{contour}, et cherche à savoir si la partie du plan que cela délimite (que l'on suppose bien définie) est une $r$-brioche.
@@ -94,6 +105,12 @@ Soit $x : [0,1] \to \R$ et $y : [0,1] \to \R$ deux fonctions, telle que :
 
 \q Existe-t-il un contour pour lequel $x$ et $y$ sont continues, qui soit une brioche, mais qui ne soit une $r$-brioche pour aucun $r>0$ ? Si oui, est-ce possible avec $x$ et $y$ dérivables ? Deux fois dérivables ? Trois fois dérivables ? 
 
+%Existe-t-il des formes donc le contour est continu (je regarde l'intérieur d'un lacet simple continu) qui ne peuvent pas être obtenue avec un nombre fini de brioche ?
+
+%\q Existe-t-il des formes donc le contour est $C^1$ (je regarde l'intérieur d'un lacet simple continu) qui ne peuvent pas être obtenue avec un nombre fini de brioche ? Et si on est $C^1$ sauf en un nombre fini de points ?
+
 \q Donner d'autres conditions sur une forme pour que ce soit une $r$-brioche.
 
+%\q Maintenant on souhaite que Eric soit "proche" de la forme finale (l'idée serait d'approximer un coin par exemple). On suppose qu'il essaie d'obtenir la forme A mais qu'il obtienne la forme B, on définit alors un coefficient $\rho(A,B):=\rho(A \Delta B)/\rho(A)$ qui estime à quel point on est proche de la bonne forme. Si $\rho=0$ on dira que B recouvre presque partout A.
+
 \q Proposer et explorer d'autres pistes de recherche, notamment en dimension $3$.