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\section{Matheux sociables}
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Lors d'une olympiade mathématique, des jeunes mathématiciens et mathématiciennes se rencontrent.
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L'organisateur souhaite que les participants s'échangent au maximum. Un bon moment pour socialiser est le repas commun.
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\emph{L'objectif est d'élaborer un planning de placement des participants tel que chacun ait mangé au moins une fois avec chaque
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autre participant à la même table.}
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Dans la salle à manger, il y a $t$ tables, chacune avec $p$ places avec $p>1$.
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Au total, $n=tp$ personnes participent à l'olympiade. On note par $r$ le nombre de repas.
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Pour un réel $x$, on note par $[x]$ le plus petit entier plus grand que $x$.
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\textcolor{red}{On pourrait décrire l'exemple $t=2, p=2$.}
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\q
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\begin{enumerate}
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\item Montrer que l'inégalité $r \geq [(n-1)/(p-1)]$ est une condition nécessaire pour atteindre l'objectif.
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\item Existe-t-il des valeurs pour $t$ et $p$ tel qu'il faut strictement plus de $[(n-1)/(p-1)]$ repas pour atteindre l'objectif ?
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\end{enumerate}
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\q Donner un planning optimal pour les cas suivants :
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\begin{enumerate}
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\item $p=2$ et $t=3$.
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\item $t=p=3$.
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\item $t=3$ et $p=6$.
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\end{enumerate}
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À partir de maintenant, on suppose $p>2$.
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\q Pour $t=2$, trouver le $r$ optimal et donner un planning optimal.
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\q
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\begin{enumerate}
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\item Proposer un planning si $p=t$. On pourra commencer pas s'intéresser au cas où $p$ est un nombre premier
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ou une puissance de nombre premier.
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\item De même si $t$ est une puissance de $p$.
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\end{enumerate}
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\q Étudier des plannings dans le cas général.
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L'organisateur essaie d'uniformiser la configuration.
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Le but renforcé est que chaque participant soit assis à la même table avec chaque autre participant au moins une fois,
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et au plus $f$ fois, où $f$ est un entier strictement positif. On cherche à minimiser $f$.
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\q
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\begin{enumerate}
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\item Étudier les configurations où on peut prendre $f=1$.
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\item Existe-t-il toujours un planning qui vérifie la contrainte pour $f=2$ ?
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\end{enumerate}
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\q Proposer des plannings et des valeurs pour $f$ en reprenant les questions 2) à 5).
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\q Proposer et étudier d'autres pistes.
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