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\section{Brioches gonflées}
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\'Eric a décidé de faire des brioches aux formes mathématiques pour les goûters du \tfjm. Il dispose d'un outil qui permet de déposer une quantité $R(P)$ de pâte à brioche en un point $P$ suivant un nombre \textbf{fini} de segments de ligne droite (le point étant accepté comme exemple de ligne droite de longueur $0$). Lorsqu'elle est au four, la brioche gonfle et remplit le disque de rayon $R(P)$ centré en $P$ pour chaque point $P$ où \'Eric a mis de la pâte. La machine peut déposer de la pâte plus ou moins concentrée et le rayon $R(P)$ n'est pas forcément le même partout.
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La brioche d'\'Eric ne se repousse pas elle même :
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par exemple, si le disque de centre $P$ et de rayon $R(P)$ est contenu dans disque de centre $P'$ et de rayon $R(P')$, alors la brioche aura pour forme le disque de centre $P'$ et de rayon $R(P')$ uniquement.
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La forme de la brioche après cuisson sera donc la réunion des disques de centre $P$ et de rayon $R(P)$.
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\begin{figure}[ht]
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\centering
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\begin{tikzpicture}[scale=1]
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\fill[color=orangeAnimath] (0,2) -- (2,2) -- (2,-2) -- (0,-2) -- cycle;
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\fill[color=orangeAnimath] (0,0) circle (2);
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\fill[color=orangeAnimath] (2,0) circle (2);
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\draw (0,0) -- (2,0);
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\end{tikzpicture}
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\caption{La pâte est un simple segment de longueur 1, et le rayon $R(P)$ est partout égal à 1.}
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\label{fig:pate_basique}
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\end{figure}
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\begin{figure}[ht]
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\centering
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\begin{tikzpicture}[scale=1]
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\fill[color=orangeAnimath] (0,2) -- (2,1) -- (2,-1) -- (0,-2) -- cycle;
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\fill[color=orangeAnimath] (0,0) circle (2);
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\fill[color=orangeAnimath] (2,0) circle (1);
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\draw (0,0) -- (2,0);
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\fill[color=orangeAnimath] (5,0) circle (1.5);
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\draw (4.8,-0.2) -- (5.2,0.2);
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\draw (5.2,-0.2) -- (4.8,0.2);
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\end{tikzpicture}
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\caption{La pâte est constituée d'un point et un segment, et le rayon varie en fonction du point.}
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\label{fig:pate_complexe}
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\end{figure}
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\q Avec ce procédé, \'Eric peut-il faire une brioche qui a la forme:
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\begin{enumerate}
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\item d'un disque ?
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\item d'un rectangle quelconque ?
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\item d'un triangle quelconque ?
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\item d'un anneau (un grand disque centré en un point $A$ dont on a retiré un petit disque centré en ce même point $A$).
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\end{enumerate}
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\q Reprendre la question \textbf{1.} si on suppose que $R(P)=r$ ne dépend pas de $P$.
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Plus généralement, donner des conditions sur le contour pour qu'il ne soit pas possible de le remplir.
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\medskip
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Désormais, \'Eric souhaite économiser la pâte et en utiliser le moins possible. La quantité de pâte est la somme des longueurs des segments où il a placé de la pâte.
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% \'Eric étant très intelligent il utilisera toujours le moins de pâte possible.
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\q Pour quelles quantités de pâte peut-il réaliser chacune des formes suivantes :
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\begin{enumerate}
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\item un disque de rayon $R$ ?
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\item un rectangle de côtés de longueurs $a$ et $b$ ?
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\item un triangle de côtés $a$, $b$ et $c$ ?
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\item un anneau de rayon intérieur $r$ et de rayon extérieur $R$ (avec $R>r$) ?
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\end{enumerate}
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On s'intéressera plus à comment la pâte est disposée qu'à la valeur précise de la longueur totale [A FORMULER BIEN]
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\q On suppose dans cette question qu'\'Eric réalise une forme de brioche telle qu'il dispose d'une manière de placer le moins de pâte possible pour réaliser cette forme. Existe-t-il une forme de brioche pour laquelle \'Eric aurait plusieurs choix pour placer la pâte de manière optimale (c'est-à-dire en utilisant le moins possible de pâte) ?
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%\q Si $R(P)=r$ ne dépend pas de P, quelles valeur peut prendre le rapport entre la quantité de pâte nécessaire et l'aire de la brioche après cuisson ?
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%\q Eric souhaite faire des brioches d'un seul tenant (il est toujours possible de faire un chemin de segments consécutifs dans la brioche qu'il obtient) [i.e. connexes par arcs + connexe ]. Parmi les points où Eric a placé de la pâte, est-il toujours possible de trouver un chemin de segments de pâte reliant deux points $P$ et $P'$.
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%\q En fait, Eric se rend compte qu'il regardait ses brioches gonfler par au-dessus mais qu'elle gonfle en fait dans l'espace et non pas dans le plan. La brioche occupe alors la réunion des boules de centre P et de rayon $R(P)$ (où les points $P$ où Eric place de la brioche sont toujours dans le plan). Quel est alors le volume que prend la brioche si la forme vue au-dessus est :
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%\begin{enumerate}
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% \item un disque de rayon $R$ ?
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% \item un carré de côté $C$ ?
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% \item Un rectangle de côté $a$ et $b$ ?
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%\end{enumerate}
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\q Existe-t-il des formes donc le contour est continu (je regarde l'intérieur d'un lacet simple continu) qui ne peuvent pas être obtenue avec un nombre fini de brioche ?
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\q Existe-t-il des formes donc le contour est $C^1$ (je regarde l'intérieur d'un lacet simple continu) qui ne peuvent pas être obtenue avec un nombre fini de brioche ? Et si on est $C^1$ sauf en un nombre fini de points ?
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\q Dans le cas où le rayon est constant=r donner des conditions sur le contour pour qu'il ne soit pas possible de le remplir.
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%\q Maintenant on souhaite que Eric soit "proche" de la forme finale (l'idée serait d'approximer un coin par exemple). On suppose qu'il essaie d'obtenir la forme A mais qu'il obtienne la forme B, on définit alors un coefficient $\rho(A,B):=\rho(A \Delta B)/\rho(A)$ qui estime à quel point on est proche de la bonne forme. Si $\rho=0$ on dira que B recouvre presque partout A.
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\q Proposer et explorer d'autres pistes de recherche.
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